石家庄市教育局-大学生求职信

ruize
第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非 选择题)两部分．满分150分，考试时间
120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是 符合题目要求的)
5
1．△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c.若a ＝
2
b，A＝
2B，则cosB等于( )
5
A.
3

5
C.
5

★答案★ B
asinA
解析 由正弦定理，得
b
＝
sinB
，
5sinA5
∴a＝2
b可化为
sinB
＝
2
.
又A＝2B，∴
sin2B55
＝，∴cosB＝.
sinB24
5
B.
4

5
D.
6

2．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )
A．25
C．25或5
★答案★ C
解析 ∵a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA，
3
∴5＝15＋c
2
－215×c×
2
.
化简，得c
2
－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，
∴c＝25或c＝5.
3．已知△ABC的三边长分别是x
2
＋x＋1，x
2
－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的
最大角为( )
A．150°
C．60°
★答案★ B
解析 令x＝2， 得x
2
＋x＋1＝7，x
2
－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x
2
＋x＋1应对
B．120°
D．75°
B.5
D．以上都不对

ruize
最大角，设最大角为α，
 x
2
－1
2
＋2x＋1
2
－x
2
＋x＋1
2
1
∴cosα＝＝－.
2
，∴最大角为120°2x
2
－12x＋1
4．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B， ∠C所对边的边长，若(a＋b＋c)(sinA
＋sinB－sinC)＝3asinB，则∠C＝( )
A．30°
C．120°
★答案★ B
解析 根据正 弦定理，由已知条件可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a
2
＋b
2222
a＋b－c
1
－c
2
＝ab，再根据余弦定理有cosC ＝
2ab
＝
2
，故∠C＝60°.
B．60°
D．150°
5．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
★答案★ D
ab
解析 A中，因
sinA
＝
sinB
，
所以sinB＝
16×sin30°
＝1，∴B＝90°，即只有一解；
8
20×sin60°
53
B中，sinC＝＝
9
，
18
且c>b，∴C>B，故有两解；
C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝a
2
－c
2
＝25－4＝21，
即有解，故A，B，C都不正确．所以选D.
6．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为 a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A
＝75°，则b等于( )
A．2
C．4－23
★答案★ A
6＋2
解析 sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝
4
，
1
由a＝c，知C＝75°，B＝30°，sinB＝
2
.
B.6－2
D．4＋23

ruize
6＋2
b a
由正弦定理，得
sinB
＝
sinA
＝＝4.
6＋2
4
∴b＝4sinB＝2.
7
7．在△ABC中，已知b< br>2
－bc－2c
2
＝0，a＝6，cosA＝
8
，则△ABC 的面积S
为( )
15
A.
2

815
C.
5

★答案★ A
解析 由b
2
－bc－2c
2
＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴ b＝2c，在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
－2bcco sA，
7
即6＝4c
2
＋c
2
－4c
2
·
8
.∴c＝2，从而b＝4.
11
∴S
△
ABC
＝
2
bcsinA＝
2
×4×2×
8．下列命题中，正确的是( )
A．△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．△ABC中，若b＝43，c＝2，C＝30°，则这个三角形有两解
C．△ABC中，a＝26，b＝6＋23，c＝43，则最小角为45°
a＋bsinA＋sinB
D．△ABC中，
a
＝
sinA

★答案★ D
解析 ∵sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，∴A错误；∵
43×si n30°
bc
＝，∴sinB＝＝3>1，这个三角形无解，故B错误；由题意
sin BsinC2
可知最小边为a＝26，设最小角为α，
6＋23
2
＋ 43
2
－26
2
3
∴cosα＝＝
2
，∴α ＝30°≠45°，∴C错误，故选
2×6＋23×43
D.
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A.21
C.69
B.106
D.154
15

7

1－

8

2
＝2
.

