关于中秋节的古诗大全-公务员面试题

绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷
理 科 数 学（三）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非 选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生
号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设 集合
A

1,2,3

，
B

x3< br>x
4

，则
AB
（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3}
【答案】B
【解析】
A

1,2,3

，
B

x3
x
4



log
3
4,

，
AB

2,3

，选B．
2．在
△ABC
中，“
ABBC0
”是“
△ABC
是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
ABBC0
，则
B
为钝角， 故
△ABC
为钝角三角形；若
△ABC
为钝角三角形，则
B
可能为锐
角，此时
ABBC0
，故选A．
3．已知实数
a< br>，
b
满足：
12
a
2
b
，则（ ）
A．
11
a

b
B．
log
2
alog
2
b
C．
ab
D．
cosacosb

【答案】B
【解 析】函数
y2
x
为增函数，故
ba0
．而对数函数
y log
2
x
为增函数，所以
log
2
alog
2
b
，故选B．
4．已知函数
f

x

sin


x


（

0
，


π
2
）图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2
，将函数
yf

x

的图象向左平移
π
3
个单位后，得到的图象关于
y
轴对称，那么函数
yf

x

的图象（ ）
A．关于点


π



12
,0



对称 B．关于点< br>


12
,0



对称 C．关于直线
x
π
D．关于直线
x
π
12
对称
12
对称
【答案】A
【解析】由题意得
T
2< br>
π
2
，
Tπ
，


2T
2
，因为函数
yf

x

的图象向左平 移
π
3
个单位后，得到的图
象关于
y
轴对称，所以
ysin


2π

2x
3




关于
y
轴对称，即
2
3
< br>


2
k

kZ

，


2
，




6< br>，所以
f

x

sin


< br>2x


6





关于点


12
,0


对称，选A．
5．设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
6
S
7
S
5
，则满 足
S
n
S
n1
0
的正整数
n
的值为 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】∵
S
6
S
65
7
S
5
，∴
6 a
1

2
d7a
7654
1

2< br>d5a
1

2
d
，∴
a
7
0< br>，
a
6
a
7
0
，∴
S
13
a
1
a
13

13

2
13a
7
0
，
S

a
1
a
12

12

12
2
6

a
6
a
7

0
，
∴满足
S
n
 S
n1
0
的正整数
n
的值为12，故选C．
6．将函 数
ysin


x
π

π

6


的图象上所有的点向右平移
4
个单位长度，再把图象上各点的 横坐标扩大到原来的2
倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ）
A．
ysin


2x
5π

x

12< br>

B．
ysin



2

π

12



C．
ysin


x

x

2

5π

12


D．
ysin


2

5π

24



【答案】C

【解析】向右平移
π
4
个单位长度得带
sin



x
5π

12


，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得
到
ysi n


x

2

5π

12

，故选C．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
4ππ2π
3
B．
5
3
C．
2
3
D．
4
2π
3

【答案】B
【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据 得该几何体的体积为
1
2



4π

3
2π


5π


3
，故选B． 8．函数
f

x



2
x
2
x

cosx
在区间

5,5

上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为当
x


0,



2< br>

时，
f

x

0
；当
x




2
,
3

2< br>

时，
f

x

0
；当
x


3


2
，5


时，
f

x

0
．所
以选D．
9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割< br>术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内 接正
多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的
n24
，则
p
的值可以是（ ）
（参考数据：
s in150.2588
，
sin7.50.1305
，
sin3.7 50.0654
）

A．2.6 B．3 C．3.1 D．3.14
【答案】C
【解析】模拟执行程序，可得：
n6
，
S3sin 60
33
2
，不满足条件
Sp
，
n12
，
S6sin303
，不满足条件
Sp
，
n24
，
S12sin15120.25883.1056
，满足条件
Sp< br>，
退出循环，输出
n
的值为
24
．故
p3.1．故选C．
10．已知点
A

0,1

是抛物线< br>x
2
2py
的准线上一点，
F
为抛物线的焦点，
P
为抛物线上的点，且
PFmPA
，若双曲线
C
中心在原点，
F
是它的一个焦点，且过
P
点，当
m
取最小值时，双曲线
C
的离心率
为（ ）
A．
2
B．
3
C．
21
D．
31

