郴州市财政局-读书心得300字

2020年2月高三数学练习卷（二）理

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）
1．已知集合A＝{|
2
﹣4+5＞0}，
A．（﹣2，3） B．[﹣2，3]
，则A∩B＝（ ）
C．[﹣2，3） D．∅
【解答】解 ：
2
﹣4+5＝（﹣2）
2
+1＞0，∴集合A＝R，且B＝{|﹣2≤＜3 }，
∴A∩B＝[﹣2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了分式不等式、一 元二次不等式的解法，描述法、区间的定义，
交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．已知复数满足（1+2i）＝|3+4i|（i是虚数单位），则的共轭复数＝（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
， 【解答】解：由（1+2i）＝|3+4i|＝5，得＝
∴．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知命题p：∀∈R，sin+cos＜2．则￢p为（ ）
A．∃
0
∈R，sin
0
+cos
0
＞2
C．∀∈R，sin+cos＞2
【解答】解：命题p：∀∈R，sin+cos＜2．
则￢p为：∃
0
∈R，sin
0
+cos
0
≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了全称命题的否定是特称命题问题，是基础题．
B．∀∈R，sin+cos≥2
D．∃
0
∈R，sin
0
+cos
0
≥2

4．已知实数，y满足则＝3+y的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．11
【解答】解：由约束条件足 作出可行域如图，
化目标函数＝3+y为y＝﹣3+，

联立⇒；
由图可知，当直线y＝﹣3+过B（2，﹣3）时，直线在y轴上的截距最小，有最小值
为3．
故选：B．






【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题
5．记S
n
为正项等比数列{a
n
}的前n项和．若a
1
＝1，4a
3
＝a
5
，则S
10
＝（ ）
A．512 B．511 C．1023 D．1024
【解答】解：由4a
3
＝a
5
可得q
2
＝4，
∵q＞0，
所以q＝2，
由等比数列的求和公式可得，S
10
＝
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的简单应用，属于基础试题．
6
．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线焦
＝1023．
点到其渐近线的距离等于（ ）
A.









B. 3 C. 5 D.

7．已知函数f（）＝sin+cos+202 0，g（）是函数f（）的导函数，则函数y＝g（）的部
分图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为f（）＝sin+cos+2020，
所以g（）＝f'（）＝sin+cos﹣sin＝cos，
可知g（）为奇函数，故排除A，B；
当0＜＜
故选：D．
【点评】本题 考查函数的求导、函数图象的判断，考查推理论证能力．利用函数的
奇偶性和函数值的对应性进行排除是 解决本题的关键．难度不大．
8．根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量，y的线性回归方程为（ ）

y
A．
C．
【解答】解：
1
0.5
2
1
3
1


，
4
1.5
5
2
B．
D．
，


时．g（）＞0，排除C，
＝0.35，，
∴y关于的线性回归方程为
故选：A．
．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
9．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点O为△ABC的外心，则的值为（ ）

A．26 B．13 C． D．10
【解答】解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC
的中点，
＝
＝||||﹣|
（•
||
﹣
|
）＝﹣
＝6×﹣4×
＝10．
故选：D．

【点评】本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，
属于基础题．
10．已知
值是（ ）
A． B．
，
C．7 D．70 < br>的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大
【解答】解：令＝1，则（1﹣）< br>n
＝
解得n＝8，
∵（1﹣）
8
＝1﹣
＝
＝
＝
＝7，
＝
＝
，
，
+
2
﹣
3
+
4
﹣…+
8
，
∴展开式中项的系数的最大值是7，
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理，考查观察与运算能力，属于中档题．

11．将函数 的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，再将图象上
各点的横坐标伸长到原的6倍（纵坐标不变），得 到函数g（）的图象，若g（）为

