红与黑读后感-微信约炮

解三角形数列测试含有答案



一．选择题（共12小题）

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）
=0，a=2，c=
A． B．
，则C=（ ）

C． D．

2．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（ ）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

3．在△ABC中，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c
2
，a=b=2，
则△A BC的周长为（ ）

A．7.5 B．7 C．6 D．5

，cosB =，b=8，则a=4．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若A=
（ ）

A． B．10 C． D．5

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知cosC=，a=1，c=2，则
△ABC的面积为（ ）

A． B． C． D．

6．等差数列{a
n
}的首项为1，公差不为0．若a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，则{a
n
}前
6项的和为（ ）

A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8

﹣a
10
的值为（ ）

7．在等差数列{a
n
}中，a
1
+3a
8
+a
15
=60，则2a
A． 6 B．8 C．12 D．13

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
则△ABC的外接圆的面积为（ ）

A．4π B．8π C．9π D．36π

，bcosA+acos B=2，
9．已知等差数列{a
n
}满足：a
2
=2，S
n
﹣S
n
﹣
3
=54（n＞3），S
n
=100，则 n=（ ）

A．7

B．8 C．9 D．10

第1页（共25页）

10．若等差数列{a
n
} 的前n项和S
n
满足S
4
=4，S
6
=12，则S
2
=（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

，则=（ ）

11．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且
A．2 B． C． D．

12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bc osB，那
么△ABC的形状一定是 （ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形



二．填空题（共4小题）

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若2bcosB=acosC+ccosA，则
B= ．

14．在等比数 列{a
n
}中a
n
∈R，且a
3
，a
11
是方程3x
2
﹣25x+27=0的两根，则
a
7
= ．

15．一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是 ．

16．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2+a
5
+a
8
=15，则S
9
= ．



三．解答题（共15小题）

17．在△ABC中，内角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=
（1）求B；

（2）已知cosA=，求sinC的值．

18．在锐角△ABC中，内角A，B， C的对边分别为a，b，c，且2asinB=
（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

19．等差数列{a
n
}中，a
2
=8，S
6
=66

（1）求数列{a
n
}的通项公式a
n
；

（2） 设b
n
=，T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
，求T
n
．

b．

bsinA．

20．在等比数列{a
n
}中，a
1
=2，a
4
=16

第2页（共25页）

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（ 2）令，n∈N
*
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
21．记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
2
+a
4
=6，S
4
=10．

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）令b
n
=a
n
•2
n
（n∈N
*
），求数列{b
n}的前n项和T
n
．

22．在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，已知a
2
=2a
1
+3，且3a
2
，a4
，5a
3
成等差
数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
n
，求数列{a
n
b
n
} 的前n项和S
n
．

23．S
n
表示等差数列{a
n
}的前n项的和，且S
4
=S
9
，a
1
=﹣12

（1）求数列的通项a
n
及S
n
；

（ 2）求和T
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|

24．已知{a
n
}为正项等比数列，a
2
= 3，a
6
=243，S
n
为等差数列{b
n
}的前n项和，
b
1
=3，S
5
=35．

（1）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式；

（2 ）设T
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
，求T
n
．

2 5．已知数列{a
n
}为等差数列，且a
1
=1．{b
n
} 为等比数列，数列{a
n
+b
n
}的前三项
依次为3，7，13．求

（1）数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；

（2）数列{a
n
+b
n
}的前n项和S
n
．
26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的值；

（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．

，asinA+bsinB﹣
．

27．在△ABC中，三个内角的对边分别 为a，b，c，cosA=
csinC=asinB．

（1）求B的值；

（2）设b=10，求△ABC的面积S．

第3页（共25页）

28．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求的值

=．

（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．

29 ．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．

30．在△ABC中 ，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
2bsinA=a，BC边上中线AM的长为
（Ⅰ）求角A和角B的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

31．在△AB C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+
c=0．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=