【答案】C
【解析】由于A
在抛物线准线上，故
p2
，故抛物线方程为
x
2
 4y
，焦点坐标为

0,1

．当直线
PA
和抛物 线
相切时，
m
取得最小值，设直线
PA
的方程为
ykx 1
，代入抛物线方程得
x
2
4kx40
，判别式
< br>16k
2
160
，解得
k1
，不妨设
k 1
，由
x
2
4x40
，
解得
x2
，即
P

2,1

．设双曲线方程为
y
2
x
2
14
a
2

b
2
1
，将
P
点坐标代入得
a
2

b
2
1
，

即
b
2
4a
2
a
2
b
2
0
，而双曲线
c1
，故
1 a
2
b
2
，
b
2
1a
2
，所以
1a
2
4a
2
a
2

1a
2

0
，解得
a21
，故离心率为
c1a

21
21
，故选C．
11．在三棱锥
S ABC
中，
SBBC
，
SAAC
，
SBBC
，
SAAC
，
AB
1
2
SC
，且三棱锥
SABC
的体积为
93
2
，则该三棱锥的外接球半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】取
SC
中 点
O
，则
OAOBOCOS
，即
O
为三棱锥的外接球 球心，设半径为
r
，则
1
3
2r
3
4
r
2

93
2
，
r3
，选C．
12 ．若存在实常数
k
和
b
，使得函数
F

x

和
G

x

对其公共定义域上的任意实数
x都满足：
F

x

kxb
和
G

x

kxb
恒成立，则称此直线
ykxb
为
F

x

和
G

x

的“隔离 直线”，已知函数
f

x

x
2

x R

，
g

x


1
x

x0

，
h

x

2elnx，有下列命题：
①
F

x

f

x

g

x

在
x



1
3
2
,0


内单调递增；

②
f

x

和
g

x

之间存在“隔离直线”，且
b
的最小值为
4
；
③
f

x

和
g

x

之间存在“隔离直线”，且
k
的取值范围是
(4，0


；
④
f

x

和
h

x

之间存在唯一的“隔离直线”
y2exe
．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①
F

x

f

x

g

x

x
2

1
x
，
x




1
32
,0


，

F


x

2x
1
x
2
0
，
F

x

f

x

g

x

，在
x


1



3< br>2
,0

内单调递增，故①正确；②，③设

f
< br>x

,g

x

的隔离直线为
ykxb
，则
x
2
kxb
对一切实数
x
成立，即有
2
1
1
0
，
k4b0
，又
x
kxb
对一切
x0
成立，则
kx
2
bx 10
，即

2
0
，
b
2
4k0< br>，
k0
，
b0
，即有
k
2
4b且
b
2
4k
，
k
4
16b
2< br>64k
，
4k0
，同理
b
4
16k2
64b
，可得
4b0
，故②正确，③错误，④函数
f

x

和
h

x

的图象在< br>xe
处有公共点，因此存在
f

x

和
h

x

的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为
k
，
则隔离直线方程为
yek

xe

，即
ykxkee
，由
f

x

kxke e

xR

，可得
x
2
kxkee0< br>，当
xR
恒成立，则



k2e
< br>2
0
，只有
k2e
，此时直线方程为
y2exe，下面证明
h

x

2exe
，令
G
x

2exeh

x

2exe 2elnx
，
G


x


2e

xe

x
，当
xe
时，
G

x

0
；当
0xe
时，
G'

x

0
；当
xe
时，
G'

x

0
；当
xe
时，
G


x

取到极小值，极小值是
0
，也是最小值，
G
x

2exeh

x

0
，则
h

x

2exe
，

函数
f
x

和
h

x

存在唯一的隔离直 线
y2exe
，故④正确，真命题的个数有三个，
故选C．
第Ⅱ卷 < br>本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第
(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若
abi
i

a,bR

与

2i

2
互为共轭复数，则
ab
_________ _．
【答案】
7

【解析】∵
abi
i
< br>
abi

i

i
2
bai< br>，

2i

2
44i134i
，又abi
i

a,bR

与

2i

2
互为共
轭复数，∴
b3
，
a4
，则< br>ab7
，故答案为
7
．
14．已知向量
a

2，3

，
b

m，6

，若< br>ab
，则
2ab
___________．
【答案】13 < br>【解析】由题意得
2m180
，
m9
，
2ab

13,0

，
2ab13
．
15．如图 所示，正四面体
ABCD
中，
E
是棱
AD
的中点，
P
是棱
AC
上一动点，
BPPE
的最小值为
14
，
则该正四面体的外接球面积是__________．

