下蚕室-审计报告范文

若要功夫深，铁杵磨成针！

最新高考数学一模试卷（理科）


一、选择题：本大题共12小题，每小 题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合A={x |x﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．[0，2]
2．已知复数z=1+
A．2
i，则
C．{0，2} D．{0，1，2}
2
=（ ）
D．﹣2i
*
B．﹣2 C．2i
3．执行如图的程序框图（N∈N），那么输出的p是（ ）

A． B． C． D．
4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（ ）
A．3x﹣y=1 B．
22
=1 C．x﹣3y=1 D．
*
22

5．已知数列{a
n
}满足：a
1< br>=2，且对任意n，m∈N，都有a
m+n
=a
m
•a
n，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，
则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（ x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足
事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（ ）
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

A． B． C． D．
7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5 天中值班，要求每人值班一天且每天至
多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班 ，则不同的安排方法有（ ）
种．
A．36 B．39 C．42 D．45
9 ．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若< br>三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．
2
D．
10．已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与 C交于A、B两点，与l交于
点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（ ）
A．7.5 B．7 C．8.5 D．8
11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它 的俯视图的直观图是矩形O
1
A
1
B
1
C
1
如图（2），
其中O
1
A
1
=6，O
1
C
1
=2，则该几何体的侧面积为（ ）

A．48 B．64 C．96 D．128
2
12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x﹣2x+ 3）=g（x），若关于x的方
程g（x）+sinx=0只有5个根，则这5个根之和为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．

14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．
15．在一组样本数 据（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），… ，（x
6
，y
6
）的散点图中，若所有样本点（x
i
，y< br>i
）
（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx﹣附近波动．经计算
则实数b的 值为______．
16．在等差数列{a
n
}中，首项a
1
=3 ，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏
掉一项的情况下，求得余下9项的和为18 5，则此连续10项的和为______．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．在△ABC，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．
18．某苗圃基地为 了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机
抽取了10株树苗，分别测出它 们的高度如下（单位：cm）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48
（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结
论；
（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的
选 种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望
EX．
2
x
i
=11， y
i
=13， x
i
=21，
2

19．在四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1
，∠A
1
AB=∠A
1
AD=60°．
（Ⅰ）求证：平面A
1
BD⊥平面A
1
AC；
（Ⅱ）若B D=D=2，求平面A
1
BD与平面B
1
BD所成角的大小．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！


20．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F
1
，F
2
，过右焦 点F
2
的直线l与C相交于P、
倍． Q两点，若△PQF
1
的周长为短轴长的2
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得
坐标；若不存在，说明理由．
21．设函数f（x）=e+ln（x+1）﹣ax．
x
？若存在，求出点M的（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图 ，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE
相交于点 P．求证：
（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；
（Ⅱ）AP⊥CP．


[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，已知曲线C
1
： =1（0＜a＜2），曲线C
2
：x+y﹣x﹣y=0，
22
Q是C
2
上的动点，P是线段OQ延 长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，化C
2
的方程为极坐标方程，
并求点P的轨迹C
3
的方 程；
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若要功夫深，铁杵磨成针！
< br>（Ⅱ）设M、N分别是C
1
与C
3
上的动点，若|MN|的最小值为< br>
[选修4-5：不等式选讲]
24．设a、b为正实数，且+=2
（1）求a+b的最小值；
（2）若（a﹣b）≥4（ab），求ab的值．

23
22
，求a的值．
．
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若要功夫深，铁杵磨成针！


参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在 每一小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x﹣x﹣ 2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．
【解答】解：集合A={x|x﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，
∵lg（x+1）＜1=lg10，
∴﹣1＜x＜9，
∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，
∴A∩B={0，1，2}，
故选：D

2．已知复数z=1+i，则=（ ）
2
2
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．
【解答】解：∵复数z=1+i，
∴===2，
故选：A．

3．执行如图的程序框图（N∈N），那么输出的p是（ ）
*
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若要功夫深，铁杵磨成针！


A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构 计算并输出变量p的值，
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A
1
，满足继续循环的条件，k=2；
第二次执行循环体，k=2，p=A
2
，满足继续循环的条件，k=3；
第三次执行循环体，k=3，p=A
3
，满足继续循环的条件，k=4；
…
第N次执行循环体，k=N，p=A
N
，满足继续循环的条件，k=N+1；
第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A
N+1
，不满足继续循环的条件，
故输出的p值为A
N+1
，
故选：C

4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（ ）
A．3x﹣y=1 B．
22
N+1
N+1
N
3
2
1
=1 C．x﹣3y=1 D．
22

