竹篮打水-雷人标语

.


学员姓名

授课老师



学科教师辅导教案
年 级

课时数
高三
2h
辅导科目

数 学

第

次课
授课日期及时段 2018年

月

日

：

—

：




历年高考试题集锦（文）——解三角形

1．（2017新课标Ⅲ文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
，
已知C=60°，b=
6
，c=3，则A=__
75°_。

2．(2012广东文) 在
ABC
中，若
A60,B 45,BC32
，则
AC
( B )


(A)
43

(B)
23

(C)


(D)



3． （2013湖南）在锐角中
ABC
，角
A,B
所对的边长分别为
a ,b
.若
2asinB3b,则角A等于
（ D ）

A．


B． C． D．
12
643
4．(2013湖南文)在

ABC中，角A， B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=
3
b，则角A等于（ A ）
A.
2


2


3


或 B.或 C. D.
343
343
22
5．(2014江西理) 在
ABC
中 ，内角A,B,C所对应的边分别为
a,b,c,
，若
c(ab)6,C
3
,
则
ABC
的面积（ C ）
A.3 B.
9333
C. D.
33

22
2sin
2
Bsin
2
A
6．（2014江西文）在在
ABC
中，内角A,B,C所对应的边分别为
a,b,c,
，若
3a5b
，则
sin
2
A
的值为（ D ）
11
7
A.

B.

C.1

D.

93
25
11
．
△ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
。
7
．（
2017新 课标1文
）已知
sinBsinA(sinCcosC)0
，
a=2< br>，
c=
2
，则
C=
..

.
A
．
π

12
B
．
π

6
C
．
π

4
D
．
π

3
【答案】
B
【解析】由题意
s in(AC)sinA(sinCcosC)0
得

sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0
，
即
sinC(sinAcosA)

3

.
2sinCsin(A)0
，所以
A
44
由正弦定理
22ac1


得，即
sinC
，得
C
，故选 B.

sinAsinC
sin
3

sinC
2 6
4
222
8．（2012上海）在
ABC
中，若
sin AsinBsinC
，则
ABC
的形状是（ C ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

π
9.（2013天津理）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin ∠BAC等于( C )
4
A.
10103105
B. C. D.
105105
ππ
10.(2013新标2文) △ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已知b＝2，B＝，c＝，则△ABC
64
的面积为( B )
A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1
2
23cosAcos2A0
，11、(2013新标1文) 已知锐角
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，
a 7
，
c6
，则
b
（ D ）
（A）
10
（B）
9
（C）
8
（D）
5

1
12．（2013辽宁）在△ABC中，内角A，B，C的对边 分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，
2
且a＞b，则∠B＝( )
π
A.
6

π
B.
3

2π
C.
3
5π
D.
6
ac
111
【简解】由条件得
b
sin Bcos C＋
b
sin Bcos A＝
， sin Acos C＋sin Ccos A＝，∴sin(A＋C)＝，从而sin B
222
1
π
＝，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝
.选A
26
13．（2013山东文）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝ 2A，a＝1，b＝3，则c＝( )
A．23 B．2 C.2 D．1
13333
【简解】由正弦定理得：＝＝＝.，cos
A
＝，
A
＝30°，
B
＝60°，
C
＝90°，< br>sin
A
sin
B
sin 2
A
2sin
A
cos
A
2
..

.
所以< br>c
＝
a
＋
b
＝4，所以
c
＝2.
14．（2013陕西）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若
bcosCccosBasinA
, 则△ABC
的形状为
(A) 锐角三角形
222
(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
【 简解】sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin
2
A,sinA=1,A=

.选B
2
5
，
c2
，
cosA
15、（2016年新课标Ⅰ卷文）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a 、b、c.已知
a
则b=
（A）
2
（B）
3
（C）2 （D）3
【答案】D
16、（2016年新课标 Ⅲ卷文）在
△ABC
中，
B=
（A）
2
，
3
π
1
，BC边上的高等于
BC
,则
sinA=

