中国学信网-快乐暑假手抄报

2020年高考金榜冲刺卷（一）
数学（文）

（考试时间：
120
分钟

试卷满分：
150
分）

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选 择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后， 再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一 、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．

1．复数
2
（
i
为虚数单位）的共轭复数是（ ）
1i
B．
1i
C．
1i
D．
1i
A．
1i

【答案】C
【解析】因为
2
1i
,所以其共轭复数是
1i
，故选C.
1i
2．已知集合
P

xN|1x10

,
Q xR|xx60,
则
PQ
等于（ ）
2

A．

1,2,3


【答案】D
B．

2,3

C．

1,2

D．

2


【解析】
QxR|xx60

3,2

PQ< br>
2

.故选D.
2


3．设< br>p:ba0
，
q:
11

，则
p
是q
成立的( )
ab
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充要条件
【答案】A
【解析】若
ba0
，则
1111

成立，所以
p
是
q
的充分条件,若

，则当
0 b，a0
时成立，不满
abab
足
ba0
，所以
p< br>不是
q
的必要条件,所以
p
是
q
的充分不必要条件, 故选A.
4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】执行如图程序框图：当n= 1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,
故选C .
5．设数列

a
n

前
n
项和为S
n
，已知
S
n
3a
n
n
，则< br>a
3

（ ）
A．
9
8
B．
15

8
C．
19

8
D．
27

8
【答案】C
【解析】当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
3a
n
n

3a
n1
(n1)

，

整理得
2a
n
3a
n1
1
， 又
S
1
a
1
3a
1
1
，得
a
1

1519
1
，得
a
3

，故选C.
48
22
1
35
，
2a
2
3a
1
11
，得
a
2

，
24< br>2
2a
3
3a
2
1
22
6．圆xy40
与圆
xy4x4y120
的公共弦长为( )
A．
2

【答案】C
B．
3
C．
22
D．
32

【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所 在的直线方程为：
x-y+20
，圆
xy40
的圆心到公
共 弦的距离为
d=
22
0-0+2
2
=2
，所以公共弦长为< br>l=22
2
-

2

=2
2
2.故选C.
7．已知

为第二象限角，
sin








2
tan
，则 的值为（ ）


2
4

10
C．
2
D．
3
A．

1

2
B．
1

3
【答案】C
【解析】由题意可得：
sin








22
，
sin

coscos

sinsin

cos




4

44210
2sin

2
1
则：
sin

cos


，据此有：
5
cos

2
cos
2

2
 sin
2

2

1
,
5
2tan

2
tan
2

2
1

sin
2

2
cos
2

2
tan
2

2
1
1
，
5
解得：
tan
2
2
或
tan


1


，

为第二象限角，则
tan0
，综上可得：
tan
的值为2.故选C.
232
2
o
8．已知
e
1
，
e
2
是夹角为
60
的两个单位向量，若
ae
1< br>e
2
，
b4e
1
2e
2
，则
a
与
b
的夹角为（ ）
A．
30
B．
60
C．
120
D．
150

【答案】C
oooo

【解析】试题分析：因为
ae
1
e< br>2
，
b4e
1
2e
2
，所以
uruu ruruur
rruruururuurur
2
uruuruur
2
1
ab(e
1
e
2
)(4e
1
2e< br>2
)4e
1
2e
1
e
2
2e2
，而
e
1
e
2
e
1
e
2
cos60
0

，所以
2
rrur
2
u ruuruur
2
ruruurur
2
uruuruur
2
ab4e
1
2e
1
e
2
2e
2
4123
，而
ae
1
e
2
e
1
2e
1
e
2
e
2
1113
，
ruruurur
2
uruuruur
2
b4e
1
2e
2
16e
1
16e
1
e
2< br>4e
2
168423
，所以与
b
的夹角的余弦值为
r

ab31
cos


r


，所以
a
与
b
的夹角为
120
o
，故选C．
2
323
ab
9．已知函数
f

x

2cosxsinx2
，则（ ）
22
A．
f

x

的最小正周期为

，最大值为
3

B．
f

x

的最小正周期为

，最大值 为
4

C．
f

x

的最小正周期为2π
，最大值为
3

D．
f

x
< br>的最小正周期为
2π
，最大值为
4

【答案】B
【 解析】根据题意有
f

x

cos2x1
T
2



，且最大值为
f

x

max
2
1cos2x35
2cos2x
，所以函数
f< br>
x

的最小正周期为
222
35
4
，故选B.
22
F
分别是
G
1
G
2
，< br>G
2
G
3
的中点，现沿
SE
，
SF
，
EF
把这个正方10．如图所示的正方形
SG
1
G
2G
3
中，
E，
形折成一个四面体，使
G
1
，< br>G
2
，
G
3
重合为点
G
，则有（ ）

