四级听力分值-先进个人总结

2020年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷（文科）


题号
得分
一

二


一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

已知集合
A={-2
，
3
，
1}< br>，集合
B={3
，
m
2
}
，若
B
⊆
A
，则实数
m
的取值集合为（ ）
}

A.
{1}

B.
{}

C.
{1
，
-1}

D.
{
2.

设
i
是虚数单位，若复数
z=1+2i
，则复数
z
的模为（ ）

A.
1

B. C.

D.

3.

设命题
p
：∀
x
∈（
0
，
+∞
），
lnx≤x-1
，则￢
p
为（ ）
A.
∀
x
∈（
0
，
+∞
），
l nx
＞
x-1

B.
∃
x
0
∈（
0
，
+∞
），
lnx
0
≤x
0
-1
C.
∀
x
∉（
0
，
+∞
），lnx
＞
x-1

D.
∃
x
0
∈（
0
，
+∞
），
lnx
0
＞
x
0< br>-1

4.

近年来．随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的 加剧，我国经济发展的“人口红利”
在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自
2018
年起，像西安、南京
等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019
年发布各种人才引进与落户等政策的
城市已经有
16
个．某二线 城市与
2018
年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称
新政）：硕士研 究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生
可以直接落户，专科学历毕 业生在当地工作两年以上可以落户．高中及以下学历人员在当地工
作
10
年以上可以落 户．新政执行一年，
2018
年全年新增落户人口较
2017
年全年增加了一 倍，
为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即
20 17
年）
与新政执行一年（即
2018
年）新增落户人口学历构成比例，得到 如饼图：则下面结论中错误的
是（ ）

三

总分


A.
新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数
B.
新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少
C.
新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响
D.
新政对专科生在该市落实起到了积极的影响
5.

若变量满足约束条件，则的最小值为

（

）
A.
－
1

B.
0

C.
1

D.
2

6.

九连环是我国从古 至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相
连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两 环互相贯
为一得其关换，解之为三，又合而为一”．在某种玩法中，用
a
n
表
示解下
n
（
n≤9
，
n
∈
N
*< br>）个圆环所需的移动最少次数，
{a
n
}
满足
a
1< br>=1
，
第1页，共18页

且
a
n
=
，则解下
4
个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A.
7

B.
10

C.
12

D.
22

7.

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）

A.
5π

B.
6π

C.
6π+2

D.
5π+2



8.

某次测量发 现一组数据（
x
i
，
y
i
）具有较强的相关性，并计算得< br>=x+1.5
，其中数据（
1
，
y
1
）因
书 写不清楚，只记得
y
1
，是
[0
，
3]
上的一个值 ，则该数据对应的残差（残差
=
真实值
-
预测值）的
绝对值不大于< br>0.5
的概率为（ ）
A.

9.

函数
B.

的图象大致是（ ）
C.

D.

A.

B.

C.

D.

10.

在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，若△
ABC
为锐角三角形，且满足，
sin2C=tanA
（
2sin
2
C+cosC-2
），则等式成立的是（

）

B. C. D.
11.

已知抛物线C
：
y
2
=4x
的焦点为
F
，过点
F
分别作两条直线
l
1
，
l
2
，直线
l1
与抛物线
C
交于
A
，
B
两点，直线
l
2
与抛物线
C
交于
M
，
N
点，若
l
1
与直线
l
2
的斜率的乘积为
-1
，则
|AB|+|MN|
的最小
值为（

）
A.
14

B.
16

C.
18

D.
20

12.

已知函数
使得
（< br>e
为自然对数的底数），
g
（
x
）
=lnx-ax- ea+4
．若存在实数
x
1
，
x
2
，
，且 ，则实数
a
的最大值为（ ）
A.
A.

B.

C.

D.
1

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

直线
l
1
：
ax+2y=0
与直 线
l
2
：
x+y-1=0
平行，则
a
的值为
______

第2页，共18页

14.

正弦 型函数
f
（
x
）
=Asin
（
ωx+φ
） （
A
＞
0
，
ω
＞
0
，
|φ|＜）的图象如图所示，则
f
（
x
）的解析式
为
____ __
．


15.

