新学期校长寄语-小学语文教学工作总结

2017年高考理科数学（全国卷1）试题及答案

一、选择
题：本 题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|
3
x
1
}，则（ ）
A．
AB{x|x0}
B．
ABR

C．
AB{x|x1}
D．
AB



2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内
随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．
1

4
B．


3．设有下面四个命题
π
1
C．
8

2
D．
π

4
1
p
1
：若复数
z
满足
R
，则
zR
；
p
2
：若复数
z
满足
z
2
R
， 则
zR
；
z
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为（ ）
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4



4．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若< br>a
4
a
5
24
，
S
6
48< br>，则
{a
n
}
的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8


5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值
范围是
A．
[2,2]
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]



6．
(1
1
)(1x)
6
展开式中
x
2
的 系数为（ ）
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15


7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和
等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三
角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和
为（ ）
A．10 B．12
C．14 D．16



8．右面程序框图是为了求出满足3
n
－2
n
>1000的最小偶数n，那么
在和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A

1 000和n=n+1
D．A

1 000和n=n+2


9．已知曲线C
1
：y=cos x，C
2
：y=sin (2x+
2π
)，
3
则下面结论正确的是（ ）

A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度，得到曲线C
2
6
π
个单位长
12
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平移
度，得到曲线C
2
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
度，得到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
度，得到曲线C
2

1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长
26
1π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长
212


10．已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两
点，直线l
2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10


11．设x
、
y
、z为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则（ ）
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z


12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出
了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下 面数学问题的答案：已知数列1，
1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…， 其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，
再接下来的三项是2
0
，2
1
，2
2
，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N
项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。


13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= ___ .


x2y1

14．设x，y满足约束条 件

2xy1
，则
z3x2y
的最小值为 ____ .

xy0


x
2
y
2
15．已知双曲线C：
2

2
 1
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与
ab
双曲 线C的一条渐近线交于M、N两点. 若∠MAN=60°，则C的离心率为________.


16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O. D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB
分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重
合，得到三棱锥. 当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积
（单位：cm
3
）的最大值为_______.











三、解答题： 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须 作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。


（一）必考题：共60分。
a
2
17．（12分）△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 .
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.





18.（12分）如图，在四棱锥P- ABCD中，ABCD，且
BAPCDP90
.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
APD90
，
求二面角A-PB- C的余弦值.





19
．（
12
分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个
零件，并测量其尺寸（单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正 常状态下生产
的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2)
．

（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一 天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,< br>
3

)
之外的
零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了 尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 < br>1
16
1
16
1
16
22
x
i9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x) (

x
i
16x
2
)
2
0.212
，其中
x
i
为抽


16
i1
16
i1
16
i1
取的第
i
个零件的尺寸，
i 1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为
的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据估计

和

（精确到对当天的生产过程进行检查？剔除
(

0. 01
）．

附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(

3
Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．






3
x
2
y
2
20.（12分）已知椭圆C：2

2
=1
（a>b>0），四点P
1
（1,1），P
2
（0,1），P
3
（–1，），
2
ab
3
P
4
（1，）中恰有三点在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于 A，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，
证明：l过定点.





21.（12分）已知函数f(x)＝ae
2x
+(a﹣2) e
x
﹣x.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.









（二）选考题 ：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数 方程为
ysin

,


xa4t
（t为参 数）
.

y1t

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17
，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）＝－x
2
+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.




























答案及解析
一、选择
题：ABBCD CBDDA DA


二、填空题： 13.

23
14.
5

15.
23
3


17、
【解析】
（ 1）S
1
＝
a
2
1a
△
ABC
＝
2
absin C
3sin A
，得
2
bsin C＝
3sin A

415

16.

112
由正弦定理，得
2
sin B·sin C＝
3
， 解得sin B·sin C＝
3
.
1211
π
（2）由题知cos(B＋C)＝cos B·cos C－sin B·sin C＝
6
－
3
＝－
2
，即cos A＝
2
，A＝
3
.
bca3
n
,
c23sinC

23


b23siB< br>sinBsinCsinA
3
2
2
则有
bc23sinB 23sinC12sinBsinC128

3
由余弦定理，得
9 a
2
b
2
c
2
bc
，解得
bc33

由正弦定理，

∴△ABC的周长为
333



18、
【解析】

（1）由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. ∵ABCD，∴AB⊥PD，
又AP∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD， ∴平面PAB⊥平面PAD.

（2）记AD的中点为O，连接PO，则有PO⊥AD，
∵AB⊥平面PAD， ∴OP⊥AB，
又AD∩AB＝A，∴OP⊥平面ABCD.
以O为原点，分别以
OA
、
DC
、
OP
方向为x轴、y轴、
z轴建立如右图所示的空间直角坐标系. 不妨假设OA＝1，
于是有A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，
D(－1，0，0)，P(0，0，1).
∴
PA(1,0,1)
，
AB(0,2,0)
，
设
n
1
(x,y,z)
是平面PAB的一个法向量


nPAxz0
， 得

xz
，令x＝1，得 ∴

1
n
1
(1,0,1)


y0



n
1
AB2y0
同理可求得
n
2
(0,1,2)
是平面PBC的一个法向量.
∴
cosn
1
,n
2

n
1
n2
23


3
|n
1
||n
2|
23
3
.
3
由于二面角A-PB- C是钝二面角，则二面角A-PB-C的余弦值为


19、【解析】

（1）由题意知，X~B(16，0.0026)，
∴P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9974
16
＝1－0.9592＝0.0408，
X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.

