食品安全征文-做人的名言

2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷文科数学
一、选择题：本大 题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求
的。

1
、已知集合
A={x| x<2}
，
B={x|3–2x>0}
，则
( )
33
A．A∩B={x|x<
2
} B．A∩B=Φ C．A∪B={x|x<
2
} D．A∪B=R
2
、为评估一种农作 物的种植效果，选了
n
块地作试验田。这
n
块地的亩产量
(
单位：
kg)
分别为
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，
下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定 程度的是
( )
A
．
x
1
，
x
2< br>，
…
，
x
n
的平均数
B
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的标准差

C
．
x
1
，
x
2
，< br>…
，
x
n
的最大值
D
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的中位数< br>
3
、下列各式的运算结果为纯虚数的是
( )
A
．
i(1+i)
2
B
．
i
2
(1–i) C
．
(1+i)
2
D
．
i(1+i)
4< br>、如下左
1
图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图。正方 形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑 色部分的概率是
( )
1π1π
A．
4
B．
8
C．
2
D．
4


5、已知F是双曲线C：x
2
–
y
2
3
=1的右焦 点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)。则△APF的面
积为( )
1123
A．
3
B．
2
C．
3
D．
2

6
、如上左
2–5
图 ，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个
正方体中，直接
AB< br>与平面
MNQ
不平行的是
( )


x +3y≤3
7、设x，y满足约束条件

x–y≥1
，则z=x+y的最大值 为( )

y≥0
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
sin2x
8、函数y=
1–cosx
的部分图像大致为( )

9
、已知函数
f(x)=lnx+ln(2–x)
，则
( )
A
．
f(x)
在
(0,2)
单调递增

C
．
y=f(x)
的图像关于直线
x=1
对称

B
．
f(x)
在
(0,2)
单调递减

D
．
y=f(x)
的图像关于点
(1,0)
对称

和两个空白框中，可以分别填入
( )

10
、如图是为了求 出满足
3
n
–2
n
>1000
的最小偶数
n
，那么在

A
．
A>1000
和
n=n+1 B
．
A>1000
和
n=n+2 C
．
A≤1000
和
n=n+1 D
．
A≤1000
和
n=n+2
11
、
△ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
。已知
sinB+sinA(sinC–cosC)=0
，
a=2
，
c=2
，则
C=( )
ππππ
A．
12
B．
6
C．
4
D．
3

x
2
y
2
1 2、设A、B是椭圆C：
3
+
m
=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠ AMB=120°，则m的取值范围是( )
A
．
(0,1]∪[9,+∞) B
．
(0,3]∪[9,+∞) C
．
(0,1]∪[4,+∞) D
．
(0,3]∪[4,+∞) 二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。

13
、已知向量
a=(–1,2)
，
b=(m,1)。若向量
a+b
与
a
垂直，则
m=_____________ _
。

1
14、曲线y=x
2
+
x
在点( 1,2)处的切线方程为_________________________。
ππ
15、已知α∈(0,
2
)，tan α=2，则cos(α–
4
)=__________。
16
、
S C
是球
O
的直径。
SA=AC
，
SB=BC
，已知 三棱锥
S–ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，若平面
SCA⊥< br>平面
SCB
，
三棱锥
S–ABC
的体积为
9
，则球
O
的表面积为
________
。


三、 解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第
22
、
23
题为选考题 ，考生根据要求作答。

(
一
)
必考题：
60
分。

17
、
(12
分
)
记
S
n
为等比数列
{an
}
的前
n
项和，已知
S
2
=2
，< br>S
3
=–6
。

(1)
求
{a
n
}
的通项公式；

(2)
求
S
n
，并判断
S
n+1
，
S
n
，
S
n+2
是否成等差数列。


18
、
(12
分
)
如图，在四棱锥
P–ABCD
中，
AB CD
，且
∠BAP=∠CDP=90°
。

(1)
证明：平面
PAB⊥
平面
PAD
；

8
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P–ABCD的体积为
3
，求该四棱锥的侧面积。


19
、
(12
分< br>)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔
30 min
从该生 产线上随机抽取一个零件，
并测量其尺寸
(
单位：
cm)
．下面是检 验员在一天内依次抽取的
16
个零件的尺寸：

1 2 3 4 5 6 7 8
抽取次序

零件尺寸
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
9 10 11 12 13 14 15 16
抽取次序

零件尺寸
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

1
16
1
16
1
16
2 2
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
( x
i
x)(

x
i
16x
2
)0 .212
，


16
i1
16
i1
1 6
i1

(i8.5)
i1
16
2
18. 439
，

(xx)(i8.5)2.78
，其中
x
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i=1,2,...,16
．
i
16
i
i1
(1)
求
(x
i
,i )(i=1,2,...,16)
的相关系数
r
，并回答是否可以认为这一天生产的零 件尺寸不随生产过程的进行而系统地变
大或变小
(
若
|r|<0.25
，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
)
．