，均为单位向量，且它们的夹角为< br>60°
，设，满足
|+|=
，
=+m
（
m
∈
R
），则
|-|
的最
小值为
______
．
16.

如图所示，正方体
ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1
的棱长为
1
，
M
，
N
为线段
BC
，
CC
1
上的动点，过点
A
1
，
M
，
N
的平面截该正方体的截面记为
S
，则 下列命
题正确的是
______
①当
BM=0
且
0
＜
CN
＜
1
时，
S
为等腰梯形；
②当
M
，
N
分别为
BC
，
CC
1
的中点时，几 何体
A
1
D
1
MN
的体积为；
③当
M< br>为
BC
中点且时，
S
与
C
1
D
1< br>的交点为
R
，满足；
④当
M
为
BC
中点且
0≤CN≤1
时，
S
为五边形；
⑤当且
CN=1
时，
S
的面积．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

已知数列
{a
n
}
是公比为
{b
n
}
的正项等比数列，
{b
n
}
是公差
d
为负数的等差数列，满足
b
1
+b
2
+b
3
=21
，
b
1
b
2
b
3
=315
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的公比
q< br>与数列
{b
n
}
的通项公式；
（
2
）求数 列
{|b
n
|}
的前
10
项和
S
10.








18.

伴随着科技的迅速发展，国民对“
5G
”一词越来越熟悉， “
5G
”全称是第五代移动电话行动通
信标准，也称第五代移动通信技术．
2 017
年
12
月
10
日，工信部正式对外公布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了
5G
系统中低频率使用许可．
2019
年2
月
18
日上海虹桥火车站正式
启动
5G
网络建设．为 了了解某市市民对“
5G
”的关注情况，通过问卷调查等方式研究市民对
，
第 3页，共18页

该市
300
万人口进行统计分析，数据分析结果显示 ：约
60%
的市民“掌握一定
5G
知识（即问
卷调查分数在
80
分以上）”将这部分市民称为“
5G
爱好者”．某机构在“
5G
爱好者”中随机
抽取了年龄在
15-45
岁之间的
100
人按照年龄 分布（如图所示），其分组区间为：（
15
，
20]
，
（
2 0
，
25]
，（
25
，
30]
，（
30< br>，
35]
，（
35
，
40]
，（
40
，
45]
．



（
1
）求频率直方图中的
a
的值；
（
2
）估计全市居民中
35
岁以上的“
5G
爱好者”的人数；
（
3
）若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔
45%
的“
5G
爱好者”进行
5G
的专业知识
深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方 图，估计该市“
5G
达人”的年龄上限．







19.

如图，在多面体
ABCDEF中，平面
ADEF
⊥平面
ABCD
．四边形
ADEF
为 正方形，四边形
ABCD
为梯形，且
AD
∥
BC
，△
ABD
是边长为
1
的等边三角形，
M
为线段
BD
中点，
BC=3
．
（
1
）求证：
AF
⊥
BD
；
（
2
）求点
M
与平面
CDE
的距离
第4页，共18页

20.

在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
F
2
，直线
AF
2
的斜率为
的上顶点为< br>A
，左、右焦点分别为
F
1
，
．
Q
在椭圆
E
上，
Q
点坐标为，点
P
，其中
P
是椭圆 上一动点，
（
1
）求椭圆
E
的标准方程；
（
2< br>）作直线
l
与
x
轴垂直，交椭圆于
H
，
K< br>两点（
H
，
K
两点均不与
P
点重合），直线
PH
，
PK
与
x
轴分别交于点
M
，
N．求
|OM|+|ON|
的最小值及取得最小值时点
P
的坐标．







21.

已知函数
f
（
x
）
=
．
（
1
）讨论
fx
）的单调性；
（
2
）当
a=2
，
x
＞时，证明：
f
（
x
）＜．







22.

在直角坐标系
xOy
中，
A
（
2
，
0
） ，
B
（
0
，
1
），以
O
为极点，
x
轴的正半轴建立极坐标系，曲
线
C
的极坐标方程为：
4ρ
2
-12=ρ
2
cos
2
θ
．
（
1
）求曲线
C
的直角坐标方程；
第5页，共18页 < /p>

（
2
）动点
P
是曲线
C
在第一象限的 点，当四边形
OAPB
的面积最大时，求点
P
的直角坐标．







23.