【答案】
12π

【解析】把正四面体
ABCD
展开成如图所示的菱形
ABCD
，在菱形
ABCD
中，连结
BE，交
AC
于
P
，则
BE
的长即为
BPPE< br>的最小值，即
BE14
．

如图，
BCD120< br>，
DCE30
．∴
BCE90
，
设
DEx
，则
ABBCCDAD2x
．
∴CE3x
，则
BEBC
2
CE
2
7x14< br>．
∴
x2
，即正四面体
ABCD
的棱长为
22
．
∴该正四面体的外接球的半径为
6
4
223
，
∴该正 四面体的外接球的面积为
4π

3

2
12π
，故答案为
12π
．
16．抛物线
y
2
2px(p0 )
的焦点为
F
，准线为
l
，
A
、
B
是抛物线上的两个动点，且满足
AFB

3
．设
线段
AB
的中点
M
在
l
上的投影为
N
，则
MN
AB
的最大值是_____．
【答案】
1

【解析】设< br>AFa
，
BFb
，如图，根据抛物线的定义，可知
AFAQ，
BFBP
，再梯形
ABPQ
中，有
MN
1
2

ab

，
△ABF
中，
AB
2< br>a
2
b
2
2abcos

3
a2
b
2
ab

ab

2
3 ab
，又因为
2
ab


ab

2< br>
ab

2
a
MN
1
2
ab


2


，所以
AB
4< br>AB
b
2
，所以
AB

ab
1，故最大值是
1
，故填：
1
．
2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．满足
2acosCbcosCccosB0
．
（1）求角
C
的大小；
（2）若
a2
，
△ ABC
的面积为
3
2
，求
c
的大小．
【答案】（1）
2
3
；（2）
7
．
【解析】（ 1）在
△ABC
中，∵
2acosCbcosCccosB0
， ∴由正弦定理可得：
2sinAcosCsinBcosCsinCcosB0
，
∴
2sinAcosCsin

BC

0
，
又
△ABC
中，
sin

BC

si nA0
．
cosC
1
2
．
∵
0C
．∴
C
2
3
．
（2） 由
S
1
2
2
absinC
3
2
，< br>a2
，
C
3
，得
b1
．
由余弦定理 得
c
2
41221




1

2


7
，∴
c7
．
18．如图，在矩形
ABCD
中，
AB4
，
AD2
，< br>E
是
CD
的中点，以
AE
为折痕将
△DAE
向上折起，
D
变
为
D

，且平面
D
AE
平面
ABCE
．

（1）求证：
AD

EB
；
（2）求二面角
ABD

E
的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）
90
．
【解析】（1）证明：∵
AEBE22
，
AB4
，
∴
AB
2
AE
2
BE
2
，∴
AEE B
，
∵平面
D

AE
平面
ABCE
，
∴
EB
平面
AD

E
，∴
AD

EB

（2）如图建立空间直角坐标系，
D
z
x
E
C
A
B
y

则
A

4,2,0

、
C

0,0,0
、
B

0,2,0

、
D


3,1,2

，
E

2,0,0

，
从而
BA

4，0，0

，
BD


3，1，2

，
BE

2,2,0

．
设
n
1


x
1
，y
1
，z
1

为平面
ABD

的法向量 ，
则



n
1
BA4x
1
0
x

可以取
n
1


0,2,1

， 

n
1
BD

3
1
y
1
2z
1
0
设
n
2


x
2
，y
2
，z
2

为平面
BD

E
的法向量，
则



n
2
 BE2x
2
2y
2
0
BD

3xz 
可以取
n
2
1,1，2

，

n
22
y
2
2
2
0

因此，
n
1
n
2
0
，有
n
1
n
2
，即平面
ABD


平面
BD

E
，
故二面角
ABD

E
的大小为
90
． 19．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为了研究工人的日 平均生产量是
否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日 平均生产件数，然后按
工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将 两组工人的日平均生产件数分成5组：

