3高中数学三角函数知识点总结
内蒙古高考网-医学生简历
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高考三角函数
1.
特殊角的三角函数值：
0
sin
0=0
0
cos
0=1
0
tan
0=0
1
0
sin
3
0=
2
0
0
=
cos
3
3
2
0
2
si
n
45=
2
2
4
5
=
2
0
3
0
2
=
sin6
1
2
0
0=
cos6
0
0
=1
sin9
0
ta
45=1
n
0
0180,2．角度制与弧度制的互化：3602,
0
03
235320
0
0
00
45609
0
0
0
120
0
3
tan
3
0=
3
co
s
0
0=0
cos9
0
tan
0无意义
9
0
tan
0=3
6
0
135
0
15018
0
027
0
036
0
0
64323462
3.
弧长及扇形面积公式
1
弧长公式：
l.r扇形面积公式:S=l.r
2
----是圆心角且为弧度制。r-----是扇形半径
4.
任意角的三角函数
设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,r=
2y
x
y x
(1)正弦sin= 余弦cos=
r r
(2)各象限的符号：
yy
y
+
+
—+
—+
2
y
正切tan=
x
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cossin
2O
x
+
O
x
——
—+
sincostan
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O
+—
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2.
同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin
2
+cos
2
=1。（2）商数关系：
sin
=ta
cos
n
（k,kz
）
2
3.
诱导公式：
1sin2ksin
，
cos2kcos
，
tan2ktank．
2sinsin
，
coscos
，
tantan．
3sinsin，coscos，tantan．
4sinsin
，
coscos
，
tantan．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
5sincos
，
cossin
．
2
2
6sincos
，
cossin
．
2
2
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
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8、三角函数公式：
倍角公式
两角和与差的三角函数关系
sin2=2sin·cos
sin()=sin·coscos·sin
降幂公式：升幂公式：
cos()=cos·cossin·sin
2
1+cos=cos
2cos
22
tantan
tan()
21tantan
2sin
1-cos=sin
2
正弦定理：
9．
abc
2R
.
sinAsinBsinC
余弦定理：
222
2cos
abcbcA
;
222
2cos
bcacaB
;
222
2cos
cababC
.
三角形面积定
理.
111
SabsinCbcsinAcasinB.
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cos2=cos
2-sin
2-1
2
2
1cos
2
=2cos
2
=1-2sin
2tan
2
1tan
1 cos2
2
2
tan
2
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222
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
222
（1）三边之间的关系：a＋b＝c。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
a
b
a
。
sinA＝cosB
，cosA＝sinB，tanA
＝
c
＝
c
＝
b
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
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ab
c
sinAsinB sin
C
（R为外接圆半
径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两
倍
222222222
＝b＋c－2bccosA；b＝c＋a－2cacosB；
c＝a＋b－
2abcosC。a
3．三角形的面积公式：
1
1
1
（1）△
ah
a
＝
bh
b
＝
ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的
＝
2 2 2
高）；
1
1
1
（2）△
absinCbcsinAacsinB
＝
2
＝
2
＝
2
；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）
求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分
线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角
形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C=π；
（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b
（3）边与角关系：
abc
正弦定理2R
（R为外接圆半径）；
sinAsinBsinC
222222222
余弦定理c=a+b－2bccos
C，b=a+c－2accosB，a=b+c－2bccosA；
2
2
2
sin A a
它们的变形形式有：
，
cos A
b c a
。
a=2RsinA，
sin B b
2bc
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；c
os(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
AB CA B
C
sin cos sin
；
2
2
2
2
,
cos
四．【典例解析】
题型1：正、余弦定理
（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC
中，
ABa
，
AC
b
，
ab0
，
15
S，
ABC
4
2R
。
a3,b5，则BAC（）
A.
．
30B．150C．
答案C
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0
150D
．
30
或
0
150
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例1．（1）在ABC
中，已知
0
A32.0
，
（2）在ABC
中，已知
a20cm
，
b28cm，
0
B81.8
，
a42.9cm，解三角形；
0
0
A40，解三角形（角度精确到
1，边长精确
到
1cm）。
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解析：（1）根据三角形内角和定理，
0
C180(AB)
000 0
180(32.081.8)
4.
；
根据正弦定理，
0
asinB42.9sin81.8
；
b80.1(cm)
0
sinAsin32.0
根据正弦定理，
0asinC42.9sin66.2
c74.1(cm).
0
sinAsin32.0
（2）根据正弦定理，
0
bsinA28sin40
sinB0.8999.