，求2a+c的取值范围．

bsinC﹣a﹣
．

，
第4页（共25页）

2017年08月13日151****0951的高中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共12小题）
< br>1．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sin A
（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=
A． B． C． D．
，则C=（ ）


【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，

∴cosAsinC+sinAsinC=0，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣sinA，

∴tanA=﹣1，

∵0＜A＜π，

∴A=，

=，

由正弦定理可 得
∴sinC=
∵a=2，c=
∴sinC=
∵a＞c，

∴C=，

，

，

==，

故选：B．

【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题



第5页（共25页）

2．（2017•清城区校级一模）在△ABC中，若a=2，b=2
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

，A=30°，则B为（ ）

【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．

【解答】解：由正弦定理可知 =，

∴sinB==

∵B∈（0，180°）

∴∠B=60°或120°

故选B．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．运用正弦定理a：b：c=si nA：sinB：
sinC来解决边角之间的转换关系．属于基础题．



3．（2017•抚顺一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
bco sA+acosB=c
2
，a=b=2，则△ABC的周长为（ ）

A．7.5 B．7 C．6 D．5

【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．

【解答】解：∵bcosA+acosB=c
2
，a=b=2，

∴ 由余弦定理可得：b×+a×=c
2
，整理可得：2c
2
=2c
3< br>，

∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．

故选：D．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想 ，属于
基础题．



4．（2017•河东区一模）在△ABC中 ，a，b，c为角A，B，C的对边，若A=
cosB=，b=8，则a=（ ）

A． B．10 C． D．5

，
【分析】结合B的范围，由已知及同角三 角函数关系式可求sinB，利用正弦定理
即可求得a的值．

第6页（共25页）

【解答】解：∵cosB=，0＜B＜π，

∴sinB==，

∴由正弦定理可得：a===5．

故选：D．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理的应用，属于基础题．



5．（2017•深圳一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知co sC=，
a=1，c=2，则△ABC的面积为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由题意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sin B，那
么△ABC的面积即可．

【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，

那么：sinC=
cosC==
，

，解得b=2．

=
，可得sinB=
=
．

，


那么△ABC的面积S=
或者：由
那么△ABC的面积
故选A

【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．


< br>6．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a
n
}的首项为1，公差不为0．若a
2
，a
3
，a
6
成等
比数列，则{a
n
} 前6项的和为（ ）

A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8

【分析】 利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求
第7页（共25页）

出{a
n
}前6项的和．

【解答】解： ∵等差数列{a
n
}的首项为1，公差不为0．a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，

∴，

∴（a
1
+ 2d）
2
=（a
1
+d）（a
1
+5d），且a
1
=1，d≠0，

解得d=﹣2，

∴{a
n
}前6项的和为
故选：A．

【点评】本题考查等 差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意等差数列、等比数列的性质的合理运用．< br>


7．（2017•商丘二模）在等差数列{a
n
}中， a
1
+3a
8
+a
15
=60，则2a
（ ）

A．6 B．8 C．12 D．13

﹣a
10
的值为
==﹣24．

【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．

【解答】解：在等差数列{a
n
}中，

∵a
1
+3a
8
+a
15
=60，
∴a
1
+3（a
1
+7d）+a
1
+14d=5（a< br>1
+7d）=60，

∴a
1
+7d=12，
2a﹣a
10
=2（a
1
+8d）﹣（a
1
+9d）= a
1
+7d=12．

故选：C．

【点评】本题考查数列 的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等
差数列的性质的合理运用．



8．（2017•鹰潭二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（ ）

A．4π B．8π C．9π D．36π

【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本 关系式可
求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的
第8 页（共25页）

，

面积公式即可计算得解．

【解答】解：∵bcosA+acosB=2，

∴由余弦定理可得：b×
又∵，可得：sinC=
+a×
=，

==6，可得：R=3，

=2，整理解得：c=2，

∴设三角形 的外接圆的半径为R，则2R=
∴△ABC的外接圆的面积S=πR
2
=9π．

故选：C．

【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦 定理，圆的
面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．



