北京密云二中-世界文化遗产导游词

全国卷历年高考真题汇编

三角



2π

1
（
2017
全国
I
卷
9题）已知曲线
C
1
:ycosx
，
C
2
:y sin

2x

，则下面结论正确的
3

是 （）

π
A
．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单
6
位长度，得到曲线
C
2

B
．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
单位长度，得到曲线
C
2

C
．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
位长 度，得到曲线
C
2

D
．把
C
1
上各点的 横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
单位长度，得到曲线
C
2

【答案】
D
π
个
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单
26
π
个
12
2π

【解析】
C
1
:ycosx
，C
2
:ysin

2x


3
 
首先曲线
C
1
、
C
2
统一为一三角函数名，可将
C
1
:ycosx
用诱导公式处理．

ππ
< br>π

ycosxcos

x

sin

x

．横坐标变换需将

1
变成

2
，

22

2

π
< br>C
1
上各
点横
坐
标缩
短它原
来
1< br>π

π

2
ysin

2x

sin2

x


即
ysin< br>
x


2

2

4

2π

π

ysin

2x

sin2

x

．

3

3

ππ
平移至
x
，

43
ππππ
根据“左加右减”原则，“
x
”到“
x< br>”需加上
，即再向左平移

431212
注意

的系 数，在右平移需将

2
提到括号外面，这时
x


2
（
2017
全国
I
卷
17
题）
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
△ABC
a
2
的面积为．

3sinA
（
1
）求
sinBsinC
；

（
2
）若
6cosBcosC1
，
a3
，求
△ABC
的周长．

【解析】
本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余 弦定理等基础知识的综合应用
.
1
a
2
（
1
）< br>∵
△ABC
面积
S
.
且
SbcsinA

2
3sinA
a
2
1
bcsinA

∴
3sinA2

3
22
∴
abcsinA

2
3
22
∵
由正弦定理得
sinAsinBsinCsi nA
，

2
2
由
sinA0
得
sinBsinC
. < br>3
21
（
2
）由（
1
）得
sinBsinC 
，
cosBcosC

36
∵
ABCπ

∴
cosAcos

πBC

cos

BC

sinBsinCcosBcosC
又
∵
A 

0，π


1

2
∴
A6 0
，
sinA
1
3
，
cosA

2
2
由余弦定理得
a
2
b
2
c
2bc9

①
aa

sin
B
，
csinC

由正 弦定理得
b
sinAsinA
a
2
∴
bc
2< br>sinBsinC8

②
sinA
由
①②
得
bc33

∴
a bc333
，即
△ABC
周长为
333



3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,已知
sin(AC)8sin
2
(1)求
cosB

(2)若
ac6
,
ABC
面积为2,求
b.

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
B
．
2
【试题 分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知
AC

B
，将
B
B
转化为角
B
的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简
s in
2
，
2
2
2
B
结合
sin
2
Bcos
2
B1
求出
cosB
；②利用二倍角公式，化 简
sinB8sin
，两边约去
2
BB
sin
，求得tan
，进而求得
cosB
.在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和
22
sin(AC)8sin
2
面积公式求出
ac、ac，从而求出
b
．
（Ⅰ）
【基本解法1】
由题设及
ABC

,sinB8sin
2
B
，故
2

sinB（41-cosB）
上式两边平方，整理得
17cos
2
B-32cosB+15=0

解得
cosB=1（舍去），cosB=
【基本解法2】
由题设及
ABC

,sinB8sin
2
15

17
BBBB< br>2
B
，所以
2sincos8sin
，又
sin0
，
22222
B
B1
2

15
所以
t an
，
cosB
B
17
24
1tan
22
15814
（Ⅱ）由
cosB=得sinB
，故
S
ABC
acsinBac

1717217
17
又
S
ABC
=2，则ac

2
1tan
2
由余弦定理及
ac6
得
b< br>2
a
2
c
2
2accosB
2
（a +c）2ac(1cosB)
1715
362(1)
217
 4
所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的 第一题，主要利用三角
形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用 三角形的
边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意
ac,ac,ac
三者 的关系，这样的题目
小而活，备受老师和学生的欢迎．