已知函数
f
（
x
）
=|x-3|
．
（< br>1
）若
f
（
x
）
≤1
，求
x
的取值范围；
（
2
）在（
1
）的条件下，求的最大值．






第6页，共18页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
C

解析：【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题
.
若
B
⊆
A
，则
m
2
=1
，即可求解满足条件的
m
【解答】
解：∵
A={-2
，
3
，
1}
，
B={3
，
m
2
}
，
若
B
⊆
A
，
则
m
2
=1
∴
m=1
或
m=-1
实数
m
的取值集合为
{1
，
-1}
故选：
C
．
2.
答案：
D

解析：【分析】
本题考查复数模的求法，是基础题．
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵
z=1+2i
，
∴
|z|=
．
故选
D
．
3.
答案：
D

解析：【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：由全称命题的否定是特 称命题．可知命题
p
：∀
x
∈（
0
，
+∞
），
lnx≤x-1
，则￢
p
是：￢
p
：∃
x0
∈（
0
，
+∞
），
lnx
0
＞x
0
-1
．
故选：
D
．
4.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查了对图表信息的处理及简单的合情推理，属中档题．
先对图表信息进行处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【解答】
解： 由该市新政执行前一年（即
2017
年）与新政执行一年（即
2018
年）新 增落户人口学历构成比
例的饼图可知：
选项
A
，
C
，
D
正确，
对于选项
B
，设
2017
年全国落户
m
人，则
2018
年 全国落户
2m
人，
第7页，共18页

则
2017
年高中及以下学历人员落户
0.09m
人，
2018
年高中及以下学 历人员落户
0.1m
人，
故新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口增加，
故选项
B
错误，
故选：
B
．
5.
答案：
A

解析：【分析】
由约束条件作出可行域 ，由图得到最优解，求出最优解的坐标，
数形结合得答案，本题考查了简单的线性规划，考查了数形结< br>合的解题思想方法
.
【解答】
解：由约束条件
由图可知，最优解为
A
，
联立，解得
A
（
0
，
1
）．
作出可行域如图，
0-1=-1
． ∴
z=2x-y
的最小值为
2×
故选
A
．
6.
答案：
A

解析：【分析】
本题比较新颖，考查学 生对于递归式的掌握和理解，属基础题．根据已知规律和递归式，推导出
a
4
的值即可 ．
【解答】
解：根据题意，
a
2
=2a
1
-1=1
；
a
3
=2a
2
+2=4
；
a
4
=2a
3
-1=7
；
即解下
4
个圆环最少移动
7
次；
故选：
A
．
7.
答案：
D

解析：解：由三视图知， 该几何体是由半径为
1
高为
1
的圆柱与一个半圆柱组成
的几何体，
表面积为
S=2π×1×1+2π×1++2×1=2+5π
．
故选：
D
．
通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即
可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．
8.
答案：
C

第8页，共18页

解析：解：由题意，其预估值为
1+1.5=2.5
，
该数 据对应的残差的绝对值不大于
0.5
时，
2≤y
1
≤3
，
其概率可由几何概型求得，
即该数据对应的残差的绝对值不大于
0.5
的概率
P==
．
故选：
C
．
求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于
1
时
y
0
的取值范围，用几何概型解答．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
9.
答案：
A

解析：【分析】
本题考查函数的图象与图象变换，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
由函数为偶函数排除
C
，再由指数函数的性质排除
B
，
D< br>，则答案可求．
【解答】
解：由
f
（
x
）
=
，得
f
（
-x
）
==f
（
x
），
可得
f
（
x
）为偶函数，排除
C
；
当
x→+∞
时，
e
x
→+∞
，
e
-x
→0
，
x
3
-x→+∞
，
结合“指数爆炸 ”可得
f
（
x
）
=→+∞
，排除
B
，D
．
故选：
A
．
10.
答案：
B

