华北科技学院教务处-交通安全标语

2020届全国金太阳联考新高考原创精准预测考试（二十）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：

1、考试范围：高考范围。
2、 试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不
清等情况，应当立马 报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪 斜或缺印等现象，应当
马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓 名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡
上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷
类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答： 每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域 内。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后 再写上新答
案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共 13个小题,每小题4分,共52分.前10题为单选，后三题
为多选题，选对而不全得2分。
1.已知集合
A

x|x2

，集合
B

x|log
3
x1

，则
A
A．
x|x2

B．

x|x3


B
（ ）
C．

x|0x2

D．

x|1x2


2.下列命题中假命题的是（ ）
A．
xR
，
lgx0
B．
xR,
tanx0

C．
xR
，
2
x
0
D．
xR
，
x
2
0

3.下列函数中，既是奇函数又在区间
(0,)
上是减函数的是（ ）
A．
yx
B．
yx

1
C．
yx

3
D．
y2
x
4.数列

a
n

为等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，若
S
7

A．
< br>

70

，则
sina
4

（ ）
3
D．
3

2
B．

1

2
C．
1

2
3

2
- 1 -

5.已知向量
a
，
b
的夹角为
60< br>，且
|a|2
，
|a2b|27
，则
|b|
（ ）
A．
2
B．
3
C．
2
D．
3

6.要得到函数
f(x)cos(2x

6
)
的图象，只需将函数
g(x)sin2x
的图象（ ）
B．向右平移

个单位
6

D．向右平移个单位 3
7.
ABC
的内角
A
、
B
、
C< br>的对边分别为
a
、
b
、
c
，若
a
、
b
、
c
成等比数列，且
c2a
，
A．向左平移< br>则
cosC
（ ）
A．


个单位
6

C．向左平移个单位
3
1

4
B．

2

4
C．
1

4
D．
2

4
x
3
8.函数
y
x
的大致图象是（ ）
31

9.我国数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：
第一步：构造数列
1
，
1111
，，，…，．①
234n
第二步：将数列①的各项乘以
n
，得数列（记为）
a
1
，< br>a
2
，
a
3
，…，
a
n
．
则
n2
时，
a
1
a
2
a
2
a
3
…a
n1
a
n

（ ）
A．
(n1)

2
B．
n(n1)
C．
n
2
D．
n(n1)


x
2
2x3,x0,
10.函数
f(x)

零点的个数为（ ）

|x2|lnx,x0
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在区间
(0,)
上单调递减的函数是（ ）
1

1

3
yln
A．
yx
B． C．
ysinx
D．
y


|x|

2

x


- 2 -

a
n

(nN
*
)

12.（ 多选题）设是等比数列，下列命题正确的是（ ）

a

(nN)
是等比数列； B.
aa
A.
2*
n
nn1
(nN
*
)
是等比 数列；
C.
a
n
a
n1
(nN
*
)
是等比数列； D. 是等差数列.
13．（多选题）已知函数
f(x)sinx3cosx
，则下列命题正确的是（ ）
A.函数
f(x)
的最大值为4； B.函数
f(x )
的图象关于点




,0

对称；

3

C.函数
f(x)
的图像关于直线
x
6
对称； D.函数
f(x)
在


< br>
,


上单调递减

6

二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
14. 数列

a
n

的通项公式为
a
n
n< br>15.计算：
a
，则“
a
2
a
1
”是“数 列

a
n

单调递增”的___条件．
n
cos102sin20

________．
sin1 0
2
16.函数
f

x

x2lnx在< br>
0，

上的极大值为___________．
17.若对任 意的
xD
，均有
g(x)f(x)h(x)
成立，则称函数
f (x)
为函数
g(x)
和函数
．已知函数
f(x)(k1)x 1
，
g(x)2
，
h(x)
在区间
D
上的“中 间函数”
，则实数
k
的取
h(x)(x1)lnx
，且
f(x)
是
g(x)
和
h(x)
在区间

1,2< br>
上的“中间函数”
值范围是_______．
三、解答题 （本大题共6小题，共82分.）
18.（本小题10分）已知函数
f(x)cos2
(x

6
)sin
2
x
．
（1）求函数
f(x)
的最小正周期和单调递增区间；
（2）求
f(x)
在

0,




上的最小值．

2

19.（ 本小题14分）已知
S
n
为数列

a
n

的前n项和，且满足
S
n
2a
n
n4
．
(I)证明

S
n
n2

为等比数列；


- 3 -

(II)设数列

Sn

的前n项和为
T
n
，求
T
n


20.（本小题4分）已知
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
C
（1）若
ab4a
2
c
2
，求

