解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，
则∠BAE＝120°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，
∴BE＝2BP＝6，
在Rt△BED中，BD＝
故答案为：10．
＝10，

【巩固练习】
1．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC 为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠
BAE＝∠CAD,连接BD ,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形 ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
D
E
A
A
D
A
B
C
D
BC
BC< br>
图1 图2 图3



2.(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC 外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你
完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹），并证明：BE＝CD；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中 ，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠

ADB＝45°,求BD的长； 4
（3）如图3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝
α
,tanα＝,BD＝5,AD＝12，求BD的长．
3

A
B

D
A
C
B
图1

A
D
C
B
图2
C

3 图

参考答案
1.解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE＝120°，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE，（SAS）
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，
∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°，故答案为：99°．




A
A
，
E
B
D
C
B
D
P
F
C
E
2.解：
(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.
(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因 此不存在.
1
(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PCcos60°=.
2


3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A
1
C
1
B＝∠ACB＝45°，BC＝BC
1
，
∴∠CC
1
B＝∠C
1
CB＝45°，
∴∠CC
1
A
1
＝∠CC
1
B＋∠A
1
C
1
B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A
1
BC
1
，
∴BA＝BA
1
，BC＝BC
1
，∠ABC＝∠A
1
BC
1
，
∴，∠ABC＋∠ABC
1
＝∠A
1
BC
1
＋∠A BC
1
，

∴∠ABA
1
＝∠CBC
1
，
∴△ABA
1
∽△CBC
1
．
∴
∵S
△
ABA1
＝4，
∴S
△
CBC1
＝


4.（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．

（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．

（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
；
，

∴△ABC∽△AMN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．


5.解：（1）是，理由如下：
如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE＝∠BCG，
记AH与BC的交点为点P，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=22

6.解：（1）连接AD，如图1所示．

A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：
∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD和△OBC中，有
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．
，

由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝
∵A（0，﹣3），
m，

∴D（m，m﹣3）．
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分．
∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），
∴点B（
∴E（m﹣
∵m﹣＝
，﹣），
，m﹣）．
）， （m﹣
∴点E在图形y＝x上运动．
，﹣），点D（m，m﹣3），
＝，
（3）∵点A（0，﹣3），点B（
∴AB＝3，AD＝m，BD＝
△ABD为等腰三角形分 三种情况：
①当AB＝AD时，有3＝m，
此时点E的坐标为（﹣
②当AB＝BD 时，有3＝
解得：m＝0（舍去），或m＝3
此时点E的坐标为（3，3）；
，
，﹣）；
，
③当AD＝BD时，有m＝
解得：m＝（舍去）．
，
综上可知：在C点运动的过程中，当m＞
﹣）或（3

，3）．

时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，

1.解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝ AB，连接
EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝
∴BD＝CE＝
＝
．
＝，
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，

又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．

2.解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、B D，再分别以A、
C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就 是所求作的等边三角形；
证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；

（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，
由勾股定理得：DE＝
∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴EC＝BD，
在Rt△DCE中，EC＝
∴BD＝EC＝

（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，连接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴，即，
；
＝＝，
＝3，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，

∴，
在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，
∠EDA＝∠ABC，
∴∠EDC＝90°，
∵，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝
CE＝
＝15，
＝5，
由△EAC∽△DAB，
∴
BD＝

．