43
105310
3
（B） （C） （D）
5
1010
10
试题分析：设
BC
边上的高线为< br>AD
，则
BC3AD,DC2AD
，所以
AC
正弦定理 ，知
AD
2
DC
2
5AD
．由
[来源:学科网 ZXXK]
310
5AD3AD
ACBC
，即，解得
sinA，故选D．


10
sinBsinA
sinA
22

17、（2016年高考山东卷文）
△ABC
中，角A，B，C的对 边分别是a，b，c，已知
b=c,a
2
=2b
2
(1-sinA)
,
则A=
（A）
3π
πππ
（B）（C）（D）
4346
【答案】C

考点：余弦定理
18、2016年高考北 京卷文)在
△
ABC中，
A
2

b
，a=
3
c，则=_________.
c
3
试题分析：由正弦定 理知
sinAa
3
，所以
sinC
sinCc
sin
2

3

1
，则
C

，所以
2
6
3
..

.
B


2

b

，所以
bc
，即
1
．
c
366
45
，
cosC
，
513
考点：解三角形
19、（2016年新课标Ⅱ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若
cosA
a=1，则b=____________.
【解析】因 为
cosA
45312
,cosC
，且
A,C
为三角形 内角，所以
sinA,sinC
，
513513
13abasinB21
，又因为，所以
bsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC 
.
65sinAsinBsinA13

20．（2013安徽）设ABC
的内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
。若< br>bc2a
，则
3sinA5sinB,
则
角
C
_____.
【答案】
2

3

21.(2014新标1理) 已知
a,b,c
分别为
ABC
的三 个内角
A,B,C
的对边，
a
=2，且
(2b)(sinAsi nB)(cb)sinC
，则
ABC
面积的最大值为 .
【解析】由
a2
且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC
，
即
(ab) (sinAsinB)(cb)sinC
，由及正弦定理得：
(ab)(ab)( cb)c

b
2
c
2
a
2
1

，∴
A60
0
，∴
b
2
c
2< br>4bc
∴
bcabc
，故
cosA
2bc2< br>222
1
4b
2
c
2
bcbc
，∴
S
ABC
bcsinA3
，
2
22.(2017< br>年新课标Ⅱ文
)
△ABC
的内角
A
,
B
,< br>C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,若
2 bcos B
＝
acos C
＋
ccos A
,则
B
＝

π
3

.
23、(2017年山东卷理)在
C
中，角

，

，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若
C
为锐角三角形，
且满足
sin

12cosC

2sincosCcossinC
，则下列等式成立的是
（A）
a2b
（B）
b2a
（C）
2

2
（D）
【答案】A【解析】
sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosA sinC

所以
2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA 2ba
，选A.
24.（2012安徽文）设
ABC
的内角
A ,B,C
所对的边为
a,b,c
，且有
..

.
2sinBcosAsinAcosCcosAsinC

（Ⅰ）求角
A
的大小；学（II） 若
b2
，
c1，
D
为
BC
的中点，求
AD
的长。
【答案】（Ⅰ）

7
（II）
3
；
2
2 5.（2012山东文）在△ABC中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c< br>，已知
sinB(tanAtanC)tanAtanC
.
(Ⅰ)求证：
a,b,c
成等比数列； (Ⅱ)若
a1,c2
，求△
ABC
的面积S.
【答案】(1)略；(2)
7

4
26.(2012新标文) 已知
a
，
b
，
c
分别为
ABC
三个内角A
,
B
,
C
的对边，
c3asinCccosA< br>。.
(Ⅰ)求
A
； (Ⅱ)若
a
=2，
ABC< br>的面积为
3
，求
b
，
c
.
【答案】(Ⅰ)
A
. (Ⅱ)
bc
=2.
3

27.(2014新标2文) 四边形
ABCD
的内角
A
与
C
互补，
AB1,BC3,CDDA2
.
（1）求
C
和
BD
； （2）求四边形
ABCD
的面积.
【答案】（I）
C60
，
BD
0

7
。 （Ⅱ）
23

28.(2013浙江文) 在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asin B＝3b.
(1)求角A的大小； (2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
π
73
【答案】 (1) . (2)
33
29.(2014浙江文) 在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
4sin
2
AB
4sinAsinB22

2
（1）求角< br>C
的大小；（2）已知
b4
，
ABC
的面积为6，求边长
c
的值.
【答案】（1）
C

4
；（2）
c10
. < br>30.（2013湖北理）在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
c
. 已知
cos2A3cos(BC)1
.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ ）若△
ABC
的面积
S53
，
b5
，求
sin BsinC
的值.
【简解】（Ⅰ）由
cos2A3cos(BC)1
，得
2cos
2
A3cosA20
，解得
cosA
因为
0Aπ
，所以
A
π
.
3
1
或
cosA2
（舍去）.
2
..