9．（2017•南关区校级模拟）已知等差数列{a
n
}满足 ：a
2
=2，S
n
﹣S
n
﹣
3
=54（n ＞3），
S
n
=100，则n=（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】由等差数列的性质得a
n
﹣
1
=18． （n≥2），由此利用等差数列的通项公式
能求出n．

【解答】解：∵等差数列{a
n
}满足：a
2
=2，S
n
﹣S
n
﹣3
=54（n＞3），S
n
=100，

∴a
n
+a
n
﹣
1
+a
n
﹣
2
=54（n＞3 ），又数列{a
n
}为等差数列，

∴3a
n
﹣
1
=54（n≥2），

∴a
n
﹣
1
=18．（n≥2），

又a
2
=2，S
n
=100，

∴S
n
=
∴n=10．

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意等差数列的性质的合 理运用．



10．（2017•武汉模拟）若等差数列{a
n< br>}的前n项和S
n
满足S
4
=4，S
6
=12，则S
2
=
第9页（共25页）

==100，

（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

【分析】由等差数列的性质得S
2
，S
4
﹣S
2
， S
6
﹣S
4
成等差数列，由此能求出结果．

【解答】解： ∵等差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
4
=4，S6
=12，

S
2
，S
4
﹣S
2，S
6
﹣S
4
成等差数列，

∴2（S
4﹣S
2
）=S
2
+（S
6
﹣S
4
），

即2（4﹣S
2
）=S
2
+8，

解得S
2
=0．

故选：B．

【点评】本题考查 等差数列的前两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，
注意等差数列的性质的合理运用．



11．（2017春•涪城区校级月考）在△ABC中，已知A，B，C成等差数 列，且
则
A．2
=（ ）

B． C． D．

，
【分析】由等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由条件和正弦定
理求出答案 ．

【解答】解：因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，

又A+B+C=π，则B=
由b=，得=
，

==2．

故选：A．

【点评】本题考查了正弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用 ，属于
基础题．



12．（2016•全国三模）在△ABC中 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足
acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

第10页（共25页）

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式
化简整理得s in2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．

【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，

∴sinBcosB=sinAcosA

∴sin2A=sin2B

∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，

即有△ABC为等腰或直角三角形．

故选C．

【点评】本题主要 考查了正弦定理的应用，考查二倍角公式及诱导公式的运用，
考查计算能力，属基础题．



二．填空题（共4小题）

13．（2017•新课标Ⅱ）△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．

【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可

【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，

2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，

∵sinB≠0，

∴cosB=，

∵0＜B＜π，

∴B=，


故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题



14．（2017•新疆一模）在等比数列{a
n
}中a
n
∈R，且a
3
，a
11
是方程3x
2
﹣25x +27=0
的两根，则a
7
= 3 ．

第11页（共25页）

【分析】由韦达定理得，从而a
3
＞0，a11
＞0，由等比数列的性质
得，由此能求出结果．

【解答】解：∵等 比数列{a
n
}中a
n
∈R，且a
3
，a
11是方程3x
2
﹣25x+27=0的两根，

∴，

∴ a
3
＞0，a
11
＞0，且
∴a
7
=3．

故答案为：3．

，

【点评】本题考查等比数列的第7项的求法， 是基础题，解题时要认真审题，注
意等比数列性质及韦达定理的合理运用．



15．（2016秋•菏泽期中）一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半
径是 ．

【分析】根据三角形的三条边长求出对应的余弦值，再根据正弦定理即可求出R
的值．

【解答】解：三角形的三条边长分别为7，5，3，

所以边长为7所对角的余弦值是：

cosθ==﹣；

又θ∈（0，π），

∴θ=；

=，

由正弦定理得2R=
所以该三角形外接圆的半径是R=
故答案为：．

．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是基础题目．

第12页（共25页）

16．（ 2017•徐汇区校级模拟）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a< br>2
+a
5
+a
8
=15，
则S
9
= 45 ．