解析：【分析】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中 的应用，考查了转化思想，属于
基础题．
利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得
a=2b
，即可得解．
【解答】
解：∵△
ABC
为锐角三角形，且
sin2C=tanA
（
2sin
2
C+cosC-2
），
∴
2sin CcosC=tanA
（
cosC-2cos
2
C
）
=tanAcosC
（
1-2cosC
），
∴
2sinC=tanA
（
1-2cosC
），
∴
2sinCcosA=sinA-2sinAcosC
，
∴
sinA=2sinCcosA+2sinAcosC
=2sin
（
A+C
）
=2sinB
，
∴
a=2b
．
故选：
B
．
11.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属中档题．
设直线
l
1< br>的方程为：
y=k
（
x-1
），将其代入
y
2
=4x
可得：
k
2
x
2
-
（
2k
2
+4
）
x+k
2
=0
，根据韦达定理以及抛
物 线的定义可求得
|AB|
，同理可求得
|MN|
，然后相加利用基本不等式可 得最小值．
【解答】
第9页，共18页

解：因为
F
（
1
，
0
），
由题意可设直线
l
1
的方程为：
y=k
（
x-1
），
将其代入
y
2
=4x
可得：
k
2
x
2
-
（
2k
2
+4
）
x+k
2< br>=0
，
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），M
（
x
3
，
y
3
），
N
（< br>x
4
，
y
4
），
∴
|AB|=x
1
+x
2
+p=+2
，
∵
l
1
与
l
2
的斜率的乘积为
-1
，
∴
l
2
的斜率为
-
，
同理可得
|MN| =x
3
+x
4
+p=
∴
|AB|+|MN|=4++4+4 k
2
=8++4k
2
≥8+2=16
．
+2=4+4k
2
，
1
时取等号． 当且仅当
k=±
故选：
B
．
12.
答案：
A

解析：【分析】
本题考查利用函数求导研究参数的范围问题，属于较难题
.
本题关键点是先求出x
1
=e
，确定
x
2
的范围，再利用参数分离法求出< br>a
的最大值
.
【解答】
解：显然函数
又
是单调递 增函数，
f
（
e
）
=1+
，故
x
1
=e
，
，且
x
2
＞
0
，所以
e≤x< br>2
≤e
2
，
因为
g
（
x
）
=lnx-ax-ea+4
， 令
g
（
x
）
=1
，
e≤x≤e
2，
由
lnx-ax-ea+4=1
，得
a
（
x+e< br>）
=lnx+3
，即
设
h
（
x
）
=
对于
，，
，
在（
e
，
e
2
） 上递减函数，最大值为
y
（
e
）
=1-1-2
＜
0
，所以
h
'
（
x
）＜
0
，
，所以
a
的最大值为．
h
（
x
）单调递减，
故选
A
．
13.
答案：
2

解析：解：∵直线
l
1
：
ax+2y=0
与直线
l
2
：
x+y-1=0
平行，
∴，
解得
a=2
．
第10页，共18页

故答案为：
2
．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.
答案：
f
（
x
）
=sin
（
2 x+
）

解析：解：由函数
f
（
x
）
= Asin
（
ωx+φ
）的图象知，
A=1
，周期为
T=4×
（
-
）
=π
，
∴
ω==2
；
由
2×+φ=
，解得
φ=
，
∴
f
（x
）
=sin
（
2x+
）．
故答案为：
f< br>（
x
）
=sin
（
2x+
）．
由函数f
（
x
）的图象得出
A
、
T
、
ω和
φ
的值即可．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
15.
答案：


解析：【分析】
本题考查了向量模的几何意义及点的轨迹，属中档题．
由向量模的几何意义及点的轨迹得：在 平面中所对应的点
A
在以（
-1
，
0
）为圆心，为半径的圆 上
运动，在平面中所对应的点
B
在直线
y=
上运动，则
|< br>的最小值为，得解．
|
的几何意义为点
A
到点
B
的 距离，则
||
【解答】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，

由，均为单位向量，且它们的夹角为
60°
，
第11页，共18页

则设
=
（
1
，
0
），
=
（，），
又满足
||=
，则在平面中所对应的点
A
在以（
-1
，
0
）为圆心，为半径的圆上运动，
又
=+m
（m
∈
R
），则在平面中所对应的点
B
在直线
y=
上运动，
则
||
的几何意义为点
A
到点
B
的距离，
，
，
由图可知
|AB|
min
=
即
| |
的最小值为
． 故答案为：
16.
答案：①②