.
1133
（Ⅱ）由
SbcsinAbcbc5 3,
得
bc20
. 又
b5
，知
c4
.
2224
由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
2bccosA25162021,
故
a21
.
bcbc2035
又由正弦定理得
sinBsinCsinAsinA
2
sin
2
A
.
aaa2147
31．(2013江西理) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos
B＝0.(1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
π
【简解】(1)由已知sin Asin B－3sin Acos B＝0，sin B－3cos B＝0，tan B＝3， B＝.
3

a＋c

2
11
(2) b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝(a＋c)
2
－3ac≥(a＋c)
2
－3

＝
4
(a＋ c)
2
＝
4
，等号可以成立

2

11
∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.
22
A－B
32.（2013四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，且2cos
2
cos B－sin(A－B)sin B
2
3
→→
＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值； (2)若a＝42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．
5
【简解】(1)由2cos
2
A－B
3
cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－
，得
25
33
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－
，即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－
.
55
33
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－
.
55
abbsin A
342
(2)由cos A＝－
，0a
＝
.
55sin Asin B2
3
π
－

， 由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理 ，有(42)
2
＝5
2
＋c
2
－2×5c×

5

4
2
→→→
解得c＝1或c＝－7(舍去)．故 向量BA在BC方向上的投影为|BA
|cos B＝

2
a
2
ac

33.
（
2017新课标1 理
）
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为，
b
，，已知
△ABC
的面积为．
3sinA
（
1
）求
sinBsinC
；

（
2
）若
6cosBcosC1
，
a3
，求
△ABC的周长．

13
a
2
a
2
1
.
且
SbcsinA
∴
bcsinA
∴
a
2
 bcsin
2
A
∵
由正弦定理
【解析】
（
1
）
∵
△ABC
面积
S
22
3sinA3sinA232
得
sin
2
AsinBsinCsin
2
A，由
sinA0
得
sinBsinC
.
23
21
（
2
）由（
1
）得
sinBsinC
，
cosBcosC
∵
ABCπ

36
..

.
∴
cosAcos

πBC
< br>cos

BC

sinBsinCcosBcosC又
∵
A

0，π

∴
A60
，
sinA

由余弦定理得
a
2
b
2
 c
2
bc9

①
由正弦定理得
b
1
3
，
cosA

2
2
1

2
aa
sinB
，
csinC

sinAs inA
a
2
∴
bc
2
sinBsinC8

②
由
①②
得
bc33
∴
abc333
，即
△ABC
周长为
333

sinA
34、（ 2014山东文）
ABC
中，角A，B，C所对的边分别为
a,b,c
. 已知
a3,cosA
（Ｉ）求
b
的值；（II）求
ABC的面积.
【简解】（I）在
ABC
中，由题意知
sinA1co sA
2
6

,BA
.
32
3

，又因为
BA
，
3
2所有
sinBsin(A

2
)cosA
asinB< br>6

，由正弦定理可得
b
sinA
3
3
6
3
32
.
3
3
（II）由
BA

2
得
cosBcos(A

2
)sinA< br>3
，由
ABC

,得
C

(A B)
.
3
3366
1
()

.
3333
3
所以
sinCsin[

(AB)]sin( AB)
sinAcosBcosAsinB

因此，
ABC
的面积
S
11132
absinC332
.
2232
2
35、(2015新标1文) 已知
a,b,c
分别是< br>ABC
内角
A,B,C
的对边，
sinB2sinAsinC.
（I）若
ab
，求
cosB;
（II）若
B90
，且
a
o
2,
求
ABC
的面积.
2
ac
2
b
2
1
2
解：（I）由题设及正弦定理可得
b
=2ac.又a=b，可得cosB == ……6分
2ac
4
（II）由（I）知
b
=2ac.因为B=
90
，由勾股定理得
ac=b
.
22
故
ac=2ac
，的c=a=
2
.所以△ABC的面积为1. ……12分
2
o
222
36、（2015年新课标2文）△ABC中D是B C上的点,AD平分

BAC,BD=2DC.
..