【分析】利用等差数列的通项公式将已知条件用首项与公差表示得到首项与公差的关系，利用等差数列的前n项和公式表示出前9项的和，将首项与公差的关系
代入求出值．

【解答】解：由a
2
+a
5
+a
8
=15，< br>
得（a
1
+d）+（a
1
+4d）+（a
1
+7d）=15⇒a
1
+4d=5，

∴
故答案为：45．

【点评】解决等差数列、等比数列的问题一般是将已知 、待求的问题都用首项、
公差、或公比表示来解决也就是所谓的基本量法．



三．解答题（共15小题）

17．（2016•天津）在△ABC中，内 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
asin2B=bsinA．

．

（1）求B；

（2）已知cosA=，求sinC的值．

【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；

（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．

【解答】解：（1）∵as in2B=
∴2sinAsinBcosB=
∴cosB=，∴B=
sinBsinA ，

．

，

=．

bsinA，

（2）∵cosA=，∴sinA=
∴sinC=sin（A +B）=sinAcosB+cosAsinB=
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦 函数，属于基础题．



18．（2013•浙江）在锐角△ABC中，内 角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
第13页（共25页）

2asinB=b．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化 简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用
特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的
值代入求 出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC
的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=
∵sinB≠0，∴sinA=
又A为锐角，

则A=；

，

b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，

（Ⅱ）由余弦定理得：a< br>2
=b
2
+c
2
﹣2bc•cosA，即36=b
2
+c
2
﹣bc=（b+c）
2
﹣3bc=64
﹣3bc，< br>
∴bc=，又sinA=，

．

则S
△
ABC
=bcsinA=
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理 是解本题
的关键．



19．（2016•长沙二模）等差数列{ a
n
}中，a
2
=8，S
6
=66

（1）求数列{a
n
}的通项公式a
n
；

（2） 设b
n
=，T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
，求T
n
．

，解之可得a
1
=6，d=2，【分析】设等差数列{a
n
}的公差为d，则有
进而可得 通项公式；（2）把（1）的结果代入可得b
n
的通项，由列项相消法可得
答案．
【解答】解：（1）设等差数列{a
n
}的公差为d，则有
第14页（ 共25页）

…（2

分）

解得：a
1
=6，d=2，…（4分）

∴a
n
=a
1
+d（n﹣1）=6+2（n﹣1）=2n+4 …（6分）

（2）b
n
==
﹣
=
+
﹣ …（9分）

﹣+…+﹣=﹣∴T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=
= …（12分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，设及列项相消法，属基础题．



20．（2013•临洮县校级模拟）在等比数列{a
n
}中，a
1
=2，a
4
=16

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）令，n∈N
*
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

【分析】（ 1）由“a
1
=2，a
4
=16”求得公比q再用通项公式求得通项．

（2）先将
其前n项和T
n

【解答】解：（1）设等比数列 {a
n
}的公比为q依题意a
1
=2，a
4
=16，得
∴q
3
=8，q=2，

∴a
n
=2
n

（2）由（1）得log
2
a
n
=n，log
2
a
n
+
1
=n+1，

bn==﹣

==﹣ 转化，再用裂项相消法求
∴Sn=b
1
+b
2
+…+bn=（1﹣） +（+）+…+（﹣）=1﹣=．

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式 及其应用，求和的常
用方法有：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和等．



21．（2010•海淀区二模）记等差数列{a
n
}的前n项 和为S
n
，已知a
2
+a
4
=6，S
4
= 10．

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）令b
n
=a
n
•2
n
（n∈N
*
），求数列{ b
n
}的前n项和T
n
．