因
00
a20
0 0
为
0
＜
B
＜
180，所以
B64，或
B
116.
①当
0
B64时，
00000
C180(AB)180(4064)76，
0asinC20sin76
c30(cm).
sinAsin40
0
②当
0
B116
时，
00000
0
C180(AB)180(40116)24，
asinC20sin24
c13(cm).
sinAsin40
0
点评：应用正弦定理时（
（2）
1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，
可能有两解的情形；
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．（1）在ABC中，已知a23，c62，
0
B60
，求
b及A；
（2）在ABC
中，已知
a134.
6cm
，
b87.8cm
，
c161.7cm
，解三角形
解析：（1）
2222cos
∵
=
22
bacacB
0
(23)(62)223(62)cos
45
2
12(62)43(31)=
=8
∴b22.
求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
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解法一：
∵cos
222(22)(62)(23)1
A
bca
,
2222(62)2
bc
a23
222
0
∴
A
60.
解法二：
∵sin
0
AsinBsin45,
b
22
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又∵62
＞
2.41.43.8,
23
＜
21.83.6,∴a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
∴
A
0
60.
（2）由余弦定理的推论得：
cos
A
222
bca
222
5.
161.7134.6
5.
,
2bc
287.8161.7
0
A5620；
cos
222 222
B
cab
134.6161.787.8
0.8398,
2ca
2134.6161.7
0
B3253；
0000
C180(AB)180(56203253)
0
9047.
点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
题型2：三角形面积
例3．在ABC中，sinAcosA2
2
，AC2，AB3
，求
tanA
的值和
ABC的
面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
sinAcosA2cos(A45)
2
2
,
cos(A45)
1
2
.
又
0A180,A4560,A105.
13
tanAtan(4560)23
,
13
26
.sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60
4
11263
SACABA
sin23(26)
。
ABC
2244
解法二：由
sinAcosA
计算它的对偶关系式
sin
AcosA
的值。
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0
90,
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sinAcosA
2
2
①
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(sinAcosA)
2
1
2
2sinAcosA
1
2
0A180,sinA0,cosA0.
(sin
3
2AA
AcosA)12sincos,
2
sinAcosA
6
②
2
①+②得sinA26
4
。
①－②得cosA26
4
。
从而
sinA264
。
tanA23
cosA426
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积
公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一
道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解
法比较简单呢？
例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC
AC
中，
BC1,B2A,
则
的值等于，
cosA
AC
的取值范围为
.
答案2(2,3)
解析设A,B2.
由正弦定理得
ACBCACAC
,12.
sin2sin2coscos
由锐角ABC
得
0290045
，
又
，故
30452cos3
，
22
AC2cos(2,3).
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例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC
中，角
A,B,C
A
cos
25
（I）求ABC
的面积；（II）若
bc6
，求
a
的值．
A
解（1）因为
cos
2
A34
25
，
cos2cos1,sin
AA，又由ABAC3
25
255
1
得
bccosA3,bc5
，
SbcsinA2
ABC
2
（2）对于
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
25
，
ABAC3
．
bc5
，又<
br>bc6
，
b5,c1
或
b1,c5
，由余弦定理得
2222cos20
abcbcA，a25
例6．（2009全国卷Ⅰ理）在AB
C
中，内角A、B、C的对边长分别为
a
、
b
、
c，已知
222
acb，
且sinAcosC3cosAsinC,求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已
222
知条件(1)
acb
左侧是二次的右
侧是一次的,学生总感觉用
余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sinAcosC3cosAsinC,
过多
的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而
失分.
解法一：在ABC
中
sinAcosC3cosAsinC,
则由正弦定理及余弦定理
222222
abcbca
有
a3c,
:
2ab2bc
222
acb
化简并整理
得：
222
2(ac)b.又由已知
2
4bb.解得b4或b0(舍）.
222
acb
,
b0
.
解法二:由余弦定理
2222cos
得:
acbbcA.又
所以
b2ccosA2①
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又
sinAcosC3cosAsinC
，
sinAcosCcosAsin
C4cosAsinC
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sin(AC)4cosAsinC
，即
sinB4cosAsinC
BC
由正弦定理得
b
sinsin
c
b4
.