解析：【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
利 用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体，锥体的体积和表面积公式进行计算，对选项逐一
分析，利 用命题真假进行判断即可．
【解答】
解：对于①，如图
1
所示，

当
BM=0
且
0
＜
CN
＜
1< br>时，由面面平行的性质定理可得，
交线
QN
∥
A
1
B
，且
A
1
B≠QN
，
A
1
Q=BN，
所以截面
S
为等腰梯形，①正确；
对于②，如图
2,取
BB
1
的中点为
H,
连接
NH.
，
则
BCA
1
D
1
HN
，
第12页，共18页

即几何体
A
1
D
1
MN
的体积为
=
=
=


=
；
③当
CN=< br>时，延长
B
1
C
1
,MN
交于
G,
连接
AG
交
C
1
D
1
于
R,
如图 ，

由△
GC
1
N
∽△
MCN
，可得< br>C
1
G==
，
由△
GRC
1
∽△
GA
1
B
1
,
故可得
C
1
R=A
1
B
1
=
，故③错误；
④当
M
为
BC< br>中点
CN=1
时，
N
与
C
1
重合
,
取
AB
中点为
E,
如图：

EM
∥A
1
C
1
此时的截面形状为
A
1
EMC
1
，显然为四边形，故④错误；
⑤当且
CN=1
时
,
取
BF=,
则
FM
∥
A
1
C
1
如图 ：

当
CN=1
时，
N
与
C
1
重合，
第13页，共18页

可知截面为
A
1
FMC
1
即为截面且为等腰梯形，故其面积为
S=×
（）
×=
，故⑤错误；
故选：①②．
17.答案：解：（
1
）∵
{b
n
}
是公差
d
为负数的等差数列，
且
b
1
+b
2
+b
3=21
，得
3b
2
=21
，则
b
2
= 7
．
又
b
1
b
2
b
3
=315
， < br>∴（
b
2
-d
）
b
2
（
b
2
+d
）
=7
（
7-d
）（
7+d
）< br>=343-7d
2
=315
，
解得：
d=-2
或
2
（舍），
于是，
， 又< br>{a
n
}
是公比为
q
的等比数列，故
∴
2q
2
+q-1=0
，
q=-1
（舍）或，
∴
q=< br>，
b
n
=b
2
+
（
n-2
）
d
=7-2
（
n-2
）
=11-2n
；
（< br>2
）设
{b
n
}
的前
n
项和为
T< br>n
；
令
b
n
≥0
，即
11-2n≥0，得
n≤5
，
于是，
当
n≥6
时，
b
n
＜
0
，
|b
6
|+|b
7
|+
……
+|b
10< br>|
=-b
6
-b
7
-
……
-b
10
=-
（
b
6
+b
7
+
……
+b
10
）
=-
（
T
10
-T
5
）
=-
（
0-25
）
=25
．
∴
S
10
=50
．
，

解析：本题是 等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的通项公式及前
n
项和，是
中 档题．
（
1
）由已知结合等差数列
{b
n
}
的性 质列式求得
b
2
与公差，则数列
{b
n
}
的通项公 式可求，再由等比数
列的性质及求得数列
{a
n
}
的公比
q
；
（
2
）设
{b
n
}
的前
n< br>项和为
T
n
,
令
b
n
≥0
，即11-2n≥0
，得
n≤5
，求得
S
5
，再求出
|b
6
|+|b
7
|+
……
+|b
10
|
的值，
则答案可求．
18.
答案：解：（
1
）依题意： （
0.014+0.04+0.06+a+0.02+0.016
）
×5=1
所以，
a=0.05
；
60%=180
（万人） （
2< br>）根据题意全市“
5G
爱好者”
300×
5=0.18
， 由 样本频率直方图分布可知，
35
岁以上“
5G
爱好者”的频率为（
0 .02+0.016
）
×
0.18=32.4
（万人） 据此可估计全市35
岁以上“
5G
爱好者”的人数
180×
5=0.27
＜
45%
（
3
）样本频率分布直方图中前两组的频率之和为（
0 .014+0.04
）
×
第14页，共18页