第15页（共25页）

【分析】（1）：利用待定系数法，设首项和公差，由a
2
+a
4
=6，S
4
=10，列方程组，
可得数列首项和公 差，从而得解．

（2）：由a
n
=n，b
n
=a
n
•2
n
=n•2
n
可知，要求{b
n
}的前n项 和，可利用错位相减的
方法求得．（一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相< br>减法求和）

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的公差为d，由 a
2
+a
4
=6，S
4
=10，

可得，（2分），

即，

解得，（4分）

∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n，

故所求等差数列{a
n
}的通项公式为a
n
=n．（5分）

（Ⅱ）依题意，b
n
=a
n
•2
n
=n•2
n
，

∴T
n
=b
1
+b
2
+ +b
n
=1×2+2×2
2
+3×2
3
++（n﹣1）•2
n
﹣
1
+n•2
n
，（7分）

又2T< br>n
=1×2
2
+2×2
3
+3×2
4
+…+ （n﹣1）•2
n
+n•2
n
+
1
，（9分）
< br>两式相减得﹣T
n
=（2+2
2
+2
3
++2
n
﹣
1
+2
n
）﹣n•2
n
+
1
（11分）=
﹣n）•2
n
+
1
﹣2，（12分）
∴T
n
=（n﹣1）•2
n
+
1
+2．（13分）
【点评】本题是数列求通项和前n项和的题型，高考常见，其中：

（1）可利用利用待定系数法求解，这是解数列题的一般方法，要熟练掌握．

（2） 对于一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减
法求和，这也是教材推导等比数 列前n项和公式时的方法．另外数列求和的方法
还有倒序相加，裂项相消，分组求和等方法，要熟练掌握 ．都是高考中常考的知
识点．



22．（2015•南昌校级三 模）在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，已知a
2
=2a
1+3，
第16页（共25页）

=（1

且3a
2
，a
4
，5a
3
成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
n
，求数列{a
n
b
n
} 的前n项和S
n
．

【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立等式，转化成首项和公比，解之即可求出所求；

（ II）先求出数列{a
n
b
n
}的通项公式，根据通项公式的特点利用错位相 消法进行
求和，从而求出所求．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由题意得q＞0，

且即

解得或（舍去），

所以数列{a
n
}的通 项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b
n
=log
3
a
n
=n，所以
所以
所以
两式
=
即
相
，

，

．

． …（6分）

减
=，

得
． …（12分）

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，
同时考查了计算能力，属于基础题．



23．（2014•中山 区校级模拟）S
n
表示等差数列{a
n
}的前n项的和，且S
4=S
9
，a
1
=
﹣12

（1）求数列的通项a
n
及S
n
；

（2）求和T
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|

【分析】（1）由已知结合等差数列前n项和公式，构造关于公差d的方程，求出
公 差后，可得数列的通项a
n
及S
n
；

第17页（共25页）

（2）由（1）中数列的通项公 式，可得数列前6项为负，故可分n≤6和n≥7
时两种情况，结合等差数列前n项和公式求T
n
．

【解答】解：（1）∵S
4
=S
9
，a1
=﹣12，

∴4×（﹣12）+6d=9×（﹣12）+36d

解得d=2…（3分）

∴
（2）当n≤6时，a
n
＜0， |a
n
|=﹣a
n
，

T
n
=﹣（a1
+a
2
+…
当n≥7时，a
n
≥0，
T
n
=﹣（a
1
+a
2
+…+a
6
） +（a
7
+…
=S
n
﹣2（a
1
+a
2< br>+…+a
6
）

=n
2
﹣13n+84…（14分）

【点评】本题考查的知识点是 等差数列的通项公式和前n项公式，其中（2）由
于T
n
的表达式中出现绝对值，故要 分析各项符号．



24．（2014•邯郸二模）已知{a
n< br>}为正项等比数列，a
2
=3，a
6
=243，S
n
为等差数列
{b
n
}的前n项和，b
1
=3，S
5
=35．