【考点】双曲线的简单性质．
【分析】对照 选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到
直线的距离公式，解方程可得 a，b，进而得到双曲线的方程．
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【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），
由题意可得e==2，
一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，
可得
22
=b=1，
又c=a+1，解得a=，
2
即有双曲线的方程为
故选：A．

﹣y=1．
5．已知数列{a
n
}满足：a
1
=2，且对 任意n，m∈N，都有a
m+n
=a
m
•a
n
，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，
则=（ ）
D．5
*
A．2 B．3 C．4
【考点】数列的求和．
【分析】通过在am+n
=a
m
•a
n
中令m=1，结合a
1
= 2数列{a
n
}是首项、公比均为2的等比数列，进
而计算可得结论．
【解 答】解：∵对任意n，m∈N，都有a
m+n
=a
m
•a
n
，
∴对任意nN，都有a
n+1
=a
1
•a
n
，
又∵a
1
=2，
∴a
n+1
=2a
n
，
∴数列{a
n
}是首项、公比均为2的等比数列，
∴S
n
==2（2﹣1），
n
*
*
∴==5，
故选：D．
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6．设点（x，y）在平面区域E内，记事 件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足
事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E 可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据条件 若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的
下方区域即可．
【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，
则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，
A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．

B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．

C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．
．
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D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．
．
故选：B

7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】定积分．
【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．
【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，
当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，
则
dx﹣
2
dx=
（x+2x+1）dx=（
（x+1）（ x﹣1）dx+
）|﹣（
（x+1）（﹣x﹣1）dx=
）|
（x﹣1）2
=﹣1+（﹣+1﹣1）
=﹣1，
故选：D．

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若要功夫深，铁杵磨成针！

8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至
多安排一人 ．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（ ）
种．
A．36 B．39 C．42 D．45
【考点】排列、组合的实际应用．
【分 析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值
班，根据分类计 数原理可得答案．
【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有 A
4
=12
种，
第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4 天选择一天，丙在除了10月5日的
三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，
故有3×3×3=27种，
根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，
故选：B．

9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC= 120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若
三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的 体积为（ ）
A． B． C． D．
2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心
O ，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．
【解答】解：如图，
取BC中点为E，连接AE，
∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，
∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，
在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF=
又在Rt△AFG中，得，
=，
过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，
则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，
由4πR=8π，得R=
2
，
∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG， 在Rt△AGO中，求得OG=
∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=
则三棱锥的体积为 V=
故选：B．
，
．
，
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！



10 ．已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于
点P，若 |AF|=3|FB|，则|PF|=（ ）
A．7.5 B．7 C．8.5 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方 程联立化为：kx﹣（4k+8）x+4k=0，
由|AF|=3|FB|，可得x
A
+2=3（x
B
+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．
【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），
联立，化为：kx﹣（4k+8）x+4k=0，
2222
2222
2∴x
A
+x
B
=
∵|AF|=3|FB|，
，x
A
x
B
=4．
∴x
A
+2=3（x
B
+2），
联立解得：k=
∴P
∴|PF|=
故选：D．

11． 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O
1
A
1
B
1
C
1
如图（2），
其中O
1
A
1=6，O
1
C
1
=2，则该几何体的侧面积为（ ）
．
．
=8．
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若要功夫深，铁杵磨成针！


A．48 B．64 C．96 D．128
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计 算出底面的周长和高，进而可得
几何体的侧面积．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，
∵它的俯视图的直观图是矩形O
1
A
1
B
1
C
1
，O
1
A
1
=6，O
1
C
1
=2，
∴它的俯视图的直观图面积为12，
∴它的俯视图的面积为：24，
∴它的俯视图
的俯视图是边长为：6的菱形，
棱柱的高为4
故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，
故选：C．

12．对于 函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x﹣2x+3）=g（x），若关于x的方
程g （x）+sinx=0只有5个根，则这5个根之和为（ ）
2
A．5 B．6 C．8 D．9
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据条件，先判断g（x）关于x= 1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为
两个函数的交点问题进行求解即可．
【解答】解：∵y=x﹣2x+3的对称轴为x=1，
∴由f（x﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，
由g（x）+sinx=0得g（x）=﹣sin
x的图象，
x=0只有5个根，
x，
2
2
作出函数y=﹣sin
若程g（x）+sin
则 其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，
则关于对称的根分别为x
1
， 和x
2
，x
3
和x
4
，
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则，，
则x
1
+x
2
=2，x
3
+x
4
=2，
则这5个根之和为2+2+1=5，
故选：A．


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．
13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则= ﹣2 ．

【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据图形，
这样即可求出
【解答】解：
故答案为：﹣2．

14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ= ﹣ ．
的值，即得出
=
，而
的值．
=2•2cos120°=﹣2．
，且，
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+
弦公式求得要求式子的值．
【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，
）的值，再利用两角差的正
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若要功夫深，铁杵磨成针！