B.15
D．63

ruize
★答案★ B
a
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝
2
.在△ABM中，
AB
2
＝BM< br>2
＋AM
2
－2BM×AMcos∠AMB，
1a
即72
＝
4
a
2
＋4
2
－2×
2
×4×cos∠AMB，①
在△ACM中，AC
2
＝AM
2
＋CM
2
－2AM×CM×cos∠AMC，
1a
即6
2
＝4< br>2
＋
4
a
2
＋2×4×
2
×cos∠AMB ，②
1
由①＋②，得7
2
＋6
2
＝4
2
＋4
2
＋
2
a
2
，∴a＝106.
10．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 kmh的速度向正北方
向航行，同时乙船从B岛出发，以12 kmh的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶
15分钟时，两船的距离是( )
A.7 km
C.19 km
★答案★ B
B.13 km
D.10－33 km
解析
15
如图，设行驶15分钟时，甲船到达M 处，由题意，知AM＝8×
60
＝2，BN
15
＝12×
60
＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN
2
＝MB
2
＋BN
2
－

1

2MB×BNcos120°＝1＋9 －2×1×3×

－
2

＝13，所以MN＝13 km.

11．设a，b，c是△ABC的三边，对任意实数x，f(x)＝b
2
x2
＋(b
2
＋c
2
－a
2
)x＋
c< br>2
有( )
A．f(x)＝0
C．f(x)≤0
★答案★ B
解析 将本题中的函数看成关于x的二次函数，令f(x)＝0得对应的Δ＝( b
2
＋
c
2
－a
2
)
2
－4b< br>2
c
2
＝(2bccosA)
2
－4b
2
c
2
＝4b
2
c
2
·(cos
2
A－1)< 0，∴f(x)>0恒成立．
12．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，其中a
B．f(x)>0
D．f(x)<0

ruize 为最大边，如果sin
2
(B＋C)2
B＋sin
2< br>C，则角A的取值范围为( )
π

A.

0，
2




ππ

C.

6
，
3
< br>

★答案★ D
解析 由题意，得sin
2
A< sin
2
B＋sin
2
C，再由正弦定理，得a
2
2
＋c
2
，即b
2
＋
b
2
＋c
2
－a
2
ππ
c－a>0，则cosA＝>0，∴0
2bc23
，∴角A的
22

ππ

B .

4
，
2




ππ

D.

3
，
2




ππ

取值范围是

3
，
2

.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将★答案★填在题中的
横线上) 13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b
＝3，A＋C ＝2B，则sinC＝________.
★答案★ 1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B，
π
∴B＝
3
.
asinB1
由正弦定理，知sinA＝
b
＝
2
.
ππ
又a6
，C＝
2
.∴sinC＝1. < br>ba
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若
a
＋
b
＝6cosC，
tanCtanC
则
tanA
＋
tanB
＝________.
★答案★ 4
ba
解析 ∵
a
＋
b
＝6cosC，可知
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
－c
2
2222
＝6·，∴ 2a＋2b－2c＝c.
ab2ab
tanCtanC
sinCsinB＋A< br>sin
2
Cc
2
2c
2
又
tanA
＋
tanB
＝
sinAsinBcosC
＝
sinAsinBcos C
＝
abcosC
＝
2
＝4.
a＋b
2
－c
2
15．某海岛周围42 n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东
60°方向，航行30 n mile后测得 此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________
触礁危险(填“有”或“无”)．

ruize
★答案★ 有
解析 如图所示，

在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，
∴∠ACB＝15°.
由正弦定理，得BC＝
＝
ABsin∠BAC
30sin30°
＝
sin15°

sin∠ACB
15
＝15(6＋2)．
6－2
4
2在Rt△BDC中，CD＝
2
BC＝15(3＋1)<42.
∴此船有触礁的危险．
4
16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C 的对边，若cosB＝
5
，a＝
a
10，△ABC的面积为42，则b＋sinA
的值等于________．
★答案★ 162
4
解析 ∵cosB＝
5
，B为三角形的内角，
3
∴sinB＝1－cos
2
B＝
5
，
又∵a＝10，△ABC的面积为42，
1
∴
2
acsinB＝4 2，∴3c＝42，∴c＝14，由余弦定理，得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝
100＋196－224＝72，∴b＝62，
ab62
∵
sinA
＝
sinB
＝
3
＝102，
5
a
∴b＋
sinA
＝62＋102＝162.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，

