有一个横坐标为

的交点，则

的值是 ．
3
【答案】


6
6．设抽测的树木的底部周长均在区 间
[80，130]
上，
其频率分布
直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有
株
树木的底部周长小于100 cm．
【答案】24


7．在各 项均为正数的等比数列
{a}
中，若
a1
，
n2
a
8
a
6
2a
4
，
则
a
的值是 ．
6
【答案】4
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为
S，S
， 体积
12
S
V
，分别为
V，
若它们的侧面积相等，且
S
12
1
2

9
4
V
，则
V< br>的
1
2
值是 ．
【答案】
3

2
9．在平面直角坐标系xOy中，直线
x 2y30
被圆
(x2)
2
(y1)
2
4
截得的弦长为 ．

【答案】
2
5
55

10．已知函数
f(x)x mx1
，若对任意
x[m，m1]
，都有
2
f(x)0< br>成立，则实数m的取值范围
是 ．
2
0

【答案】



2
，< br>

11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线
yax
2

b
x
(
a，b
为常数)过点
P(2，5)
，且 该曲线在点P处的切线与
直线
7x2y30
平行，则
ab
的 值是 ．
【答案】
3

12．如图，在平行四边 形ABCD中，已知，
AB8，AD5
，
uuuruuuruuuruuurCP3PD，APBP2
，则
uuuruuur
ABAD
的
值是 ．
【答案】22
13．已知
f(x)是定义在R上且周期为3的函数，
1
当
x[0，3)
时，
f( x)x2x
．若函数
yf(x)a
在区间
[3，4]
2
2
上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围
是 ．
【答案】

0，
1

2

14．若
ABC
的内角满足
sinA
小值是 ．
2
【答案】
6

4
二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时
．．．．．．．．
2sinB2si nC
，则
cosC
的最

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，

，
sin


5
． 15．(本小题满分14 分)已知




5
2



的值； （1）求
sin


4
2


的值． （2）求
cos


6
【答案】本小题主要考查三角函数的基本关 系
式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解
能
力. 满分14分.
（1）∵




，

，sin


5
，
25
∴
cos



∴
cos

2

cos

cos2

sin

sin2


3

3< br>
1

4

334
666252510
1sin
2


25
5

；
22
sin



sin

cos

cos

sin


2
(cos

 sin

)
10
444210

4
，cos 2

cos

sin


3
（2） ∵
sin2

2sin

cos


55

．
16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥
PABC
中，
D，E，F
分别为棱
PC，AC，AB
的中点．已知
P AAC，PA6，BC8，
DF5
．
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平
面以及平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

（1）∵
D，E
为
PC，AC
中点 ∴DE∥PA
∵
PA
平面DEF，DE

平面DEF ∴PA∥平面
DEF
（2）∵
D，E
为
PC，AC
中点 ∴
DE
1
PA3

2
∵
E，F
为
AC，AB
中点 ∴
EF
1
BC4

2
∴
DEEF
22
DF
2
∴
DEF90°
，∴DE⊥EF
∵
DEPA，PAAC
，∴
DEAC

∵
ACIEFE
∴DE⊥平面ABC
∵DE

平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．
17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标
y
x
1(ab0 )
的左、系xOy中，
F，F
分别是椭圆

ab
2
2
12
22
右焦点，顶点B的坐标为
(0，
连结
BF
并延长
b)
，
2
交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆
于另一 点C，连结
FC
．
1
，
（1）若点C的坐标为

4
，且
BF2
，求椭圆
33

1
2
的方 程；
（2）若
FCAB
，求椭圆离心率e的值．
1
【答案】本 小题主要考查椭圆的标准方程与几何
性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查
运
算求解能力. 满分14分.
1
，
（1）∵
C
4
，∴
33

161
9

9
9a
2
b
2

∵
BFbc a
，∴
a(2)
∴椭圆方程为
x
2
y1

2222
22
2
2
，∴
b1

22
2
（2）设焦点
F(c，0)，F(c，0)，C(x，y)