3
．
sinB
的值；
sinA
（2）求
sinAsinB
的取值范围．

< br>2
x
b
21.（本小题14分）已知定义域为R的函数
f

x


x
是奇函数.
2a
(I)求
a,b
的值；
(1I)若不等式
fkx< br>2
f

2x1

0
恒成立，求实数k的取值范 围．


22.（本小题15分）．已知数列
{a
n
}< br>满足：
a
1
1,a
2
2
，正项数列
{b
n
}
满足

b
n
a
n
an1

nN
*

，若
{b
n
}< br> 是公比为2的等比数列
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）
S
n
为

a
n

的前n
项和，求
S
n
．


23.（本小题15分）已知函数
f(x)
1
3
．
x ax
2
(a
2
1)xb
（
a
，
b R
）
3
（1）若
yf(x)
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
xy30
，求
f(x)
在区间
2, 4
上
的最大值和最小值；
（2）若
f(x)
在区间
(1 ,1)
上不是单调函数，求
a
的取值范围．





- 4 -


- 5 -

数学试题答案
一、选择题
1-5:
CDBAD
6-10:
ABCBC
11、BD 12、AB 13、CD
二、填空题
14.充要条件 15.
3
16. 17.

,2


2

1



三、解答题
18.解：（ 1）
f(x)cos(x
2

6
)sin
2
x
1



1
1cos(2x)

(1cos2x)


2

3

2

33

1



13
(sin2xc os2x)sin(2x)
，
cos(2x)cos2x

22 3
2

3

22
所以函数
f(x)
的最小 正周期为

．
由
2k


得
k



2
2x

3
2k



2
，
kZ
，
5

xk


，
kZ
，
1212


5


,k



，
kZ
．
1212

所以函数
f(x)< br>的单调递增区间为

k


（2）因为
x

0,



4



2x

,
，所以，

3

33

2

所以

3

3
sin(2x )1
，所以
f(x)
，
23
4
所以
f( x)
在

0,
3



上的最小值为．


4

2

时，
，即
；时原式 转化为：
，所以，
19.解：（Ⅰ）当
所以为首项为，公比为的等比数列.
，所以
- 6 -
（Ⅱ）由（1）知：


.

于是，


20.解：（1）由余弦定理及题 设可知：
c
2
a
2
b
2
ab4a
2
ab
，得
b3a
，
sinBbsinB

，得
3
．
sinAasinA
2

（2）由题意可知
AB
． < br>3
由正弦定理
sinAsinBsinAsin(
2

31 311
A)sinA(cosAsinA)sin2Acos2A
322444< br>1

1
sin(2A)
．
264
2




1

因为
0A
，所以2A
，故
sin(2A)1
，
366626
3
所以
sinAsinB
的取值范围是
(0,]
．
4
21.解：(Ⅰ)因为在定义域为的奇函数，所以，
即.
又由
检验知，当
所以
，即
时函数为奇函数.
，
.
，故函数在上为减函数，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又因为
等价于
因
即有：


是奇函数，从而不等式：
，即
为减函数，由上式可得
恒成立，
．

，
- 7 -

当
当
时不成立；
时需解得
.

. 综上k的取值范围为

b
n1
a
n1
a
n2
a
n2
2
baaa
nn1n
22.解：(1)因 为
n


所以，数列

a
n

奇 数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2


a
n
< br>

a
1
1,a
2
2

因为， 所以

(2)当n是偶数时

当n是奇数时


2

,n为正奇数

2

，n为正偶数

n 1
n
S
n


a
1
a
3a
5
...a
n1



a
2
a
4
a
6
...a
n

n1
2
n1
2
n1
2
＝
323
n
2
S
n
S
n1
a
n
32 32423

综上得

n


32< br>2
3,n为偶数
S
n


n1

42
2
3，n为奇数


23.解：（1）∵
(1, f(1))
在
xy30
上，∴
f(1)2
，
∵点
(1,2)
在
yf(x)
的图象上，∴
2
1
 aa
2
1b
，
3
又
f'(1)1
，∴
12aa
2
11
，
2
∴
a2a1 0
，解得
a1
，
b
8
．
3
∴f(x)
1
3
8
xx
2

，
f' (x)x
2
2x
，
33
由
f'(x)0
可 知
x0
和
x2
是
f(x)
的极值点．
∵f(0)
84
，
f(2)
，
f(2)4
，< br>f(4)8
，
33


- 8 -

∴
f(x)
在区间
2,4
上的最大值为8，最小值为
4．
（2）因为函数
f(x)
在区间
(1,1)
上不是单调函 数，所以函数
f'(x)
在
(1,1)
上存在零点．
而
f'(x)0
的两根为
a1
，
a1
， < br>

1a11,
若
a1
，
a1
都在
(1,1)
上，则

解集为空集，这种情况不存在；
1 a11,

若有一个根在区间
(1,1)
上，则
1a 11
或
1a11
，
∴
a(2,0)(0,2)
．


- 9 -