（1）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式；

（2 ）设T
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
，求T
n
．

【 分析】（1）利用正项等比数列的性质，结合已知条件列出方程组，求出首项和
公比，由此能求出．利用 等差数列的前n项和公式由已知条件求出公差，

…（7分）

=13n﹣n
2
，…（10分）

由此能求出等差数列{b
n
}的通项公式．

（2）由（1）知a< br>n
b
n
=（2n+1）•3
n
﹣
1
，由此利 用错位相减法能求出T
n
=n•3
n
．

【解答】解：（1 ）∵{a
n
}为正项等比数列，a
2
=3，a
6
=243，

∴
∴．

，解得a
1
=1，q=3，或a
1
=﹣1，q=﹣3（舍），

∵S
n
为等差数列{b
n
}的前n项和，b
1
=3，S
5
=35，

第18页（共25页）

∴5×3+=35，解得d=2，

∴b
n
=3+（n﹣1）×2=2n+1．

（2）由（1）知a< br>n
b
n
=（2n+1）•3
n
﹣
1
，

∴T
n
=3+5×3+7×3
2
+9×3
3
+ …+（2n+1）×3
n
﹣
1
，①

3T
n
=3×3+5×3
2
+7×3
3
+9×3
4
+…+（2n +1）×3
n
．②

①﹣②，得﹣2T
n
=3+2（3+3
2
+3
3
+3
4
+…+3
n
﹣
1
）﹣（2n+1）×3
n

=3+2×
=﹣2n×3
n
，

∴T
n
=n•3
n
．

【点评】本题考查数列的通 项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要
认真审题，注意错位相减法的合理运用．



25．（2010•辽宁模拟）已知数列{a
n
}为等差数列， 且a
1
=1．{b
n
}为等比数列，数
列{a
n
+ b
n
}的前三项依次为3，7，13．求

（1）数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；

（ 2）数列{a
n
+b
n
}的前n项和S
n
．
【分析】（1）∵已知数列{a
n
}为等差数列，且a
1
=1．{bn
}为等比数列，数列{a
n
+b
n
}
的前三项依次为 3，7，13，所以我们易得到三个关于b
1
和公差d及公比q的方
程，解方程后，易 得数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；

（2）由（1） 易得数列{a
n
+b
n
}的通项公式，利用裂项法易得数列{a
n< br>+b
n
}的前n
项和S
n
．

【解答】解：①设公差为d，公比为q

∵数列{a
n
+b
n
}的前三项依次为3，7，13

∴
﹣（2n+1）×3
n


又a
1
=1

∴

第19页（共25页）

∴a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n

②∵a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n

∴a
n
+b
n
=（2n﹣1）+2
n

∴ S
n
=（a
1
+a
2
+…+a
n
）+（b
1
+b
2
+…+b
n
）

=
=n
2
+2
n
+
1
﹣2
【点评】方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差（或公比）列方程（组）
来求解基本量是数 列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应
用．若一个数列的通项可以分解为一个等差数列 加上一个等比数列的形式，可用
裂项法，将数列的和分为等差和等比两部分，分别代入对应的公式，进行 求解．（如
第二步）



26．（2017•广西模拟）在△AB C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．

（1）求角A的值；

（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．

，从而可得A；


【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=
（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，
再由三角形 面积公式可求结果；

【解答】解：（1）∵
∴由正弦定理，得
∴A=；

，∴C=π﹣A﹣B=，

．

，化简得cosA=，

（2）∵∠B=
可知△ABC为等腰三角形，

在△AMC中，由余弦定理， 得AM
2
=AC
2
+MC
2
﹣2AC•MCcos120° ，即
7=，

第20页（共25页）

解得b=2，

∴△ABC的面积S=b
2
sinC==．

【点评】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相
关公式并灵活运 用是解题关键．



27．（2017•潮南区模拟）在△ABC中，三个 内角的对边分别为a，b，c，cosA=
asinA+bsinB﹣csinC=
（1）求B 的值；

（2）设b=10，求△ABC的面积S．

【分析】（1）利用正 弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得
cosC的值，进而求得C，进而求得sinA 和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．