4
（
2017
全国卷
3
理）
17
．（
12
分）

B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，

ABC
的内角
A
，已知
sinA3cos A0
，
a27
，
b2
．
（
1
）求< br>c
；

（
2
）设
D
为
BC
边上一点，且
ADAC
，求
△ABD
的面积．

π

【解析】（
1
）由
sinA3cosA0
得
2s in

A

0
，

3

π
即
Ak
π

kZ

，又
A

0,π

，

3
π
2π
.
∴
A
π
，得
A
33
1
由余弦定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
.
又 ∵
a27,b2,cosA
代入并整理
2
2
得
< br>c1

25
，故
c4
.
22

（
2
）∵
AC2,BC27,AB4
，

a
2
b
2
c
2
27
由余弦定理
cosC 
2ab

7
.
∵
ACAD
，即
△ACD
为直角三角形，

则
ACCDcosC
，得
CD7
.
由勾股定理
ADCD
2
AC
2
3
.
又
A
2π2π
3
，则
DAB
3

π
2

π
6
，

S
△ABD
< br>1
2
ADABsin
π
6
3
.


5
（
2017
全国卷文
1
）
14
已知
a(0，
π
π
2
)
,tan α=2
，则
cos(


4
)
=__________
。

【答案】
310
10

（法一）






0,


2



，
tan

2
sin

cos< br>
2sin

2cos

，

又sin
2

cos
2

1
，解得
sin


25
5
，
cos


5
5
cos






< br>4



2
2
(cos

sin

)
310
10
．

（法二）
cos(



4
)
2
2
(cos
< br>sin

)

cos
2







4



1
2
sin

cos

．又

tan
2

sin

cos


sin

cos

tan

2
sin
2

cos
2


tan
2

1
5
，
cos
2







9
4



10
，

由





0,


2

知


4



4

4
，
cos









310
4


 0
，故
cos




4

< br>
10


6.（2017全国卷2 文） 3.函数
f(x)sin(2x
π
3
)
的最小正周期为
A.
4π
B.
2π
C.
π
D.
π
2

【答案】C
【解析】由题意
T
2

2


，故选C.
【考点】正弦函数周期
【名师点睛】函数
yAsin(

x< br>
)B(A0,

0)
的性质
(1)
y
max
=A+B，y
min
AB
.
，

(2)周期
T
2


.

π
k
π(
kZ
)
求对称轴
2
π π
2kπ

x

2kπ(kZ)
(4)由< br>22
π3π
2kπ

x

2kπ(kZ )
求减区间;
22
(3)由

x



7（2017全国卷2文）13.函数
求增区间; 由
f(x)2cosxsinx
的最大值
为 .
【答案】
5



8（2017全国卷2文）16.
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若< br>2bccosBacosCccosA
,则
B

【答案】


3

9（2017全国卷3文） 4．已知
sin

cos

4
，则
sin2

=（ ）
3
C． A．

7

9
B．

2

9

2

9
D．
7

9
【答案】A

1

10 （2017全国卷3文）6．函数
f
(
x
)=sin(
x
+ )+cos(
x
−)的最大值为（ ）
536
631
A． B．1 C． D．
555
【答案】A
【解析】由诱导公式可 得：
cos

x












cosxsinx


，

2

6

33




则：
f

x


1





6



sin

x

sin

x< br>
sin

x

,
5

3

3

5

3

函数的最大值为
6
.
5
本题选择A选项.
7．函数
y
=1+
x
+
sinx
的部分图像大致为（ ）
x
2

A B
D．
C D

【答案】D


1、（2016全国I卷12题）已知 函数
f(x)sin(

x+

)(

0，< br>ππ
),x
为
f(x)
的
24
零点，
x 
π
π5π
为
yf(x)
图像的对称轴，且
f(x)在
(，)
单调，则

的最大值为
4
1836
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
【答案】B

考点：三角函数的性质
2、（2016全国I卷17题）（本小题满分12分）
△ ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2cosC(acosB+bcosA )c.