由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0，
+
求得sin（θ+
则sinθ+
=1，
）=﹣，
）=﹣， cosθ=2sin（θ+
． 故答案为：﹣

15．在一组样 本数据（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
） ，…，（x
6
，y
6
）的散点图中，若所有样本点（x
i
， y
i
）
（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx﹣附近波动．经计算
2x
i
=11， y
i
=13， x
i
=21，
2
则实数b的值为 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．
【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx﹣的方程，
即y
1
=b﹣，y
2
=b
+
2
2
﹣，…，y
6
=b
+…+
﹣，
∴y
1
+y
2
+…+y
6
=b（
又y
i
=13，
）﹣×6；
x
i
=21，
∴13=b×21﹣6×，
解得b=．
故答案为：．

16．在等差数列{a
n
}中，首项a
1
=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏
掉一项的情况下，求得余下 9项的和为185，则此连续10项的和为 200 ．
【考点】等差数列的前n项和．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a
n
，a
n+1
，a< br>n+2
，…，a
n+m﹣1
，a
n+m+1
，a
n+ m+2
，…，
a
n+9
，从而可得10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣ 1=185，从而求得．
【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，
则185=9•a
中
，故a
中
=20（舍去）；
故设9项 为a
n
，a
n+1
，a
n+2
，…，a
n+m﹣1
，a
n+m+1
，a
n+m+2
，…，a
n+9
，
其中（0＜m＜9，m∈N）
故10a
n
+×2﹣a
m+n
=185，
*
即10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1=185，
故m=9n﹣43，
故n=5，m=2；
故10×a
5
+×2=110+90=200；
故答案为：200．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA ）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用 化简已知可得sinAsinC﹣2sinAcosC=0，由sinA≠0，
可得tanC=2，利用 同角三角函数基本关系式即可求cosC的值．
（Ⅱ）由，两边平方得b+2b﹣3=0，解得b，由 余弦定理可解得c的值，即可
2
求得sinB，利用三角形面积公式即可求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，…
又已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0，
所以sinAsinC﹣2sinAcosC=0，…
因为sinA≠0，所以sinC﹣2cosC=0，…
于是tanC=2，…
所以
（Ⅱ）因为
2
．…
，…
两边平方得b+2b﹣3=0，解得b=1，…
在△ABC中，由余弦定理得c=a+b﹣2abcosC=4，所以c=2，…
222
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

由此可知△ABC是直角三角形，故
可得：△ABC的面积．…
，…

18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机
抽 取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48
（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结
论；
（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的
选 种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望
EX．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．
（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：

由茎叶图得到：
（1 ）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于
甲品种树苗的高 度）．
（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗< br>的高度更集中（稳定）．
（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．
（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间
（均值附近）．乙品种树苗的 高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给
分）…
（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，
，
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，
，…
∴X的分布列为：
X 1
P
EX=

19．在四棱柱ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是菱形，且AB=A A
1
，∠A
1
AB=∠A
1
AD=60°．
（Ⅰ）求证：平面A
1
BD⊥平面A
1
AC；
（Ⅱ）若B D=D=2，求平面A
1
BD与平面B
1
BD所成角的大小．

2

3

=．…

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出△A
1
AB和△A
1
AD均为正三角形，A
1
O⊥BD，AC⊥BD， 由此能证明平面
A
1
BD⊥平面A
1
AC．
（Ⅱ）以O为 原点，OA，OB，OA
1
所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出平面A
1
BD与平面B
1
BD所成角的大小．
【解答 】证明：（Ⅰ）因为AA
1
=AB=AD，∠A
1
AB=∠A
1AD=60°，
所以△A
1
AB和△A
1
AD均为正三角形，
于是A
1
B=A
1
D…
设AC与BD的交点为O，则A
1
O⊥BD…
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又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…
而A
1
O∩AC=O，所以BD⊥平面A
1
AC…
而BD ⊂平面A
1
BD，故平面A
1
BD⊥平面A
1
AC… 解：（Ⅱ）由A
1
B=A
1
D及，知A
1
B⊥A
1
D…
又由A
1
D=AD，A
1
B=AB，BD=BD ，得△A
1
BD≌△ABD，故∠BAD=90°…
于是
得A
1
O⊥底面ABCD…
如图，以O为原点，OA，OB， OA
1
所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0）， B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A
1
（0，0，1），
，…
，从而A
1
O⊥AO，结合A
1
O⊥BD
设平面B
1
BD的一个法向量为
令x=1，得…
，由得，
平面A
1
BD的一个法向量为
则
解得θ=45°，
…
，设平面A
1
BD与平面B
1
BD所成角为θ，
故平面A
1
BD与平面B
1
BD所成角的大小为45°．…