A．
SG
平面
EFG

C．
GF
平面
SEF

【答案】A
B．
EG
平面
SEF

D．
SG
平面
SEF

【解析】由题意：
SG FG
，
SGEG
，
FGIEGG
，
FG，EG
平面
EFG
,
所以
SG
平面
EFG
正确，< br>D
不正确；又若
EG
平面
SEF
，则
EG
EF
，由平面图形可知显然不成立；
同理
GF
平面
SEF
不正确；故选A.

22
ab4
11．已知
ABC< br>的内角
A
，
B
，，则
ABC
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
.若
c2
，
A BC
的面积为
4
面积的最大值为（ ）
A．
23

【答案】D
B．
31
C．
22
D．
21

【解析】∵
c2
，
S
ABCa
2
b
2
4a
2
b
2
c2
2abcosC1
absinC
.

42
4 4
∴
tanC=1?C

4
，由余弦定理得
c
2< br>4a
2
b
2
2abcosCa
2
b2
2ab2ab2ab
，
∴
ab
4
42 2
，∴
S
ABC

1
absinC
1
422
2
21
.故选D.
22
222
< br>12．若存在唯一的正整数
x
0
，使关于
x
的不等式
x
3
3x
2
ax5a0
成立，则实数
a
的取值范围是

( )
A．
(0,)

1
3
B．
(,]

15
34
C．
(,]

13
32
D．
(,]

53
42
【答案】B
32
【解析】设
f(x)x3x ax5a
，则存在唯一的正整数
x
0
，使得
f(x
0
)0
，
设
g(x)x3x5
，
h(x)a(x 1)
，因为
g

(x)3x6x
，
32
2
所以当
x(,0)
以及
(2,)
时，
g(x)< br>为增函数，当
x(0,2)
时，
g(x)
为减函数，
在< br>x0
处，
g(x)
取得极大值
5
，在
x2
处，
g(x)
取得极大值
1
.而
h(x)
恒过定点
(1,0)
，
两个函数图像如图，


g(1)h(1)

1352a

要使得存在唯一的正整数
x
0，使得
f(x
0
)0
，只要满足

g(2)h(2 )
，即

81253a
，解得

g(3)h(3)

272754a

15
a
，故选B. 34
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．

13．曲线
yxlnx
在
xe
处的切线 的斜率
k
．
【答案】2
【解析】因为
yxlnx
，所以
ylnx1
，所以它在
xe
处的切线的斜 率
klne12
.
'

14． 若函数
f(x)
【答案】
[2,)

asinx
π π
在区间
(,)
上单调递增，则实数
a
的取值范围是 ．
63
cosx
【解析】因为函数
f(x)
asinx
ππ
在区间
(,)
上单调递增，
63
cosx
所以f

(x)0
在区间
(,)
恒成立，
f
< br>(x)
ππ
63
cosxsinx(asinx)(sinx) asinx1


22
cosxcosx
1

s inx
，
因为
cos
2
x0
，所以
asinx 10
在区间
(,)
恒成立，所以
a
ππ
63
因 为
x(

13231
2
所以
a
的取值范 围是
[2,)
.

,)
，所以
sinx
2 23sinx
63
，
15．已知
a0,b0,c0
，若点P

a,b

在直线
xyc2
上，则
4 ab

的最小值为___________.
abc
【答案】
222

【解析】
QP
a,b

在
xyc2
上，
abc2
，< br>ab2c0
，

2cm
4ab42c42
1
，设

，则
mn2
，
cn
abc2cc2cc

4242mn

42

2n m2mm




332322
，
2ccmn2mn
mnmn

当
m
2
2 n
2
，即
c222
时，“=”成立，

42
 13221222
，
2cc
即
4ab

的最小值为
222
，故答案为
222
.
abc
16 ．如图，公路
MN
和
PQ
在
P
处交汇，且∠
QPN
＝30°，在
A
处有一所中学，
AP
＝160m，假设拖拉
机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路
MN
上沿
PN方向行驶时，学校受影响，
已知拖拉机的速度为18 kmh，那么学校受影响的时间为________s.