（I）求C；
（II）若
c7,△ABC
的面积为
33
，求
△ABC
的周长．
2
【答案】（I）
C
【解析】

3
（II）
57


试题解析：（I）由已知 及正弦定理得，
2cosC

sincossincos

sinC
，
2cosCsin



sinC
．

故
2sinCcosCsinC
．
可得
cosC
1

，所以
C
．
23

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、（2015全国I卷2题）
sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A）

【答案】D
【解析】
33
11
（B） （C）

（D）
22
22
1
试题分析：
原式=sin20°cos10°+cos20°sin1 0°=sin30°=，故选D.

2
考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、（2015全国I卷8题）
函数
f(x)
=
cos (

x

)
的部分图像如图所示，则
f(x)
的
单调递减区间为
(A)（）,k (b)（）,k
(C)（）,k (D)（）,k

【答案】D
【解析】

< br>1

+






42
试题分析：
由五点作图知，

，解得

=

，所以
f(x)cos(

x)
，

=
，< br>44

5

+


3


42
令
2k



x
（
2k 

4
2k



,kZ
，解得2k
13
＜
x
＜
2k
，
kZ
， 故单调减区间为
44
3
1
，
2k
），
kZ，故选D.
4
4
考点：三角函数图像与性质
5、（2015全国I卷 16题）
在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB
的取值范围 是
【答案】（
62
，
6+2
）
【解析】
试题分 析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，
AB最长，在△BCE中， ∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
BCBE2BE
，即，解得< br>BE
=
6+2
，平移AD ，当D与C

oo
si nEsinCsin30sin75
重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B= ∠BFC=75°，∠FCB=30°，
由正弦定理知，
BFBCBF2

，即，解得BF=
62
，
oo
sinFCBsinBFCsin30s in75
所以AB的取值范围为（
62
，
6+2
）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

6. （2014全国 I卷8题）设

(0,

1sin


，则
)
，

(0,)
，且
tan


cos

2
2
A
.
3


< br>
【答案】：Ｂ

2

B
.
2





2

C
.
3





2

D
.
2





2

【解析】：∵
tan


sin

1sin

，∴
sin

cos

cos

cos

sin


cos

cos





sin





cos

sin




，




,0



2222

2

∴




2


，即
2



< br>
2
，选B
7、（2014全国I卷16题）已知
a,b,c
分别为
ABC
的三个内角
A,B,C
的对边，
a
=2， 且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC
，则
ABC
面 积的最大值为 .
【答案】：
3

【解析】：由
a2
且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC
，
即
(ab) (sinAsinB)(cb)sinC
，由及正弦定理得：
(ab)(ab)( cb)c

b
2
c
2
a
2
1

，∴
A60
0
，∴
b
2
c
2< br>4bc
∴
bcabc
，故
cosA
2bc2< br>222
1
4b
2
c
2
bcbc
，∴
S
ABC
bcsinA3
，
2
8、（2013全国 I卷15题）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______ < br>【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，
是难题 .
【解析】∵
f(x)
=
sinx2cosx
=
5(< br>525
sinxcosx)

55

令
cos

=
5
25
，
sin


，则
f(x)
=
5(sinxcos

sin

co sx)
=
5sin(x

)
，
5
5
当
x

=
2k



2
,kz
，即
x
=
2k



2


,kz
时，
f(x)
取最大值，此时

=
2 k




2


,kz
，∴
cos

=
cos(2k



2


)
=
sin

=

25
.
5
9、（2013全国I卷17题）（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
(1)若PB=
2
，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解
三角形及两角和与差公式，是容易题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=
60
，∴∠PBA=30
o
，
在△PBA中，由余弦定理得
PA
2
=
3
o
7< br>117
；
23cos30
o
=，∴PA=
2
424
（Ⅱ）设∠PBA=

，由已知得，PB=
sin

，在△PBA中，由正弦定理得，
3sin

，化简得，
3cos

4sin

，

oo
sin150sin(30
)
∴
tan

=
3
3
，∴
tanPBA
=.
4
4
π
个单位长度，则平移后图
12
10
、（
2016
全国
II
卷
7
题）若将 函数
y=2sin 2x
的图像向左平移
象的对称轴为