奇函数，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将函数
可得y＝sin（3﹣3m+）的图象；
的 图象向右平移m（m＞0）个单位长度，
再将图象上各点的横坐标伸长到原的6倍（纵坐标不变），得到 函数g（）＝sin（
﹣3m+）的图象，
＝0，∴m＝， 若g（）为奇函数，则当m的最小时，﹣3m+
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ω+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对
称性，属于基础题．
12．已知正项 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＞1，且6S
n
＝a
n
2
+3a
n
+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【解答】解：由6S
n
＝a
n
2
+3a
n
+2，
当n＝1时，6a
1
＝a1
2
+3a
1
+2．解得a
1
＝2，
当n≥ 2时，6S
n
﹣
1
＝a
n
﹣
1
2
+3a
n
﹣
1
+2，两式相减得6a
n
＝a
n2
+3a
n
﹣（a
n
﹣
1
2
+3a< br>n
﹣
1
），整
理得（a
n
+a
n
﹣
1
）（a
n
﹣a
n
﹣
1
﹣3）＝0， < br>由a
n
＞0，所以a
n
+a
n
﹣
1
＞0，所以a
n
﹣a
n
﹣
1
＝3，
所以数列{a
n
}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a
n+1
＝2+3（n+1﹣ 1）＝3n+2，
所以＝＝3﹣＜3，
恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
D．[﹣2，2]
因此原不等式转化为2t
2
+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N
*
恒成立，
化为：2t
2
+at﹣4≥0，
设f（a）＝2t
2
+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有，即，
可得t≥2或t≤﹣2，
则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．

故选：A．
【点评】本题考查数列与不等式的关系，考查a
n
与S
n
的关系，等差数列 的定义，方
程的根的分布问题，考查转化思想，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
13．已知函数f（）＝sin（+φ）+
称，则φ的值是 ．
cos（+φ）＝2sin（+φ），
cos（+φ）（0＜φ＜）的图象关于直线＝对【解答】解：f（）＝sin（+φ）+
图象关于直线＝
所以+φ＝
，
，
．
对称，
，故φ＝，
又0＜φ＜
所以φ＝
故答案为：
【点评】考查三角函数的对称性，中档题．
14．已知
值是是 7 ．
A． B．
，
C．7 D．70
的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大
【解答】解：令＝1，则（1﹣）
n
＝
解得n＝8，
∵（1﹣）
8
＝1﹣
＝
＝
＝
＝7，
＝
＝
，
，
+
2
﹣
3
+
4
﹣…+
8
，
∴展开式中项的系数的最大值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查二项式定理，考查观察与运算能力，属于中档题．

15．若数列

a
n

是正项数列，且
a
1
a
2
a
n
n
2
3nnN

，则< br>

a
a
1
a
2

n

___
2n
2
6n
_________．
23n1


16．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对 边，D是AB上的三等分点（靠近
点A），且CD＝1，（a﹣b）sinA＝（c+b）（sinC﹣ sinB），则a+2b的最大值是 2
【解答】解：由（a﹣b）sinA＝（c+b）（sinC﹣sinB），
利用正弦定理可得：（a﹣b）a＝（c+b）（c﹣b），
化为：a
2
+ b
2
﹣c
2
＝ab＝2abcosC，可得cosC＝，C∈（0，π）．
∴C＝．
．
∵D是AB上的三等分点（靠近点A），
∴＝+，
两边平方可得：1＝b
2
+a
2
+abcosC．
整理可得：a
2
+4b
2
+2ab＝9．
∴（a+2b）
2
＝9+2ab≤9+
解得a+2b≤2．
．
，当且仅当a＝2b＝时取等号．
∴a+2b的最大值是2
【点评】本题考查了向量 共线定理、数量积运算性质、正弦定理余弦定理、基本不
等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．

三．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+2ccosA＝0．
（1）若b＝c＝1，求a和S
△
ABC
；
（2）求cosB的最小值．
【解答】解：（1）因为b＝c＝1，代入b+2c•cos A＝0，得cos A＝
所以A＝120°，C＝B＝30°（2分）
得，所以n＝．（4分）
．（6分）
＝0（10分）
，
S< br>△
ABC
＝acsinB＝
（2）把余弦定理代入b+2c•cosA＝0，得 b+2c•
解得b
2
＝，
cosB＝＝≥
时，cosB取最小值

．（12分） 当且仅当a
2
＝3c
2
，即
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，三角形的 面积以及基本不等式
的应用，是中档题．