5=0.57
＞
45%
前
3
组频率之和为 （
0.014+0.04+0.06
）
×
所以，年龄在
25-30< br>之间，不妨设年龄上限为
m
，
0.06=0.45
， 由
0 .27+
（
m-25
）
×
得
m=28
，
所以，估计该市“
5G
达人”的年龄上限为
28
岁．
< br>解析：本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求
解能力，属于中档题．
（
1
）由频率直方图的性质能求出
a
的值．
35
岁以上“
5G
爱好者”（
2
）根据题意全市“
5G
爱好者”有
180
万人，由样本频率直方图分布可知，
的频率为
0.18
，据此可估计全市
35
岁以上“
5G
爱好者”的人数为32.4
万人．
（
3
）样本频率分布直方图中前两组的频率之和为0.27
＜
45%
前
3
组频率之和为
0.57
＞
45%
，年龄在
25-30
之间，不妨设年龄上限为
m
， 由
0.27+
（
m-25
）
×0.06=0.45
，能求出
m=28
，估计该市“
5G
达
人”的年龄上限为
28
岁．
19.
答案：解：（
1
）证明：因为
ADEF
为正方形，
所以
AF
⊥
AD
．
又因为平面
ADEF
⊥平面
ABCD
，
且平面
ADEF∩
平面
ABCD=AD
，
所以
AF
⊥平面
ABCD
．
所以
AF
⊥
BD
；
（
2
）连接
ME
，
MC
，设点
M
到平面
CDE
的距离为
h
，
根据题意
DE
⊥平面
ABCD
，即
DE< br>为三棱锥
E-MDC
的高，四边形
ABCD
为梯形且
AD∥
BC
，可知
∠
DBC=60°
，
又
SMDC
=S
BDC
=×BC
•
BDsin
∠
D BC=
所以
V
E
-
MDC
=S
MDC

DE=
，
，
=
． 在△
BDC
中，依余弦定理 可求
CD=
S
CDE
=
，
V
M
-
CDE
=S
CDE

h=h
，
又
V
E
-
MDC

=V
M
-
CDE
，即
h=
，
所以
h=
．

解析：（
1
）只需证明
AF
⊥平面
ABCD
．即可证明
AF
⊥
BD
； < br>（
2
）连接
ME
，
MC
，设点
M
到 平面
CDE
的距离为
h
，根据题意
DE
⊥平面
AB CD
，即
DE
为三棱锥
E-MDC
的高，四边形
ABCD< br>为梯形且
AD
∥
BC
，可知∠
DBC=60°
由
V
E
-
MDC

=V
M
-
CDE
，即可求解．
本题考查了空间线线垂直、等体积法求距离，属于中档题．
可知直线的倾斜角为
120°
．
20.
答案：解：（
1< br>）由直线
AF
2
的斜率为
在
Rt
△
OAF< br>2
中，∠
AF
2
O=60°
，于是，
∴设椭圆，将代入得，
第15页，共18页

解得：
c=1
．
∴椭圆
E
的标准方程为；
（
2
）设点
P
（
x
0
，
y
0
），
H
（
x
1
，
y
1
），< br>Q
（
x
1
，
-y
1
）．
于是，直线
∴
直线
∴
则
又，，
．
==
．
，
，令，
，令，
代入上式并化简
即
|OM|+|ON|≥4
．
当
|OM|=|ON|
（即
由
．
）时取得最小值． ，化简得
y
1
y
0
（
x
1
-x
0
）
=0
，
根据题意：
x
1
≠x
0< br>，若
y
1
=0
亦与题意不符，
∴
y
0=0
，此时
x
0
=2
或
-2
．
由
将，
，化简得
代入并化简得：
，
．
根据题意 ：
x
1
≠x
0
，若
∴
x
0
x1
=-4
不成立，即
，则
x
0
x
1
= -4
，而
-2≤x
0
≤2
，
-2
＜
x1
＜
2
，
不成立．
综上，
x
0
=2
或
-2
，
故点
P
的坐标为（
2
，
0
）或（
-2
，
0）．