（
A
）
x
（
C
）
x
k
ππ
k< br>ππ


kZ


（
B
）
x

kZ


26 26
k
ππ
k
ππ


kZ


（
D
）
x

kZ


212212
【解析】
B
π

平移后图像表达式为y2sin2

x

，

12

π

π
k
ππ



kZ

，

令
2

x

kπ+
，得 对称轴方程：
x
12

2
26

故选
B
．


π

3
11
、（< br>2016
全国
II
卷
9
题）若
cos




，则
sin2

=

4

5
（
A
）
【解析】
D
7

25

1
（
B
）

5
1
（
C
）


5

（
D
）

7

25
7



3

π

2

π
∵
cos





，
sin2

cos

2


2cos




1
，

25

4

5
2

4

故选
D
．

1 2
、（
2016
全国
II
卷
13
题）
△A BC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a< br>，
b
，
c
，若
cosA
cosC
5，
a1
，则
b

．

13
21

13
4
，
5
【解析】
∵
cosA
sinA
4
5
，
cosC
，< br>
13
5
312
，
sinC
，

513
63
，

65
sinBsin

AC

sinAcosCcosAsinC
由正弦定理得：
ba21

解得
b
．

sinBsinA13
13、（2 015全国II卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积
的2倍。
(Ⅰ)求
sinB
;
sinC
2
求
BD
和
AC
的长.
2
(Ⅱ) 若
AD
=1，
DC
=

14、（2014全国II卷4题）钝角三角形ABC的面积是
1
，AB= 1，BC=
2
，则AC=( )
2
A. 5
【答案】B
【KS5U解析】
B.
5
C. 2 D. 1
1112< br>S
ΔABC
=acsinB=•2•1•sinB=∴sinB=,
2222
π
3π
π
∴B=,或.当B=时，经计算
ΔABC
为等腰直 角三角形，不符合题意，舍去。
444
3π
∴B=，使用余弦定理，b
2=a
2
+c
2
-2accosB,解得b=5.故选B.
4
15、（2014全国II卷14题）函数
f

x

sin

x2


2sin

cos

x


的最大值为
_________.
【答案】 1
【KS5U解析】
f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos (x+φ)
=sin(x+φ)•cosφ+cos(x+φ)•sinφ-2sinφcos(x+φ )
=
sin(
x+
φ)
•
cosφ-cos(
x+
φ)
•
sinφ
=sinx≤1.∴最大值为1.

16、（2013全国II卷15题）设
θ
为第二象限角，若
ta n







1

，则

4

2
sin

cos

=_________.


17、（2013全国II卷17题）（本小题满分12分）
△ABC在内角A、B、C的对 边分别为a，b，c，已知
a=bcosC+csinB
。
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若
b=2
，求△ABC面积的最大值。



18、（2013全国III卷5题）若
tan


3
，则
cos
2

2sin2



4

(A)
644816
(B) (C) 1 (D)
252525
【答案】A
【解析】
试题分析：由
tan


3434
3< br>，得
sin

,cos


或
sin
,cos


，所以
5555
4
c os
2

2sin2


161264
4
，故选A．

252525
π
1
，
BC
边 上的高等于
BC
,则
cosA=


43
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．
19、（2013全国 III卷8题）在
△ABC
中，
B=
（A）
3101010310< br> （B） （C）
-
（D）
-

10
101010
【答案】C
【解析】 试题分析：设
BC
边上的高线为
AD
，则
BC3AD
，所以
ACAD
2
DC
2
5AD
，
理，知< br>AB2AD
．由余弦定
AB
2
AC
2
BC2
2AD
2
5AD
2
9AD
2
10
，故选C．
cosA
2ABAC10
22AD5AD
考点：余弦定理．

20、（2013全国III卷14题）函数
ysinx3cosx
的 图像可由函数
ysinx3cosx
的图像至少向右平移_____________个单 位长度得到．
【答案】


3

3

3
【解析】
试题分析：因为
y sinx3cosx2sin(x)
，
ysinx3cosx2sin(x)
＝

2sin[(x)]
，所以函数
ysinx3c osx
的图像可由函数
ysinx3cosx
的
33
图像至少向 右平移

个单位长度得到．
3
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．