18．数列{a
n
}中 ，a
1
＝，2a
n+1
a
n
+a
n+1
﹣ a
n
＝0．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求满 足a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
＜的n的最大值．
【解答】解：（1）∵2a
n+1
a
n
+a
n+1
﹣a
n
＝0．
∴
∴数列{
∴
，又，
}是以3为首项，2为公差的等差数列，
，∴；
＝
﹣
（2）由（1）知，
∴a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
，
∵a1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
＜，∴
1
a
n
，
＝＝
＜，

∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N
*
，
∴n的最大值为9．
【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的 前n项和，
考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，
会 根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．
19．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号 ，T型号）同时投放市场，手机
厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个 手机店中这
两款手机的销量（单位：部），得到如表
手机店
W型号手机销量
T型号手机销量
A
6
12
B
6
9
C
13
13
D
8
6
E
11
4
（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取
1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举 行促销活动，用表示其中W型号手机销量超
过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数 学期望；



20．菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面 ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2．
（Ⅰ）证明：直线FC∥平面EAB；
（Ⅱ）求二面角E﹣FC﹣A的正弦值；
（Ⅲ）线段BC上是否存在点M使得直线EB与平面 BDM所成角的正弦值为？

若存在，求；若不存在，说明理由．

【 解答】解：（Ⅰ）证明：取BC中点T，以D为原点，分别以
为轴，y轴，轴正方向的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（1，
F（0，0，1）．
＝（0，0，﹣2），＝（﹣1，，0），
，0），C（﹣1，，0），D（0，0，0）， E（2，0，2），
，，的方向
设＝（，y，）为平面EAB的法向量，
则，取y＝1，得＝（，1，0），
又＝（﹣1，，﹣1），得＝0，
又∵直线FC⊄平面EAB，∴直线FC∥平面EAB．
（Ⅱ）解：＝（﹣2，0，﹣1），＝（﹣1，，﹣1），＝（2，0，﹣1），
设＝（，y，）为平面EFC的法向量，
则，取＝﹣3，得＝（﹣3，），
设＝（，y，）为平面FCA的法向量，
则，得＝（1，，2），
∴cos＜＞＝＝，
∴二面角E﹣FC﹣A的正弦值为：
（Ⅲ）解：设＝＝（﹣3
＝．
），则M（2﹣

3
则＝（﹣1，﹣
），
，0），＝（2﹣3λ，，2﹣2λ），
设＝（，y，）为平面BDM的法向量，
则，取y＝﹣1，得＝
（），
由＝（﹣1，），得|cos＜＞|＝＝，
解得或（舍），∴．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求 法，考查满足线面角
的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．

21．在直角坐标系Oy中，抛物线
2< br>＝2y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N
两点．
（1）求的值；
，求四边形OMQN面积的最（2）若点P在线段MN（不含端点）上运动，
小值．
【解答】解：（1）由题知，设，代入到
2
＝2y中，
得
2
﹣2﹣1＝0设M（
1
，y
1
），N（
2
，y
2
），则
1
+
2
＝2，
12
＝﹣1，

所以所以．
（2）因为
离相等，
，所以P是线段OQ的中 点，从而点O与点Q到直线MN的距
所以四边形OMQN的面积等于2S
△
MON．
而＝
所以＝0时，四边形OMQN的面积最小，最小值为1．
【点评】本 题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线性质的应用，考查
转化思想以及计算能力，是中档题 ．
22．在平面直角坐标系Oy中，已知曲线C
1
的参数方程为（t为参数），以< br>O为极点，轴的非负半轴为极轴，曲线C
2
的极坐标方程为：ρ
2
（3 ﹣cos2θ）＝4．
（1）求曲线C
1
的普通方程和曲线C
2
的参数方程；
（ 2）若点M在曲线C
2
上运动，求点M到曲线C
1
距离的最小值及对应的点M 的坐
标．
【解答】解：（1）已知曲线C
1
的参数方程为（t为参数），转 换为直角
坐标方程为+y﹣3＝0．
曲线C
2
的极坐标方程为：ρ
2
（3﹣cos2θ）＝4，转换为直角坐标方程为
转换为参数方程为
（2）设点M（
点M到曲
（α为参数）．
），则
线C
1
的距离
，

＝
当sin（α+θ）＝1时，
解得M（）．
（）
．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，

点到直 线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，
主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础题型．