（2）（i）由（1）知， 出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率
在一次试验 中发生了，有理由相信出现异常情况.
（ii）

3

=9.9 70.636=9.334
，

3

=9.970.636= 10.606
，剔除9.22，
16
2
9.97169.22
剔除后，

10.02
，

x
i
2
 0.212
2
1616x1591.13
，
15
i11591.139.22
2
1510.02
2

0. 09
.
15

20、【解析】

（1）由椭圆的对称性可知，P
2
，P
3
，P
4
在椭圆C上.
把P
2
(0 ，1)代入C，得
3
113
22
，即b＝1，把P(1，)代入C，得
=1=1
，即a＝4.
4
22
2
ba4
x
2
∴ 椭圆C的方程为
y
2
1
.
4


（ 2）设直线l的方程为y＝kx＋n（n≠1），A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
).

x
2
4y
2
4
联立

， 得
(14k
2
)x
2
8knx4n
2
4 0


ykxn
4n
2
4
8kn
由 韦达定理，得
x
1
x
2

，
x
1x
2


2
2
14k
14k
y 1y1kx
1
n1kx
2
n1
k
P
2< br>A
k
P
2
B

1

2
 1
，即
(2k1)x
1
x
2
(n1)(x1
x
2
)0

x
1
x
2
x
1
x
2
4n
2
48kn

 (2k1)(n1)0
，即
(2k1)(n1)(n1)2kn(n 1)0

14k
2
14k
2
由于n≠1 ，n－1≠0，得
(2k1)(n1)2kn0
，解得
n2k1
∴直线l的方程为
ykx2k1
，即
y1k(x2 )
，∴l过定点(2，－1).









21、【解析】

（1） 由题知，f(x)的定义域为R，
f'(x)2ae
2x
(a2)e
x
1(ae
x
1)(2e
x
1)
，其中
2 e
x
1＞0
恒成立.
若a≤0，则
ae
x
1 ＜0
恒成立，
f'(x)＜0
，则f(x)在R上单调减；
若a＞0，令< br>ae
x
1＞0
，解得
x＞lna
；令
ae
x
1＜0
，解得
x＜lna
.
即当
x＜lna< br>时，
f'(x)＜0
；当
x＞lna
时，
f'(x)＞0< br>.
∴ f(x)在
(,lna)
上单调减，在
(lna，)
上单调增.



（2）若a≤0，f(x)在R上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；
若a＞0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞；x→－∞时，f(x)→＋∞.
要使f(x)有 两个零点，只要
f
min
(x)f(lna)＜0
即可
11< br>1

11
只要
a

即可，即
1ln＜ 0

(a2)ln＜0

aa
aa

a

2

1
令
t＞0
，则
g(t) 1tlnt
在(0，＋∞)上单调减
a
1
又
g(1)0，∴当
t＞1
，即0＜a＜1时，
g(t)＜0
，
f(ln a)＜0
.
a
即f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0，1).




22、【解析】

（1）消去参数θ，得曲线C的 普通方程为
x
2
9y
2
9
.
当a＝－1时，消去参数t，得直线l的普通方程为
x4y3
.
21

x
2

x9y9

x3

25
联立

，解得

1
，



y
1
0

y
24

x 4y3
2

25

2124

∴C与l的交点坐标为(3，0)和

，

.


2525


（2）设曲线C上任意一点P

3cos

，sin


，
22
消去参数t，得直线l的普通方程为
x4y(a4)0
.
|3cos

+4sin

(a4)||5sin(



)(a4)|
∴点P到直线l的距离
d

=
22
17
14
由题知，
d
max
17，即
|5sin(



)(a4)|
max17

当a＋4＞0时，则有
5(a4)17
，解得
a8
；
当a＋4≤0时，则有
5(a4)17
，解得
a16
；综 上，a的值为8或－16.






23、【解析】

2x，x＜1
（1）当a＝1时，
f(x) x
2
x4
，又
g(x)

1x1
，

2，

2x，x＞1


当x＜ －1时，
x
2
x42x
，解得
1x4
，舍 去

当－1≤x≤1时，
x
2
x42
，解得
1x2
，即
1x1


117117117
当x≥1时，
x
2
x42x
，解得，即
1x
，
x
222


117

综上，不等式
f(x)g(x)
的解集为

1，

.
2



（2）当－1≤x≤1时，
g(x)2
. 要使不等式
f(x)g(x)
的解集包含[–1，1]，
只要< br>f(x)g(x)
在[–1，1]上恒成立，只要
x
2
ax4 2
在[–1，1]上恒成立

法一：数形结合法
只要
x
2
ax20
在[–1，1]上恒成立，令
g(x)x
2
ax2



g(1)0

1a20
只要

，即

，解得
1a1
，即a的取值范围为

11，

.
g(1)01a20


法二：参数分离法

2
只要
axx
2
2
①在[–1，1]上恒成立，令
h(x)x

x
当x＝0时，不等式①显然恒成立；
2
当0＜x≤1时，只要
a x
在(0，1]上恒成立，由于
h(x)
在(0，1]上单调增
x

∴
h
max
(x)h(1)121
，
a1
.
当－1≤x＜0时，只要
ax
2
在[－1，0)上恒成立，由于
h(x)
在[－1，0)上单调增
x

∴
h
min
(x)h(1)121
，
a1
. 综上所述，a的取值范围为

11，

.