12
∵
A，C
关于x轴对称，∴
A(x，y)

b

by
∵
B，
，即
bxcybc0
①
F，A
三点共线，∴
cx
2
y

b
 1
，即
xcbyc
∵
FCAB
，∴
xcc1
2
0
②
∴①②联立方程组，解得
22
ac 2bc
C
2
，
bc
2
b
2
c
2

x
ca
2

b
2
c
2< br>
bc
2

y
2
b
2
c
2



a
2
c
b
2
c< br>2
a
2
∵C在椭圆上，∴

化简得
5c




2

2
2bc
2
b2
c
2

b
2

1
，
2
a
2
5
c

5
，∴
a
, 故离心率为
5
5
18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥
OA， 规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形
保护区．规划要求：新桥BC与
河岸AB垂直；保护区 的边界为
圆心M在线段OA上并与BC相
切的圆，且古桥两端O和A到该

圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，
点A位于点O正北方向60m处，点C位于 点
O正东方向170m处(OC为河岸)，
tanBCO
4
．
3
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位
置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模
型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16
分.
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x
轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k
BCO=－
4
.
3
又因为AB⊥BC，所以直线AB的
斜率k
AB
=
3
.
4
04
,
设点B的坐标为(a,b)，则k
BC
=
a
b


1703
3
,
k
AB
=
b
a


60
04
BC
=－tan∠
解得a=80，b=120. 所以

BC=
(17080)
2
(0120)
2
150
.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d
m,(0≤d≤60).
由 条件知，直线BC的方程为
y
4
(x170)
，即
3
4x3y6800

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直
线BC的距离是r，
即
r 
|3d
5
680|

680
5
3d
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少
于80 m,
所以

rd≥80


r(60d)≥80

6803d
d≥80


5


6803d
(60 d)≥80

5

即解得
10≤d≤35

故当d =10时,
r
680
5
3d
最大，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图，延长OA, CB交
于点F.
因为tan∠BCO=
4
.所以sin∠
3

43
FCO=
5
，cos∠FCO=
5
.
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠
FCO=
680
.
3
850500
CF=
cos
OC
,从而.
A FOFOA
FCO33
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠
4< br>FCO==
5
，
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠
AFB==
400
，从而BC=CF
－
BF=150.
3
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连
接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠
FCO，
MDr
故由(1)知，sin∠CFO =
MD

MFOFOM
680
3
3
,
d
5
所
以
r
680
5
3d
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少
于80 m,

rd≥80
所以

即

r(60d)≥80


6803d
d≥80


5


6803d
(60d)≥80

5

解得
10≤d≤ 35

故当d=10时,
r
680
5
3d
最大 ，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最
大.
19．(本小题满分16分)已知函数
f(x)ee
其中e
xx
是 自然对数的底数．
（1）证明：
f(x)
是
R
上的偶函数；
（2）若关于x的不等式
mf(x)≤e
成立，求实数m的取值范围；
（3 ）已知正数a满足：存在
x[1，)
，使得
0
x
m1< br>在
(0，)
上恒
f(x
0
)a(x
0
3
3x
0
)
成立．试比较
e
与
a
的大 小，并证明你
a1e1
的结论．
【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、
导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1）
xR
，
f(x)e
xx
x
e
x
f(x)
xx
，∴
f(x)
是
R
上的偶函数
xxx
x
（2）由题意，
m(ee)≤em1
，即
m(ee1)≤e1

∵
x(0，
∴
ee10
，即
m≤
e
e
e
1
1
对
x(0，)
，
)< br>恒成立
x
xx
令
te(t1)
，则
m≤< br>t
1


t
t
1
对任意
t(1 ，)
恒成立
x
2

∵
t
1< br>

t
t
1

(t1)
t


(t
1
1)1

22
≥
13
t1
1
1
t1
1
，当且仅当
t2
时等
号成立
∴
m≤
1

3
（3）f'(x)ee
，当
x1
时
f'(x)0
，∴
f(x)
在
(1，)
上单调
xx
增
令
h(x)a(x3x)
，
h'(x)3ax(x1)

