同学会活动方案-培训班总结

实用标准文档
三角求值与解三角形专项训练
1 三角公式运用
【通俗原理】
1．三角函数的定义：设
P(x,y)
，记
xOP 

R
，
r|OP|x
2
y
2
，
yxy
,cos

,tan

(x0)
.
rrx
sin

22
2．基本公式：
sin
cos

1,tan


.
cos

则
sin


3．诱导公式：

4．两角和差公式：
sin(



)sin

cos

cos

sin

，

cos(



)cos

cos
< br>
tan(



)< br>sin

sin

，
tan

tan

.
1tan

ta n

5．二倍角公式：
sin2

2sin

c os

，
cos2

cos
2

s in
2

2cos
2

112sin
2< br>
，
tan2


2tan

.
2
1tan

6．辅助角公式：①
asin

bco s

a
2
b
2
sin(



)
，
其中

由
tan


b
及点
(a,b)
所在象限确定.
a
②
asin

bcos

a

cos

b
sin


其中


由
tan



【典型例题】
1．已知

R
，证明：
sin(




文案大全
a

2
b

2
c os(




)
，
b

及点
(a

,b

)
所在象限确定.
a


)cos

.
2

实用标准文档



2．若

(0,)
，
tan

2
，求
sin

cos

的值.






3．已知
sin(



)1
，
sin (



)






4．求
cos15tan15
的值.







5．证明：
cos3

4cos








文案大全
3

2
tan

1
，求的值.
tan

2

3cos

.

实用标准文档
【跟踪练习】
1．已知
sin(







2．若
sin2










3
)
，求
cos(

)
的值.
356
1
，求
tan

的值.
2
三角求值与解三角形专项训练
2. 解三角形
1．三角形边角关系：在
△ABC
中，
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
， ①
ABC
；
②若
abc
，则
abc
；③等边对等角，大边对大角. < br>abc
2R
(
R
是
△ABC
外接圆的半径).
sinAsinBsinC
变形：
a2RsinA
，
b2Rsi nB,c2RsinC
.
2．正弦定理：

a
2
b< br>2
c
2
2bccosA

2
b
2
c
2
a
2
22
3．余弦定理：

bac 2accosB
.变形：
cosA
，其他同理可得.
2bc

c
2
a
2
b
2
2abcosC
< br>111
absinCbcsinAacsinB
.
222
5．与 三角形有关的三角方程：①
sin2Asin2B
AB
或
2A2 B
；
②
cos2Acos2B
AB
.
6．与三角形有关的不等式：①
absinAsinBcosAcosB
.
4．三角形面积公式：
S
△ABC

7．解三角形的三种题型：①知 三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)；
②知两个条件，求某个特定元素或范围；
文案大全

实用标准文档
③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.

【典型例题】
1．在
△ABC
中，若
acosAbcosB
，试判断
△ABC
的形状.



2．在
△ABC
中，证明：
a bABsinAsinBcosAcosB
.





3．在
△ABC
中，
a1
，
A





4．在
△ABC
中，
C2A
，
c





5．在
△ABC
中，



文案大全

，
b3
，求角
C
的大小.
6
2a
，求角
A
的大小.
ac

，求角A的大小.
3cosA
sinC

实用标准文档


6．在
△ABC
中，
c3
，
C

.
3
(I)求
△ABC
面积的最大值；
(II)求
△ABC
周长的取值范围.























【跟踪练习】
1．在
ABC
中，
a(sinAsinB)(cb)(sinCs inB)
，求角
C
.







文案大全

实用标准文档


2．在
ABC
中，
acbac
．

(I)求
B
的大小；
(II)求
cosAcosC
的最大值．











3．在
ABC
中，
bca3bc
，
B
(I)求
BC< br>边上的中线
AD
的长；
(II)求
BAC
的角平分线
AE
的长.


















文案大全
222
222
2
，
b23
.
3

实用标准文档




参考答案
5.1 三角公式
【典型例题】
1．证明：如图，在单位圆中，记
xOP

，
y
P(x,y)







xOQ=


，有
P(x,y),Q(y,x)
，
2
2
x

O
则
sin(

 )x
，而
cos

x
，
2
Q(y,

x)