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20．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F
1
，F
2
，过右焦点F
2
的直线l与C相交于P、
倍． Q两点，若△PQF
1
的周长为短轴长的2
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得
坐标；若不存在，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
？若存在，求出点M的
【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F< br>1
，F
2
，过右焦点F
2
的直线l与C相交于P、Q两点，△ PQF
1
的周长为短轴长的2
（Ⅱ）设椭圆方程为
倍，得到，由此能求出椭圆 C的离心率．
，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得
，由此利用韦达定理、椭圆性质、 向量知识，结合已知条件能求出不
存在点M，使成立．
=1（a＞b＞0）的焦点F
1
，F
2
，过右焦点F
2
的直线l【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
与C相交于P、Q两点，
△PQF
1
的周长为短轴长的2
∴依题意 知
∴C的离心率
，即
倍，△PQF
1
的周长为4a…
…
…
（Ⅱ）设椭圆方程为
代入椭圆方程得
设P（x
1
，y< br>1
），Q（x
2
，y
2
），则
设M（x
0< br>，y
0
），则
由得
，直线的方程为y=x﹣c，
…
，
①…
…
…
代入①得
因为
所以
，
②…
，
…
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而
从而②式不成立．
故不存在点M，使

x
…
成立…
21．设函数f（x）=e+ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）当a =2时，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
，则
，记
，分类讨论，即可证明：函数 f（x）在定
义域内单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，分类讨 论，利用当x≥0时，f（x）≥cosx
恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）证 明：f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
记
当x＞0时，e＞1，
当x＜0时，e＜ 1，
x
x
…
，则
，此时g'（x）＞0…
，此时g'（x＜0…
所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…
故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…
（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，
所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…
故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…
当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cos x，则
记
当x＞1时，
，则
…


显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…
又φ'（0） =2﹣a＜0，则存在x
0
∈（0，+∞），使得φ'（x
0
）=0… 所以φ（x）在（0，x
0
）上递减，所以当x∈（0，x
0
）时，φ（ x）＜φ（x
0
）=0，
即f（x）＜cosx，不符合题意…
综上，实数a的取值范围是a≤2…
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请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图 ，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE
相交于点 P．求证：
（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；
（Ⅱ）AP⊥CP．

【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．
（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由 此
能证明AP⊥CP．
【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：
△ABD≌△BCE，…
∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．
所以四点P，D，C，E共圆．…
（II）如图，连结DE．
在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，
由正弦定理知∠CED=90°．…
由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，
所以AP⊥CP．…


[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，已知曲线C
1
： =1（0＜a＜2），曲线C
2
：x+y﹣x﹣y=0，
22
Q是C
2
上的动点，P是线段OQ延 长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．
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（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，化C
2
的方程为极坐标方程，
并求点P的轨迹C
3
的方程；
（Ⅱ）设M、N分别是C
1
与C
3
上的动点，若|MN|的最小值为
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C
2
，运用三角函数的恒等变换可得极坐标
方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代 入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C
3
的方程；
（Ⅱ）设M（acosθ ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值
域，可得最小值，解方程可得 a的值．
【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C
2
： x+y﹣x﹣y=0，
即为ρ﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，
可得C
2
的极坐标方程为
设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则
由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ =4，从而
即有ρ（sinθ+cosθ）=4，
，
，
，
2
22
，求a的值．
故C
3
的直角坐标方程为x+y=4；
（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），
则M到直线C
3
的距离
，
所以=，
解得．

[选修4-5：不等式选讲]
24．设a、b为正实数，且+=2
（1）求a+b的最小值；
22
．
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（2）若（a﹣b）≥4（ab），求ab的值．
【考点】基本不等式．
【分析】 （1）根据基本不等式得出ab
利用a+b≥2ab=
（2）根据+=2
∴a，
23
22
23
（a=b时等号成立），
（a=b时等号成立）求解即可．
．
代入得出（a+b）﹣4ab≥4（ab），即（2
求解即可得出ab=1
【解答】 解：（1）∵a、b为正实数，且+=2
∴a、b为正实数，且+=2
即ab
22）﹣4ab≥4（ab）
23
．
≥2（a=b时等号成立）．
（a=b时等号成立）
（a=b时等号成立）． ∵a+b≥2ab=
22
∴a+b的最小值为1，
（2）∵且+=2
∴a
2
．

3
∵（a﹣b）≥4（ab），
∴（a+b）﹣4ab≥4（ab）
即（2
2
23
）﹣4ab≥4（ab）
2
23
即（ab）﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）≤0，
∵a、b为正实数，
∴ab=1

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2016年9月16日
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