3
∵
a0，x1
，∴
h'(x)0
，即
h( x)
在
x(1，)
上单调减
1
∵存在
x[1， )
，使得
f(x)a(x3x)
，∴
f(1)e2a
，即
e
a
1

e
1


2e
3
0000
a
∵
ln
e
e-1
a1lna
e1
lne
a1
(e1)lnaa1

1
1
e1a
，a
1

e
1

设
m(a)(e1)lnaa1
，则
m'(a)e
aa2e
e
1

ae1
时，
m'( a)0
，
m(a)
单调增； 当
1

2e
当ae1
时，
m'(a)0
，
m(a)
单调减
因此
m(a)
至多有两个零点，而
m(1)m(e)0

∴当
ae
时，
m(a)0
，
ae
；
1
aee
当
1
时，
m(a)0
，
ae
；
2

e

e1a1
e1a1
当
ae
时，
m(a)0
，
a
e1
e
a1
．
n
20．(本小题满分16分)设数列
{a}
的前n项 和为
S
n
．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使
n
得
Sa
m
，则称
{a}
是“H数列”．
n
nn
（ 1）若数列
{a}
的前n项和
S2
n
(nN

)
，证明：
{a}
n

是“H数列”；
（ 2）设
{a}
是等差数列，其首项
a1
，公差
d0
．若
n1
{a
n
}
是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对 任意的等差数列
{a}
，总存在两
n

个“H数列”
{b}
和
{c}
，使得
abc(nN)
成立．
nnnnn
【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列
等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满
分16分.
（1）当
n≥2
时，
aSS
nnn1
2
n
2
n1
2
n1

a
n1
当
n1
时，
aS2

1 1
∴
n1
时，
Sa
，当
n≥2
时，
S
11n

∴
{a}
是“H数列”
（2）
Sna 
n(n
2
1)
dn
n(n
2
1)
d

n
n1
对
nN
，
mN
使< br>S

n
a
m
，即
n
n(n
2
1)
d1(m1)d


1
取
n2得
1d(m1)d
，
m2
d

∵
d 0
，∴
m2
，又
mN
，∴
m1
，∴
d1

（3）设
{a}
的公差为d
n
令
b a(n1)a(2n)a
，对
nN
，
b

n 111n1
b
n
a
1

c
n
( n1)(a
1
d)
，对
nN
，
c

nn
n1
c
n
a
1
d

{c}
为等差数列 则
bca(n1)da
，且
{b}，
n(n1)
(a)
，令
T(2m)a
，则
{b}< br>的前n项和
Tna
2
n(n3)
m2

2
nn1n
n
n11
n1

当
n1
时
m1
；
当
n2
时
m1
；
当
n≥3
时，由于 n与
n3
奇偶性不同，即
n(n3)
非
负偶数，
mN


因此对
n
，都可找到
mN
，使
T b
成立，即
{b}

nmn
为“H数列”．
n(n1 )
(ad)
，令
c(m1)(ad)R
，
{c}
的前ｎ项和
R
2
n
n1
n1m
则
m
n (n
2
1)
1

∵对
nN
，
n( n1)
是非负偶数，∴
mN


即对
nN
，都可找到
mN
，使得
Rc
成立，即

nm
{c
n
}
为“H数列”
因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题， 并在相应的答题
区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文
字说明、证明 过程或演算步骤.
A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满
分10分)
如图，AB是圆O的直径，C、 D是
圆O 上位于AB异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能
力.满分10分.

证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
12
11

2

B


已知矩阵
A

，，向量
y
为实

1x

21

y

，
x，

数，若Aα=Bα
，求
x，y
的值．
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知
识，考查运算求解能力.满分10分.