∴
sin(

)cos

.
2

2．解法一：∵

(0,)
，
tan

2
，有
sin

2cos

，
2
代入
sin

cos

1
得
cos


22
2
525
1
，则
cos


，
sin


，
55
5
∴
s in

cos


35
.
5
解法二： ∵

(0,)
，
tan

2
，
∴< br>(sin

cos

)12sin

cos< br>

2

2
1
2sin

co s

2tan

9
，
1
sin
2

cos
2

tan
2

15
35
.
5
又
sin

cos

0
，有
sin

cos


3．解：由
s in(



)1
，
sin(


)
1
，
2

sin

cos< br>
cos

sin

1
31

得

1
，则
sin

cos

,cos

sin


，
44
sin

cos

cos

sin



2
文案大全

实用标准文档
sin

tan< br>
cos

sin

cos

∴
 3
.
sin

cos

sin

t an

cos

4．解：∵
cos15cos(4530)c os45cos30sin45sin30



2321

2222
26
，
4
tan15tan(4530)
tan45tan30
33
23< br>，
1tan45tan30
33
∴
cos15tan15
26
23
.
4
5．证明：
cos3

cos(

2

)cos

cos2
sin

sin2



cos

(2cos

1)2cos

si n



2cos

c os

2cos

(1cos

)


4cos

3cos

.
【跟踪练习】
3
32
22
3
)(

)
，且
sin(

)
，
63235
3
∴
c os(

)cos[(

)]sin(

) 
.
62335
1．解：∵
(


2．解：由
sin2


sin

cos

1
11

得
2sin

cos


，即，
sin
2

cos
2

4
22
∴
tan

1
2
tan

4tan
< br>10
，解得
tan

23
.

， 即
2
tan

14
5555


) sin


得
cos(2k
，即
sin


.
52555
25252525


)cos


得
sin(2k
，即
cos

，
52555
由
cos


由
sin


文案大全

实用标准文档
∴
2sin

cos


45
.
5



5.3 解三角形
【典型例题】
1 ．解：由
acosAbcosB
及正弦定理得
sinAcosAsinBcosB
，即
sin2Asin2B
，
又
A,B(0,)
， 有
2A2B
或
2A2B
，即
AB
或
A B

，
2
∴
△ABC
是等腰三角形或直角三角形. < br>2．证明：
abAB
，由
ab
及正弦定理得
2Rsi nA2RsinBsinAsinB
，
而函数
f(x)cosx
在
(0,)
上单调递减，有
0BAf(B)f(A)
，
∴
ABcosAcos
，
∴
abABsinAsinBcosAcosB
.
3．解： 由正弦定理得
bsinA13
ab
3
，得
sinB
．

a22
sinAsinB

或．
33

当
B
时，
C(AB)()
．
3632
22
)
． 当
B
时，
C 

AB

(
3636

∴角
C
为或.
26
因为
b3a1
，所以
BA
，故
B
4．解：∵
c2a
，∴ 由正弦定理有sin
C
=
2
sin
A
．
又
C
=2
A
，即sin2
A
=
2
sin
A
，于是2sin
A
cos
A
=
2
sin
A
，
在△
ABC
中，sin
A
≠0，于是cos
A
=
5．解：由条件结合正弦定理得，

2
，∴
A
=．
2
4
a
3cosA

ca

，
sinCsinA
从而
sinA3cosA
，
tanA3
，
∵
0A
，∴
A
文案大全

.
3

实用标准文档
6．解：(I)∵
c3,C
 
222
，由余弦定理得
(3)ab2abcos
，
33< br>∴
3a
2
b
2
ab2ababab
，仅 当
ab
时等号成立，
∴
△ABC
的面积
S
11333
，
absinCabsin3
22344
33
；
4
∴当
ab3
时，
△ABC
面积的最大值为
2
(II)由 (I)得
3a
2
b
2
ab
，即
3(ab )3ab
，
∴
ab
1ab
2
(ab)
2
1()
，则
(ab)
2
12
，即
ab 23
，仅当
ab
时等号成立.
32
3
时等号成立， ∴
△ABC
的周长
abc23333
，仅当
ab
而
abc3
，故
abc23
，
∴
△ABC
周长的取值范围是
(23,33]
.
【跟踪练习】
1．解：由已知以及正弦定理，得
a

ab



cb

cb

，即
ab cab
. ，
222
a
2
b
2
c2
1
π

，又
C

0，π

，所以
C
. ∴
cosC
3
2ab2
a
2< br>c
2
b
2
1
2

，
Q0 B
，
B
2．解：(I)由已知得:
cosB
；
2ac2
3
(II)由(I)知:
AC

，故
A C,0C
，
333
33

C)cosCsinC cosC
3sin(C)
，
322
3
所以
cosA cosCcos(
Q0C
3
3
,sin(C)1
，
cosAcosC3
.
323
2
222
b2
c
2
a
2
3

3．解：(I)由
bca3bc
及余弦定理得
cosA
，
2bc2
文案大全

实用标准文档
又
A(0, )
，∴
A

，则
CAB
，即
ac
，
66
而
b23
，由
a23c
abc

得，即
ac2
.