【答案】24
【解析】学校受到噪音影响。理由如下：作AH⊥MN于H，如图，

∵PA=160m,∠QPN=30∘，∴AH=
1
PA=80m，
2
而80m<100m，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，
以点A为圆心，100m为半径作A交MN于B. C，如图，∵AH⊥BC，
∴BH=CH ，在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，
BHAB
2
AH
2
60m
，∴BC=2BH=120m，
∵拖拉机的速度=18kmh=5ms ，∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒)，
∴学校受影响的时间为24秒。
三、解答题：本题共
6
小题，共
7 0
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(12分）设
{a
n
}
是等比数列 ，其前
n
项的和为
S
n
，且
a
2
2
,
S
2
3a
1
0
.
（1）求
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
Sn
a
n
48
，求
n
的最小值.
【解析】 （1）设

a
n

的公比为q，因为
S
2
3a
1
0
，所以
a
2
2a
1
0< br>，所以
q
a
2
2
，
a
1
n 1n1
又
a
2
2
，所以
a
1
1，所以
a
n
a
1
q2
.

（2）因为
S
n

a
1
1q
n
1q< br>n1

2
n
nn1n1
1
，所以
S
n
a
n
212321
，由
32
n1
148
，得
32
n1
49
，即
2
49
，解得
n6
，所以n的最小值为6.
3
18． (12分）如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，已知
AB侧面BB
1
C
1
C
，
ABBC 1
，
BB
1
2
，
BCC
1


3
.
（1）求证：
C
1
B平面ABC
； < br>（2）求点
B
1
到平面
ACC
1
A
1
的距离.


【解析】（1）因为侧面
AB
BB
1< br>C
1
C
,
BC
1

侧面
BB
1
C
1
C
，故
ABBC
1
,
在
△BCC
1
中,
BC1,CC
1
BB1
2,BCC
1


3
，
由余弦定理得：
，
所以
BC
1
=3
故
BC
2
 BC
1
2
CC
1
2
,所以
BCBC
1
, 而
BCIABB,BC
1
平面ABC

.
（2）点
B
1
转化为点
B
，
V
C
1
ABC

37
，
S
ACC
1
, 又
V
C
1
ABC
V
B
1
ACC
1
所以点
B
1
到平面
ACC
1< br>A
1
的
,
62

距离为
21
.
7
19．(12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、 广东肇庆、佛山终至广州
南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广
东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：
车站

怀集站

广宁站

肇庆东站

三水南站

佛山西站

广州南站

满意度得分

70

76

72

70

72

x

已知6个站的平均得分为75分.
（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；
（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．
【解析】（1）由题意，得
1
(7076727072x)75
，解得
x90
.
6
s
11
22222
[( x
1
x)
2
(x
2
x)
2
L( x
6
x)
2
](5135315
2
)7< br>.
66
（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀 集站，肇庆东站），（怀集
站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站 ，三水南站），（广宁站，
佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南 站，佛山西站）共10种，
这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站.
设A表示随机事件“从前 5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的
基本事件有4种，则
P(A)
42

.
105
20．(12分）已知抛物 线
y2x
，过点
P(1,1)
分别作斜率为
k
1
，
k
2
的抛物线的动弦
AB
、
CD
，设
M
、
N
2

分别为线段
AB
、
CD的中点．
（1）若
P
为线段
AB
的中点，求直线
AB
的方程；
（2）若
k
1
k
2
1
，求 证直线
MN
恒过定点，并求出定点坐标．
2
【解析】（1）设
A< br>
x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