解析：（
1
）由已知直线
AF
2
的斜 率为
，可设椭圆
可知直线的倾斜角为
120°
．在
Rt
△< br>OAF
2
中，得
，将
Q
坐标代入求得
c
，则 椭圆方程可求；
（
2
）设点
P
（
x
0
，
y
0
），
H
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
1
，
-y
1
）．分 别写出直线
PH
，
PK
的方程，求出两直线
在
x
轴 上的截距，利用基本不等式求
|OM|+|ON|
的最小值，然后分类求解
|OM|+ |ON|
取最小值时点
P
的
坐标．
本题考查椭圆方程的求法，考查 直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查
第16页，共18页

计算能力，属难题．
21.
答案：解：（
1
）f
（
x
）

的定义域（
0
，
+∞），
f
′（
x
）
=--=-
当
a≥0
时，
f
′（
x
）＜
0
，则
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上单调递减；
当
a
＜
0
时，令
f
′（
x
）＞
0
，可得
0
＜
x
＜
-a
；
令
f
′（
x< br>）＜
0
可得
x
＞
-a
；
则
f（
x
）在（
0
，
-a
）上单调递增，在（
-a
，
+∞
）上单调递减．
（
2
）当
a=2
时，要证明
f
（
x
）＜成立，即证：＜
．
．
令
g
（
x
）
=2-x-xlnx
，
g
′（< br>x
）
=-2-lnx
，令
g
′（
x
）＞0
，
0
＜
x
＜
e
-2
，
g< br>′（
x
）＜
0
，
x
＞
e
-2
，
所以，
g
（
x
）在（
0
，
e
-2
）单调递增；在（
e
-2
，
+∞
）递减．
又根据题意
x
＞＞
e
-2
，所以
g
（
x< br>）在（，
+∞
）上为减函数
故
g
（
x
）
≤g
（）
=2
＜
2+e
-2
，即
2-x- xlnx
＜
2+e
-2
．
令
h
（
x）
=x-1-lnx
，
h
′（
x
）
=1-=< br>，
当＜
x
＜
1
，
h
′（
x
）＜
0
，
h
（
x
）单调递减；
当
x< br>＞
1
，
h
′（
x
）＞
0
，
h
（
x
）单调递增．
故
h
（
x
）
≥h
（
1
）
=0
，即
x≥1+lnx
＞
0
，
0
＜
≤
≤≤
．等号不同时成立．
．
，
即当
a=2
时，
f
（
x
）＜

解析：（
1
）
f
（
x
）

的定义 域（
0
，
+∞
），
f
′（
x
）
= --=-
（
2
）当
a=2
时，要证明
f
（
x
）＜成立，即证：
．对
a
分类讨论即可得出单调性．
＜． 令
g
（
x
）
=2-x-xlnx
，利用导数研究其单调 性即可得出
g
（
x
）＜
2+e
-2
，即
2-x-xlnx
＜
2+e
-2
．令
h
（
x
）
=x-1-lnx
，利用导数研究其单调性即可得出
x≥1+lnx
＞
0
，
0
＜
≤
，进而证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.
答案：解：（
1
）由< br>即曲线
C
的直角坐标方程；
可得，
4x
2
+4y< br>2
-12=x
2
，整理得，
（
2
）由动点
P
是曲线
C
在第一象限的点可设点
设四边形
OAPB
的面积 为
S
，
则

，
第17页，共18页

=
所以当
,
时，
S
最大，此时
P
点
.

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
（
1
）利用互化公式可得曲线
C
的直角坐标方程；
（2
）根据椭圆的参数方程设
P
（
2cosθ
，
sinθ
）（
0
＜
θ
＜），根据

可得点
P
的直角坐标．
23.
答案：解：（
1
） 由已知得，
|x-3|≤1
，即
-1≤x-3≤1
，即
2≤x≤4< br>，
即
x
的取值范围为
[2
，
4]
．
（
2
）由
2≤x≤4
可得

由柯西不等式，得．
当且仅当，即时，
g
（
x
）的最大值为．

解析：（
1
）去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．
（
2
）利用柯西不等式转化求解函数的最大值即可．
本题考查不等式的解法柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．

第18页，共18页