，故
b4ccosA②
由①，②解得
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对
问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就
行，不必强化训练
题型4：三角形中求值问题
BC
例7．ABC
的三个内角为
A、B、C
，求当A为何值时，
cos2cos
A取得最大值，
2
并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得
B+C
A ，所以有cosB+C A
π
－
。
=
2
=sin
2
2
2
2
2
B+C
A
2
A AA 1
3
+
cosA+2cos 2=1－2sin2+2sin 2=－2(sin2－ 2
2
2=cosA+2sin )
；
π
A
1 B+C 3
2
=
2 2
3
时,cosA+2cos取得最大值为
2
。
当sin ，即A=
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性
质求得结果。
例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC
中，角
A,B,C
A
cos
25
（I）求ABC
的面积；（II）若
c1
，求
a
解
（Ⅰ）
cosA2
2
的值．
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
25
，
ABAC3
．
A
又
A(0,)
，
2
cos
43
sin
A1cos
，而
3
，所
2
A
55
114
25
3
2
1 2 ( ) 1
5
5
以
bc5
，所以
ABC
的面积为：
2
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bcsinA5
225
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
bc5
，而
c1
，所以
b5
2cbcA
2
所以
ab2cos2512325
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点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍
角公式，考察应用、分析和计算能力
题型5：三角形中的三角恒等变换问题
22<
br>例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a－
c=ac
bsinB
－bc，求∠A的大小及
的值。
c
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。
2
B
2
b
=a，再用正弦定理可
bsin
由b
c
=ac可变形
c
求
为
的值。
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b=ac。
22222
又a－c=ac－bc，∴b+c－a=bc。
2
2
2
b c
a
=
bc
=
1
，在△ABC中，由余弦定理得：
cosA=
2bc 2
∴∠A=60°。
2bc
2
bsin A
，∵b=ac，
在△ABC中，由正弦定理得
sinB=
a
∠A=60°，
2
3
bsinBbsin60
∴ 。
=sin60°
2
=
cac
解法二：在△ABC中，
1
1
由面积公式
bcsinAacsinB
得
2
=
2
。
∵b=ac，∠A=60°，∴bcsinA=bsinB。
bsin B
3
∴ 。
=sinA=
2
c
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数
列，求
A
tan
2
C
tan
2
A
C
3 tan tan
的
2 2
值。
22
2
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
AC
从而
2
AC
＝60°，故tan3
2
。
AC
tantan
22
得3
AC
1tantan
22
ACAC
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.由两角和的正切公
式，
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所以
tantan33tantan,
2222
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A
C
tan tan
2 2
A
C
3 tan tan
2 2
3
。
点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同
时结合三角变换公式的逆用。
题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
答案：C <
br>解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分
析、判断明确解题思路和变形方向，通畅
解题途径
例12．（2009四川卷文）在ABC<
br>中，
A、B
为锐角，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，且
510
sinA,sinB
510
（I）求
AB
的值；
（II
）若
ab21
，求
a、b、c
的值。
解（I）∵A、B
510
为锐角，
sinA,sinB
510
∴
2252310
cosA1sinA,cosB1sinB
510
253105102
cos(AB)cosAcosBsinAsinB.
5105102
∵0AB
AB∴
4
（
3
（I
II
）知
）由
C，∴
sinC
2
4
2
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abc
由
sinAsinBsinC
得
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5a10b2c
，即
a2b,c5b
又∵ab21
∴2bb21∴b1
∴a2,c5
6.
（200
9四川卷文）在ABC
中，
A、B
为锐角，角
A、B、C
所对的边分
别为
a、b、c
，且
510
sinA,sinB
510
（I）求
AB
的值；
的值。
（II
）若
ab21
，求
a、b、c
解（I）∵A、B
为锐角，
510
sinA,sinB
510
2252310
∴
cosA1sinA,cosB1sinB
510
253105102
cos(AB)cosAcosBsinAsinB.
5105102
∵0AB
AB∴
4
（II）由
（I）知
3
C，∴
4
sinC
得
2
2
abc
由
sinAsinBsinC
5a10b2c
，即
a2b,c5b
又∵ab21
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∴2bb21∴b1
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∴a2,c5
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为
三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4
f(t)t
点，你能否很快的想到呢？
五．【思维总结】
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，
然后利用A+B+C=π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），
应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦
定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。
2．三角形内切圆的半
径：
2S
r
abc
，特别
地，
abc
r
直
；
斜
2
，这些解题思维的
拐
t
3．三角学中的射影定理：在△
ABC中，
bacosCccosA
，⋯
4．两内角与其正弦值：在△ABC
中，
ABsinAsinB
，⋯
5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及何几
作图来帮助理解”。
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