例2．（1）在

ABC中，已知
a23
，
c62< br>，
B60
0
，求b及A；
（2）在

ABC中， 已知
a134.6cm
，
b87.8cm
，
c161.7cm
，解三角形
解析：（1）∵
b
=
(2
2
a2
c
2
2accosB

3)
2
(6 2)
2
223(62)
cos
45
0

62)
2
43(31)
=
12(
=
8

∴
b22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
c
2
a
2
(22)
2
(62)
2
( 23)
2
1
,
解法一：∵cos
A
2bc2
222(62)
解法二：∵sin
A
又∵
∴
∴
A 60
0
.

a23
sinBsin45
0
,

b
2262
＞
2.41.43.8,
23
＜
21.83.6 ,
∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

A60
0
.

（2）由余弦定理的推论得：
b
2
c
2
a
2
87.8
2
161.7
2
134.6
2
cos
A
0.5543,


2bc287.8161.7
A56
0
20

；
c
2
a
2b
2
134.6
2
161.7
2
87.8
2
cos
B

0.8398,


2ca2 134.6161.7
B32
0
53

；

90
0
47.


C180
0(AB)180
0
(56
0
20

320
53)
点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
题型2：三角形面积
例3．在
ABC
中，
sin
面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
AcosA
2
2
，< br>AC2
，
AB3
，求
tanA
的值和
ABC< br>的

sinAcosA2cos(A45

)

1
cos(A45

).
2
又
0

2
,
2

o

A180

,
A45
o
60
o
,A105.
tanAtan (45
o
60
o
)
13
23
,
13
26
.

4

sinAsin1 05

sin(45

60

)sin45

cos60

cos45

sin60

< br>
S
ABC

11263
ACABsinA 23(26)
。
2244
解法二：由
sinAcosA
计算它的对偶关系式
sinAcosA
的值。

sinAcosA
2
2
①
(sinAcosA)
2


2sin
1
2
1

2
0

 A180

,sinA0,cosA0.
AcosA
2

(sinAcosA)12sinAcosA
3
,
2

sinAcosA
6
2
②
① + ② 得
sinA
26
。
4
26
4
。 ① － ② 得
cosA
从而
tanA
sinA264
23
。
cosA4
26

以下解法略去。
点评：本小题主要考查三 角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一
道三角的基础试题。两种解法比 较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，
的取值范围为

.
答案 2
解析 设由正弦定理得

由锐角得，
又，故，


例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解 （1）因为，，又由
得，
（2）对于，又，或，由余弦定理得
，

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的 ,
学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的 学
生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,.
所以
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
①

由①，②解得.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的 考查.在备考中应注意总结、提高自己对
问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两 纲中明确不再考的知识和方法了解就
行，不必强化训练

题型4：三角形中求值问题
例7．
ABC
的三个内角为
并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得
B+CπAB+CA
= －，所以有cos =sin。
22222
A、B、C
，求当A为何值时，
cosA2cos
B C
2
取得最大值，
B+CAAA1
2
3
2
A
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin + 2sin=－2(sin － )+ ；
2222222
A1πB+C3
当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。
22322
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化 为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性
质求得结果。
例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以

点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍
角公式，考察应用、分析和计算能力
题型5：三角形中的三角恒等变换问题
例9．在△< br>ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边长，已知
a
、
b、
c
成等比数列，且
a
－
c
=
ac
－
bc
，求∠
A
的大小及
22
bsinB
的值。 < br>c
分析：因给出的是
a
、
b
、
c
之间的等量 关系，要求∠
A
，需找∠
A
与三边的关系，故可用余弦定理。
b2
bsinB
由
b
=
ac
可变形为=
a
，再用正弦定理可求的值。
c
c
2
解法一：∵
a
、b
、
c
成等比数列，∴
b
=
ac
。
又
a
－
c
=
ac
－
bc
，∴
b< br>+
c
－
a
=
bc
。
22222
2

b
2
c
2
a
2
bc
1
在△
ABC
中，由余弦定理得：cos
A
===，∴∠
A< br>=60°。
2bc
2bc
2
bsinA
2
在△ABC
中，由正弦定理得sin
B
=，∵
b
=
ac，∠
A
=60°，
a
3
bsinBb
2
sin60
∴=sin60°=。

2
cac
解法二：在△
ABC
中，
由面积公式 得
2
11
bc
sin
A
=
ac
sinB
。
22
2
∵
b
=
ac
，∠
A
=60°，∴
bc
sin
A
=
b
sin
B
。
∴
3
bsinB
=sin
A
=。
2
c
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正 弦定理。
例10．在△
ABC
中，已知
A
、
B
、
C
成等差数列，求
tan
ACAC
tan3tantan
的值。
2222
解析：因为
A
、
B
、
C
成等差数列，又
A
＋
B
＋C＝180°，所以
A
＋C＝1 20°，
从而
AC
AC
＝60°，故tan
3
.由 两角和的正切公式，
2
2
AC
tan
22
3
。 得
AC< br>1tantan
22
tan
所以
tan
ACAC
 tan33tantan,

2222
tan
ACAC
tan3tantan3
。
2222
点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解 ，同
时结合三角变换公式的逆用。
题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例11． 在△
ABC
中，若2cos
B
sin
A
＝sinC，则△< br>ABC
的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
C.等腰三角形
答案：C
解析：2sin
A
cos
B
＝sin（
A
＋
B
）＋sin（
A
－
B
）又∵2sin
A
cos
B
＝sin
C
，
∴sin（
A
－
B
）＝0，∴
A
＝
B

点评：本题考查了三角 形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅










B.直角三角形
D.等边三角形

解题途径
例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。
解（I）∵为锐角，
∴

∵
∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵
∴ ∴
∴
21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。
解（I）∵为锐角，
∴

∵
∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵

∴ ∴
∴

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转 化为
三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数
f(t)t4
，这些解题思维的拐
t
点，你能否很快的想到呢？

五．【思维总结】
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如
A
、
B
、
C
），由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，由正弦定理求
a
、
b
；
（2）已知两边和夹角（如
a
、
b
、
c
），应用余弦定理 求
c
边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，
然后利用
A
+
B
+
C
=
π
，求另一角；
（3）已知两边和其中一 边的对角（如
a
、
b
、
A
），应用正弦定理求
B< br>，由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，再由正弦
定理或余弦定理求
c
边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边
a
、
b
、
c
，应余弦定理求
A< br>、
B
，再由
A
+
B
+
C
=
π
，求角
C
。
abc
斜
2S
2．三角形内切圆的半径：
r
，特别地，
r
直

2< br>abc
4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，
作图来帮助理解”。


；
3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，
bacosCccosA
，…
ABsinAsinB
，…
5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情 况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何