sinAsinBsinC
sin

sin

sin

636
1
A D
是
BC
边上的中线，则
AD(ABAC)
，
22
1
2

2
∴
AD(cb2bccos)7< br>，有
|AD|7
，
46
即
BC
边上的中线长为
7
；

，又
AE
是
BAC
的平分线，
6
1 11
由
S
△ABE
S
△CAE
S
△AB C
得
cAEsinbAEsinbcsin
，
21221226

∴
2(31)sinAE23
，即
(31)sinAE3，
1212
(II)由(I)得
c2,b23
，
A又
sin
321262
sin()
，
123422224
6
，即
BAC
的角平分线
AE6
. ∴
AE










文案大全

实用标准文档



5.2 三角函数的图象与性质
【通俗原理】
1．三个基本三角函数的图象与性质


ysinx




(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；


(2)对称性：关于
(k,0)
中心对称，关于






















ycosx

(1)奇偶性：偶函数，图象关于
y
轴对称；

轴对称；(
kZ
，下同)
2
(3)周期性：周期为
T2
；

(4)单调性： 在
[2k,2k]
上递
22

增，在
[2k ,2k]
上递减；
22

(5)最值性：当
x2k< br>时，
y
max
1
，
2

当
x 2k
时，
y
max
1
；
2
xk
(6)有界性：当
xR
时，
sinx[1,1]
.

,0)
中心对称，
2
关于
xk
轴对称；(
kZ
，下同)
(3)周期性：周期为
T2
；
(2)对称性：关于
(k< br>(4)单调性：在
[2k,2k]
上递减，
在
[2k,2k2]
上递增；
(5)最值性：当
x2k
时，
y
max
1
，
当
x2k
时，
y
max
1
；
(6)有界性：当
xR
时，
sinx[1,1]
.
ytanx

ytanx

yx

ysinx

(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；
(1)切线：曲线
ysinx
在
x0
处的切线
为yx
，曲线
ytanx
在
x0
处的切
线也为yx
；
(2)不等式：当
x(0,)
时，
sinxx tanx
，
当
x(,0)
时，
tanxxsinx
，

2

2
k
,0)
中心对称，不是 (2)对称性：关于
(
2
文案大全
轴对称图形；(
kZ
，下同)
(3)周期性：周期为
T
；

(4)单调性：在
(k,k)
上递增.
22

实用标准文档







2．函数图象平移与伸缩变换
(1)左右平移：
yf(x)向右平移a个单位yf(xa)
；
同理有如下结果：
(2)上下平移：
yf(x)向上平移b个单位ybf(x )
，即
yf(x)b
；
说明：①当
a0
时，
yf(x)
向右平移
a
个单位得
yf(xa)
，当
a0
时，
yf(x)
向
左平移
|a|
个单位得
yf(xa)
；②当
b0
时，
yf(x)
向上平移
b
个单位得
ybf(x)
，
即
yf(x)b
，当
b0
时，
yf(x)
向下平移
|b|
个单位得
ybf(x)
，即
yf(x)b
.
(3)横向伸缩：
y f(x)横向(x)伸长到原来的A倍yf(
(4)纵向伸缩：
yf(x)纵向(y)伸长 到原来的B倍
1
x)
；
A
1
yf(x)
，即
yBf(x)
.
B说明：当
A1
时，表示伸长，当
0A1
时，表示缩短；当
B1
时，表示伸长，当
0B1
时，表示缩短.

【典型例题】
1．已知函数
f(x)sin(2x

)
.
3
(1)求
f(x)
的对称轴及对称中心；
(2)求
f(x)
的单调递增区间及在
[0,]
上的单调递增区间；
(3)求
f(x)
在
[




文案大全

,0]
上的最大值与最小值，并求出相应的
x
的值.
2

实用标准文档










3．把函数
f(x)sinx
的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数
g(x)2cos
象？






【跟踪练习】
1．函数
y|tan2x|
的对称轴是 .

2．已知
a0
，

0
，函数
f(x)sin(x< br>
)
，把
yf(x)
的图象向右平移
a
个单位得到 一
个偶函数
yg(x)
的图象，把
yf(x)
的图象向左平移< br>a
个单位得到一个奇函数
yh(x)
的
图象，当
|

|
取得最小值时，求
yf(x)
在
[0,2]
上的单 调递减区间.





3．若把函数
f(x) x2
的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的
不变)得到函数
yg( x)
的图象，求函数
yg(x)
的解析式.

文案大全
2x
1
x1
的图
3
1
倍(纵坐标
2