2y2

A




2xy
2y

2y22y，
x
1
，y4< br> ，
Bα

，由得解得
Aα=Bα


4 y

2
2xy4y，

C.【选修4-4:坐标系与参 数方程】(本小题满分
10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方
程 为
A，B


x1


y2
< br>2
t，
2
2
t
2
(t为参数)，直线l与抛物线y
2
4x
交于
两点，求线段AB的长．
【答案】本小题主要 考查直线的参数方程、抛物
线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.
满分10分. 直线l：
xy3
代入抛物线方程
y
2
4x
并整理 得

x
2
10x90

∴交点
A(1，2)
，
B(9，6)
，故
|AB|82

D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知x>0, y>0,证明：(1+x+y
2
)( 1+x
2
+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推
理论证能力.满分10分.
证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y
2
≥
3
1+x2
+y≥
3
3
3
xy
2
0
，
x
2
y0
，
3
所以(1+x+y
2
)( 1 +x
2
+y)≥
3xy
2
3
3
x
2y
=9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共
计20分.请在 答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22．(本小题满分10分)
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄
球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2
个球颜色相同的概率P；
（2）从盒 中一次随机取出4个球，其中红球、
x，x
，随机变量X黄球、绿球的个数分别记为
x ，
123
x，x
中的最大数，求X的概率分布和数学表示
x，
123
期望
E(X)
．
22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离

散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解
能力.满分10分.
（1）一次取2 个球共有
C36
种可能情况，2个球
2
9
颜色相同共有
C CC10
种可能情况

5
∴取出的2个球颜色相同的概率
P
10
3618
2
4
2
3
2
2
（2）X的所有可能取值为
4，，32
，则
C
P(X4)
1

C126
4
4
4
9
131
C
3
4
C
5
C
3C
6
P(X3)
13
3
C
9
63


3
13

63
4
1
126P(X2)1P(X3)P(X4)
11
14
∴X的概率分布列为
X
P
11
3
13
4
1
20
故X的数学期望
E(X)2
14

631269
23．(本小题满分10分)
x
(x0)
已知函数
f(x)
sin
，记
f(x)
为
f
x
0
2
11

14

nn1
(x)
的导数，
nN
．



f



的值； （1）求
2f



222
12
（2）证明：对任意的
n N
，等式
nf

n1


f




2
成



4442
n
立．
23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的
导数，考查探究能力及运用数 学归纳法的推理论
证能力.满分10分.

(1)解：由已知，得< br>于是
sinx


cosxsinx

f
1
(x)f
0

(x)


2
,


xx

x



cosx



sinx


sinx2cosx2sinx

f
2
(x)f
1

(x)

 ,

2

23
xxxxx

12< br>4

216
所以
f(

),f(),
2

2

23

故
2f(
)f()1.

222
12
(2)证明：由已知，得< br>xf(x)sinx,
等式两边分别对x
0
求导，得
f(x)xf

(x)cosx
，
)
，类似可得 即
f(x)xf (x)cosxsin(x

2
00
01
，
3f(x)xf(x)cosxsin(x
3

)
， < br>2
2f
1
(x)xf
2
(x)sinxsin(x

)
23
.
下面用数学归纳法证明等式
nf
4f
3
(x)xf
4
(x)sinxsin(x2

)
n1
(x)xf
n
(x)sin(x
n

)
2
对
所有的
nN
都成立.
*
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
kf
k1
(ii)假设当n=k时等式成立, 即
(x)xf(x)sin(x
k

)
.
2
k
因为
[kf
k1

(x)xf
k
(x)]

kf
k

1
(x)f
k
(x) xf
k
(x)(k1)f
k
(x)f
k1
(x),
(k1)

]
2

[sin(x
k

)]

cos(x
k

)(x
k

)

sin[x
222
，
所以
(k1) f(x)f
k
sin[x
k1
(x)
(k1)

]
2
.
所以当n=k+1时,等式也成立.

)
对所有的综合(i),(ii)可知等式
nf(x)xf(x)sin(x
n
2
n1n

nN
*
都成立.
令
x


4
，可得
nf
n1
()

f
n
(

4
)sin(

4

n

442
)
(
nN
*
).
所以
nf
n1
(

4
)

4
f
n
(

4
)
2
2
(
nN< br>*
).