，则
y
1
2
2x< br>1
①，
y
2
2x
2
②．
①－②，得 < br>
y
1
y
2

y
1
y
2

2

x
1
x
2

． 又因为
P

1,1

是线段
AB
的中点，所以y
1
y
2
2

所以，
k
1

y
2
y
1
2
=1
．又直线
AB< br>过
P

1,1

，所以直线
AB
的方程为< br>yx
.
x
2
x
1
y
2
y< br>1
（2）依题设
M

x
M
,y
M

，直线
AB
的方程为
y1k
1

x1

，即
yk
1
x1k
1
，
亦即
yk
1
xk
2
，代入抛物线方程并化简得 k
1
x

2k
1
k
2
2

xk
2
0
．
222
所以，
x
1< br>x
2

1k
1
k
2
2k
1< br>k
2
222k
1
k
2
1k
1
k
2
ykxkkk
2

1
．
x
,于是，，
MM1M21
2222
k
1
k
1
k
1
k
1
k
1
同理，
x
N

1k
1
k
2
y
M
y
N
kk
1
y
k
21
．
kk0
，< br>N
k
．易知
12
，所以直线
MN
的斜率
2< br>x
M
x
N
1k
2
k
1
k
2
2
故直线
MN
的方程为
y
kk

1 k
1
k
2

1
k
2
k
1
yx1
．此时直线过定点

0,1

．

21

x
，即

1k
2
k
1
k
1
1k
2
k
1

k
1
2
故直线
MN
恒过定点

0,1

．
x2
21．(12分）已知
f

x



ax1

ex
.
（1）当
a1
时，讨论函数f

x

的零点个数，并说明理由；
2
（2）若x0
是
f

x

的极值点，证明
f

x

ln

ax1

xx1
.
【解析】（1）当
a1
时，
f

x



x1

ex
，
f

2

4
x2
3
0
，
f

0

10
，
f

1

10
， < br>2
e

f


x

xex
20x0
，
f


x

 0x0
，∴
f

x

在

,0< br>
上递减，在

0,

上递增，∴

f

x

恒有两个零点.
（2）∵
f


x

e
x

ax1a

2x< br>，∵
x0
是
f

x

的极值点，∴
f


0

a10a1
；∴
f

x



x1

e
x
x
2
,故要证：

x1

e
x
ln
x1

x1
，令
x1t
，即证
t e
t1
lntt2
，
设
h

x

exelnxx2

x0

，即证
h

x

0
，
x
h


x< br>
ee
x

x1


11

11

1e

x1


e
x


，令
u

x

e
x
，
u


x

e
x
< br>2
0
，
xex

exex

2
1
0
，
ue
2
e
e
e0
,
e
∴
u

x

在

0,
上递增，又
u

1

e

x
故
u

x

0
有唯一的根
x
0


0,1

，
e
0
1
， < br>ex
0
当
0xx
0
时，
u

x

0h


x

0
，当
x x
0
时，
u

x

0h


x

0
，
x
0
∴
h
x

h

x
0

ex
0
elnx
0
x
0
2ex
0

1
lne
x
0
1
x
0
2

1x
0
1x
0
20
.
ex
0
综上得证.
(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任 选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【极坐标与参数方程】（10分）
x
2
y
2
设
A
为椭圆
C
1
：
以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2
1
上任意一点，
424
的极坐标方程为

10
cos

240
，
B
为
C
2< br>上任意一点.
2
（1）写出
C
1
参数方程和
C2
普通方程；

（2）求
AB
最大值和最小值.


x2cos

,
【解析】（1）由题意可得
C1
的参数方程为：

（

为参数），

< br>y26sin

,
又∵

10

cos

240
，且

xy
，
x
< br>cos

，∴
C
2
的普通方程为
xy10x2 40
，
222222
即

x5

y
2
1
.
（2）由（1）得，设
A2cos

,26si n

，圆
C
2
的圆心
M

5,0

，
2

则
|AM|

2cos

5

2
26sin


2
1

20cos
2

20cos

49
20

cos



54
，
2< br>
2
∵
cos



1,1

，∴当
cos


1
时，
|AM|
ma x
36
；
2
1
时，
|AB|
max
 |AM|
max
1361
；
2
当
cos

1
时，
|AM|
min
3
.当
cos


当
cos

1
时，
|AB|
mi n
|AM|
min
12
.
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数
f(x)x2a，
g(x)x4
，
aR
.
（1）解不等式
f(x)g(x)a
；
（2）任意
xR，
f(x)g(x)a
恒成立，求
a
的取值范围.
2【解析】（1）不等式
f

x

g

x
a
即
x2x4
，两边平方得
x
2
 4x4x
2
8x16
，解得
x1
，所以原不等式的解集 为

1,

.
（2）不等式
f

x

g

x

a
可化为
aax 2x4
，
22
又
x2x4

x2



x4

6
，所以
a
2
a6
，解得
2a3
，

所以
a
的 取值范围为

2,3

.