50,60

，

60,70

，

70,80

，

80 ,90

，

90,100

，分别加以统计，得到如图所 示的频率分布直方图．

（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上 组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五
入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产 件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（3）规定 日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成
22
列联表，并判断 是否有
90%
的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？

生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组

25周岁以下组

合计


P


2
k


0.100 0.050 0.010 0.001
k

2.706 3.841 6.635 10.828
2
附：

2

n

ad bc


ab

cd

ac
 
bd

．
【答案】（1）
73
；（2）
7< br>10
；（3）没有
90%
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
【解析】由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取
100
300
30 0200
60
名，“25周岁以下”应抽取
100
200
30 0200
40
名．
（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为
7010
0. 50.050.3520
0.35
70
7
73
，
综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件．

（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共
600 .005103
名，设其
分别为
m
1
，
m
2< br>，
m
3
；25周岁以下工人共
400.005102
名 ，设其分别为
n
1
，
n
2
．记“至少抽到一名25周
岁以下工人”为事件
A
．
所有基本事件分别为

m
1< br>,m
2

，

m
1
,m
3

，

m
1
,n
1

，

m
1
,n
2

，

m
2
,m< br>3

，

m
2
,n
1

，

m
2
,n
2

，

m
3
,n
1

，

m
3
,n
2
，

n
1
,n
2

，共10个；事 件
A
包含的基本事件共7个．
由于事件
A
符合古典概型，则
P

A


7
10
．
（3）由频率分 布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共
60



0.0 20.005

10


15
名，25周岁以下的“ 生
产能手”共
40



0.03250.005
10


15
名，
则
22
列联表如图所示：


生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上组
15 45 60
25周岁以下组
15 25 40
合计
30 70 100
2
所以

2

100

15251545

60403070
25
14
1.7862.706
，
综上，没有
90%
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
x< br>2
y
2
20．已知曲线
C
1
:
6

3
1
，曲线
C
2
:x
2
2py(p 0)
，且
C
1
与
C
2
的焦点之间的距离为
2
，且
C
1
与
C
2
在第
一象限的交点为< br>A
．
（1）求曲线
C
2
的方程和点
A
的坐标；
（2） 若过点
A
且斜率为
k