< br>ruize
4
且cosA＝
5
.
B＋C
(1)求sin
2
＋cos2A的值；
2
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
B＋C
解 (1)sin
2
＋cos2A
2
1－cosB＋C
＝＋cos2A
2
1＋cosA
＝
2
＋2cos
2
A－1
59
＝
50
.
43
(2)∵cosA＝
5
，∴sinA＝
5
.
113
由S
△
ABC
＝
2
bcsinA，得3＝
2
×2c×
5
，解得c＝5.
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA，可得
4
a
2
＝4＋25－2×2×5×
5
＝13，
∴a＝13.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a， b，c，
设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝
3
，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
ab
即a·＝b·
2R2R
，
其中R是△ABC外接圆的半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a
2
＋b
2
－a b＝(a＋b)
2
－3ab，
即(ab)
2
－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

ruize
11
π∴S
△
ABC
＝
2
absinC＝
2
×4×s in
3
＝3.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别 是a，b，c，已
知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
23
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝
3
，求边c的值．
解 (1)由余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB，c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC有ccosB＋
bcosC＝a，
1
代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝
3
.
122
(2)由cosA＝
3
，得sinA＝
3
.
122
则cosB＝－cos(A＋C)＝－
3
cosC＋
3
si nC，
23
代入cosB＋cosC＝
3
得cosC＋2sinC＝3，
36
从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝
3
，cosφ＝
3
，
π
0<φ<
2
.
π
6
则C＋φ＝
2
，于是sinC＝
3
，
asinC3
由正弦定理，得c＝
sinA
＝
2
.
20．(本小题满分12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延
长线上，BC＝1 ，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，
且点D与圆心分别在PC的两侧．

(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
解 (1)在△POC中，由余弦定理，得PC2
＝OP
2
＋OC
2
－2OP×OCcosθ＝5－
4 cosθ，
所以y＝S
△
OPC
＋S
△
PCD

ruize
13
＝
2
×1×2sinθ＋
4
×(5－4cosθ) < br>
π

53
＝2sin

θ－
3

＋
4
.

ππ5π
53
(2)当θ－
3
＝
2
，即θ＝
6
时，y
max
＝2＋
4
.
xx

x
21．(本小题满分12分)已知向量m＝
3sin
4
，1

，n＝

cos
4
，cos
2
4

，函数f(x)

＝m· n.

2π

(1)若f(x)＝1，求cos

3－x

的值；

1
(2)在△ABC中，角A，B，C的对 边分别是a，b，c，且满足acosC＋
2
c＝b，
求f(B)的取值范围．
xxx
解 由题意，得f(x)＝3sin
4
cos
4
＋c os
2
4

3x1x1
＝
2
sin
2＋
2
cos
2
＋
2


x
π

1
＝sin

2
＋
6

＋2
.


x
π

1
(1)由f( x)＝1，得sin

2
＋
6

＝，

2
π
x

2π

2

－x
 
则cos
3
＝2cos
3
－
2

－1

1

x
π

＝2sin
2

2
＋
6

－1＝－
2
.

1
(2)已知acosC＋
2
c＝b，由余弦定理，得
a
2
＋b
2
－c
2
1
a·
2ab
＋
2
c＝b，
b
2
＋c
2
－a
21
即b＋c－a＝bc，则cosA＝
2bc
＝
2
，
222
π2π2π
B
π
又因为A为三角形的内角，所以A＝
3
，从而B＋C＝
3
，易知03
，0<
2
<
3
，
π
B
ππ
则
6
<
2
＋
6
<
2
，

B
π

13
所以 1
2
＋
6

＋
2
<
2
，

3

故f(B)的取值范围为

1，< br>2

.


ruize
22．(本小题满分12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条
运动赛道 ，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，
x∈[0, 4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为
保证参赛运动员的 安全，限定∠MNP＝120°.

(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
T
解 (1)依题意，有A＝23，
4
＝3.
2πππ
又T＝
ω
，∴ω＝
6
，∴y＝23sin
6
x，
2π
当x＝4时，y＝23sin
3
＝3，∴M(4,3)，
又P(8,0)，∴MP＝4
2
＋3
2
＝5.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
设∠PMN＝θ，则0°<θ<60°，
MPNP
由正弦定理，得
sin1 20°
＝
sinθ
＝
MN
，
sin60°－θ
103103
∴NP＝
3
sinθ，∴MN＝
3
sin(60°－ θ)，
103103
故NP＋MN＝
3
sinθ＋
3
si n(60°－θ)
103

1

103
3
＝3

sinθ＋cosθ

＝
3
sin(θ＋60°) ．
2

2

∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道 MNP最长，
即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．