（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．

【解答】解：（1）∵
∴
∴
．

．

，

asinB．

，
又∵A、B、C是△ABC的内角，

∴
∵
又∵A、B、C是△ABC的内角，

∴0＜A+C＜π，

∴
∴
（2）∵
∴
∴△ABC的面积
第21页（共25页）

．

，

．

．

，

．

．

【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．注意对这两个公式的灵活
运用来解决三角形问题．



28．（2017•尖山区校级四模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，
已知
（1）求
=
的值

．

（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．

【分析】（1）由正弦定理， 三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知
可得sinC=2sinA，即可得解=2．

（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数
基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）由正弦定理，则
所以=
=
，

，
即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）= 2sin（B+C）．

因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．

因此
分）

（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b
2
= a
2
+c
2
﹣2accosB，及cosB=，b=2，

=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6
得4=a
2
+4 a
2
﹣4a
2
×．解得a=1，从而c=2．

因为cos B=，且sinB=
因此S=acsinB=×1×2×
﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，
余弦定理，同角三角 函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，
考查了计算能力和转化思想，熟练应用相关 公式定理是解题的关键，属于基础题．

第22页（共25页）

=
=
，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

29 ．（2015•兰州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
a=2，c= 5，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．

【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正
弦定 理=，代值计算即可．

【解答】解：（1）由余弦定理b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB，

代入数据可得b
2
=4+25﹣2×2×5×=17，

∴b=；

=

=，

（2）∵cosB=，∴sinB=
由正弦定理=，即
解得sinC=

【点评】本题考查正余弦定理的简单应用，属基础题．



30． （2015•郑州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
，2bsinA =a，BC边上中线AM的长为
（Ⅰ）求角A和角B的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等 式变形后代入求出cosA的值，
确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sin B的值，即可确定出
角B的大小；

（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC ，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关
于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的 长，再由sinC的值，
利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

【解答】 解：（Ⅰ）由a
2
﹣b
2
﹣c
2
+

．

bc=0得：a
2
﹣b
2
﹣c
2=﹣bc，即b
2
+c
2
﹣
第23页（共25页）

a
2
=bc，

=，

∴由余弦定理得：cosA=
∵A为三角形内角，

∴A=，

由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，

则B=；

，

（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=< br>由余弦定理得AM
2
=x
2
+
解得：x=2，

×2×
﹣2x••（﹣）=14，

则S
△
ABC
=AC•BC•sinC=×2=2．

【点 评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公
式是解本题的关键．



31．（2014•杭州三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知
bcosC+bsinC﹣a﹣c=0．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．

）的值，根【分析】（1）已知等式利用正 弦定理化简，整理后求出sin（B﹣
据B为三角形内角，确定出B的度数即可；

（ 2）由b，sinB的值，利用正弦定理求出2R的值，2a+c利用正弦定理化简，把
2R的值代入并 利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦
函数的值域确定出范围即可．

【解答】解：（1）由正弦定理知：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，

把sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入上式得：sin BsinC﹣cosBsinC﹣sinC=0，

∵sinC≠0，

∴sinB﹣cosB﹣1=0，即sin（B﹣）=，

第24页（共25页）

∵B为三角形内角，

∴B=；

==2，

（2）由（1）得：2R=
∴2a+c=2R（2sinA+si nC）=4sinA+2sin（
其中sinθ=
∵A∈（0，
∴2
，cos θ=，

﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+θ），

），即有A+θ=
，2
，2
处取得最大值2
]，

．

sin（A+θ）∈（
则2a+c的范围为（]．

【 点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定
义域与值域，以及特殊角的 三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．




第25页（共25页）