.
（I）求
sinB
； （II）若
BAC60
o
,求
B
.
sinC

37、（2016年四川文）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 是a，b，c，且
（I）证明：sinAsinB=sinC； （II）若b
2
c
2
a
2

试题解析：（Ⅰ）根据正 弦定理，可设
cosAcosBsinC
。

abc
6
bc
，求tanB。
5
abc
k(k0)
则a=ksin A，b=ksin B，c =ksinC.
sinAsinBsinC
代入
cosAcosBsinC
c osAcosBsinC

中，有，可变形得sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).

ksinAksinBksinA
abc
在 △ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，所以sin A sin B=sin C.
（Ⅱ）由已知，b
2
+c
2
–a
2
=
64
b
2
c
2
a
2
3
bc，根据余弦定理，有
cosA
.所以sin A=
1cos
2
A
.
2bc5
55
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，所以
sinB
443
sin B=cos B+sin B，故tan B==4.
cosB
555
38
、（
2016
年高考天津 文）在
ABC
中，内角
A,B,C
所对应的边分别为
a,b,c< br>，已知
asin2B3bsinA
.
(Ⅰ)求B； (Ⅱ)若
cosA
1
，求sinC的值.
3
..

.

39、 (2017年新课标Ⅲ卷理)
△ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+
3
cosA=0，a=2
7,b=2．
（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD

AC,求△ABD的面积．
.
解：（
1
）因
sinA3cosA 0sinA3cosAtanA3

QA

0,


A
2

由余弦定
3
理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
，代入
a2 7
，
b2
得

c
2
2c240
c6
或
c4
（合法）
c4

（
2）由（
1
）知
c4
Qc
2
a
2
 b
2
2abcosc
162842272cosc
cos c
27

7
∴sinC= ，∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ，∴AD= ，∴S
△
ACD
= AC•AD= ×2× =
，∵S
△
ABC
= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，∴S
△
ABD
=S
△
ABC
﹣S△
ADC
=2 ﹣ =
2

40、( 2017年新课标Ⅱ卷理)

ABC
的内角
A
已知
sin (AC)8sin
、B、C
所对的边分别为
a,b,c
，
B。
2
（1）求
cosB
； （2）若
ac6
，
ABC
的面积为
2
，求
b
．
【答案】（1）
cosB
15
（2）
2

17
3
41、 (2017年北京卷理) 在△ABC中，
A
=60°，c=
7
a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的
面积.
【答案】
（1）根据正弦定理
..

.
acC× sinA33333
=sinC==sin60
。
==

si nAsinCa77214
（2）当
a=7
时
c=
33
a= 3

sinC=
714
3

△ABC中
14
3
c＜a

cosC1sin
2
C< br>sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAs inC

=
3313333
+=

21421414< br>S
△ABC
=
1139
acsinB=733=3

22144
42、(2017年天津卷文)在
△ABC
中，内角
A, B,C
所对的边分别为
a,b,c
．已知
asinA4bsinB
，
ac5(a
2
b
2
c
2
)
．
（Ⅰ）求
cosA
的值；

（Ⅱ）求
sin(2BA)
的值．

ab

，得
a2b
．

sinAsinB
5
ac
222
bca5
222
5

由
ac5(abc)
及余弦定理，得
cosA
．

2 bcac5
【解析】（Ⅰ）由
asinA4bsinB
及
（Ⅱ）由（Ⅰ）可 得
sinA
25asinA5
，代入
asinA4bsinB
， 得
sinB
．


54b5
由（Ⅰ）知
A
为钝角，所以
cosB1sin
2
B
于是
sin2B2s inBcosB
25
．

5
43
2
，
cos2B12sinB
，

55
4532525
．

()
55555故
sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA


..