k0

的直线
l
与
C
1
的另一个交点为
B
，过点
A
与l
垂直的直线与
C
2
的另一个交点
为
C
．设< br>m
2

4AB
5AC
，试求
m
取值范围．

【答案】（1）
x
2
4y
，
A
2,1

；（2）
m(
25
5
,0)(0,
25
5
)
．
【解析】（1）曲线
C

C
p

1
的焦点坐标为
3,0
，曲线
2的焦点坐标为


0,
2


，由
C
1
与
C
2
的焦点之间的距离为
2
2，得
3 


p


2


2
，解得
p2
，∴
C
2
2
的方程为
x4y．

x
2
4y
由



x
2
y
2

6

3
1
，解得< br>A

2,1

．
（2）设直线
AB
的方程 为
y1k

x2

，即
ykx2k1
，

由

ykx2k1

x
2
y
2
，得

2k
2
1

x4k

﹣2k

x2

1﹣2k

2
﹣6 0
．


6

3
1
1
2则
x
6

12k

2
A
x
B

2

12k

2k
2
1
，∵
x
A
2
，∴
x
B

3
2k
2
1
，
又直线
AC
的方程为
y1< br>1

k

x2

，即
y
1< br>k
x
2
k
1
，由


y< br>1
k
x
2
k
1
，


x
2
4y
得
x
2

4
k
x 4
8
k
0
，则
x
84
A
x
C
4
k
，∵
x
A
2
，∴
x
C
2
k
，
∴
AB1k
2
x
2 k

2
3
B
x
A
1k
2

1
2k
2
1
21k
2
4k4
2k
2
1
，
22
同理
AC1


1


k


1

4

x
C
x
A
1


k
< br>
4
k
，
m
2

4AB
4k
2
4
5AC

10k
2
5

，
k0
，
0m
2

2

10
5
5
k
2

即< br>m(
25
5
,0)(0,
25
5
)
．∴ 综上所述：
m(
2525
5
,0)(0,
5
)
．
21．已知函数
f

x


x
x2
1
1
，
g

x

x
2
e
ax
(a0)
．
（1）求函数
f

x

的单调区间．
（2）若对 任意
x
1
，
x
2


0,2
< br>，
f

x
1

g

x
2

恒成立，求
a
的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为

1,1

，单调减区间

,1

和
1,

；（2）

,ln2

．
【解析】（1）
f


x


1x2

1x

1x


x
21

2


2
．
x
2
1
令
f


x

0
，则
1 x1
，令
f


x

0
，则
x1
或
x1
．
故函数
f

x

的单调增区间为

1,1

，单调减区间

 ,1

和

1,

．
（2）依题意，“对于 任意
x
1
，
x
2


0,2
< br>，
f

x
1

g

x
2

恒成立”等价于“对于任意
x

0,2

，< br>f

x

min
g

x

max
恒成立”．
由（1）知，函数
f

x

在

0,1

上单调递增，在

1,2

上单调递减．
∵
f

0

1
，
f
2


2
5
11
，∴函数
f< br>
x

的最小值为
f

0

1< br>，
∴
g

x

2ax
max
1
．∵
g

x

xe
，∴
g
< br>
x



ax
2
2x

e
ax
．
∵
a0
，令
g


x

0
，得
x
1
0
，
x
2
2

a
．
①当

2
a
2< br>，即
1a0
时，当
x

0,2

时 ，
g


x

0
，函数
g

x

在

0,2

上单调递增，∴函数
g

x

max
g

2

4e
2a
．
由
4e
2a
1
得，
aln 2
，∴
1aln2
．
②当
0
2
a< br>2
，即
a1
时，
x



0,
2

a


时
g

x

0
，
x




2
a
,2



时，
g


x

0
，
∴函数
g

x

在


0,
2


a

上单调递增，在




2
a
,2



上单调递减，
∴
g

x


2

4
max
g



a< br>


a
2
e
2
．由
4
a
2
e
2
1
得，
a
2
e
，
∴
a1
．综上所述，
a
的取值范围是

, ln2

．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．[选修4 －4：坐标系与参数方程]已知直线
l
过原点且倾斜角为


0，

0

2
，以原点
O
为极点，
x< br>轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为

sin
2

4cos

．
（1）写出直线
l
的极坐标方程和曲线
C
的直角坐标方程；
（2）已知直线
l

过原点且与直线
l
相互垂直，若
lC M
，
l

CN
，其中
M
，
N
不与原点重合，求
△OMN
面积的最小值．
【答案】（1）

< br>
2
0
，
y4x
；（2）16．
【解析】（1） 依题意，直线
l
的极坐标方程为




0




0

2
,

R


，
曲线
C:

sin
2
4cos

，

2
sin
2
< br>4

cos

，直角坐标方程为
y
2
4 x
，
（2）把



2
4cos
0
代入

sin

4

cos
< br>，得

0
M

sin
2

， 0
可知直线
l

的极坐标方程为




0

2


R

，
代入

sin
2

4cos

，得

N
cos
2

4sin

4sin

0
，所以

0
N

cos
2

，
0
S
1
△OMN

2
OMON
1
2


1616
M


N
2s in

16
，
0
cos

0
sin 2

0
(当且仅当

0


4
时 ，取“=”)，
即
△OMN
面积的最小值为
16
．
23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
f

x

和
g

x

的图象关于原点对称，且
f

x

x
2
2x
．
（1）解关于
x
的不 等式
g

x

f

x

x 1
；
（2）如果对
xR
，不等式
g

x
cf

x

x1
成立，求实数
c< br>的取值范围．
【答案】（1）


1,
1

；（2）


,
9


< br>2

8

．

【解析 】（1）∵函数
f

x

和
g

x

的图象关于原点对称，
∴
g

x

f< br>
x

x2x
，
2
∴原不等式可化为x12x
，即
x12x
2
或
x12x
2
，
解得不等式的解集为

1,

．
2
2


1


（2）不等式
g

x

cf

x

x1
可化为：
x12xc
，
2
即
2x
2
cx12x< br>2
c
，
2



2xx

c1

0

18

c1

0

，则只需


， 即

2
18 1c0
2xx1c0






c
的取值范围是

,

．
8


9