( 2)
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(x–3s,x+3s)
之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

②
在
(x–3s,x+3s)
之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的 零件尺寸的均值与标准
差
(
精确到
0.01)
．

附：样本
(x
i
,y
i
)(i=1,2,...n)
的相 关系数
r

(xx)(yy)
ii
i1
n

(xx)

(yy)
2
ii
i1i1
n n
，
0.008≈0.09
．

2
x
2
2 0、(12分)设A，B为曲线C：y=
4
上两点，A与B的横坐标之和为4。
(1)
求直线
AB
的斜率；

(2)
设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M
处的切线与直线
AB
平行，且
AM⊥BM
，求直线
AB
的方程。


21
、
(12
分
)
已知函数
f(x)=e
x
(e
x
–a)–a
2
x
．

(1)
讨论
f(x)
的单调性；

(2)
若
f(x)≥0
，求
a
的取值范围．


(
二
)
选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。


x=3cosθ
22、[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为

y=sinθ
(θ为参数)，直线

< br>x=a+4t
l的参数方程为

y=1–t
(t为参数)。

(1)
若
a=−1
，求
C
与
l
的交点坐 标；

(2)
若
C
上的点到
l
的距离的最大值为< br>17
，求
a
。



23
、
[
选修
4—5
：不等式选讲
](10
分
)
已知函 数
f(x)=–x
2
+ax+4
，
g(x)=|x+1|+|x–1 |
。

(1)
当
a=1
时，求不等式
f(x)≥g (x)
的解集；

(2)
若不等式
f(x)≥g(x)
的解 集包含
[–1,1]
，求
a
的取值范围。



参考答案
一、选择题：
A、B、C、D、A A、D、C、C、D B、A
二、填空题：
13、7；
14、y=x+1；
310
15、
10
；
16、36π；
三、解答题：

a
1
(1+q)=2
17、解：(1)设{a
n
}的公比为q，由题设可得

a(1+q+q
2
)=–6
，解得q= –2，a
1
=–2。故{a
n
}的通项公式为a
n
=(–2 )
n
。

2
nn+1
a
1
(1–q)2 2
(2)由(1)可得S
n
=
1–q
=–
3
+(– 1)
n
3
。

42
n+3
–2
n+2
22
n+ 1
nn
由于S
n+2
+S
n+1
=–
3
+ (–1)=2[–
3
+(–1)
3
]=2S
n
。故S
n+1
，S
n
，S
n+2
成等差数列。
3
< br>18、解：(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故 AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD。
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。
(2)在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E。由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥ 平面ABCD。
211
设AB=x，则由已知可得AD=2x，PE=
2
x 。故四棱锥P–ABCD的体V
P–ABCD
=
3
AB·AD·PE=
3
x
3
。
18
由题设得
3
x
3
=
3
，故x=2。从而PA=PD=2，AD=BC=22，PB=PC=22。
1111
可得四棱锥P–ABCD的侧面积为
2
PA·PD+
2
PA ·AB+
2
PD·DC+
2
BC
2
sin60°=6+23 。

19、解：(1)由样本数据得(x
i
,i)(i=1,2,..., 16)的相关系数为

r

(xx)(i8.5)
i
i1
16

(xx)

(i8.5)
2
i
i1i1
1616

2
2.78
0.18

0.2121618.439
由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。
(2)①由于x=9.97，s≈0.212，由样本 数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x–3s,x+3s)以外，因此需对当
天的生产过程进行 检查。
1
②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
15
(16 ×9.97–9.92)=10.02。
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02 ，

x
i1
16
2
i
160.212
2
169.97
2
1591.134
，
1
剔除第 13个数据，剩下数据的样本方差为
15
(1591.134–9.22
2
– 15×10.02
2
)≈0.008。
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09。

x< br>1
2
x
2
2
20、解：(1)设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
,y
2
)，则x
1
≠x
2
，y
1
=
4
，y
2
=
4
，x
1
+x
2
=4，
y
1
–y
2x
1
+x
2
于是直线AB的斜率k=
x–x
=
4
=1。
12
2
xxx
3
(2)由y=
4
，得y'=
2
，设M(x
3
,y
3
)，由题设知
2
=1，解得x
3
=2，于是M(2,1)。
x
2
设直 线AB的方程为y=x+m代入y=
4
得x
2
–4x–4m=0。
当△=16(m+1)>0，即m>–1时，x=2±2m+1，从而|AB|=2|x
1
–x
2
|=42(m+1)。
由题设知|AB|=2|MN|，即42(m+1)=2(m+1)，解得m=7。
所以直线AB的方程为y=x+7。
21、解：(1)函数f(x)的定义域为(–∞,+∞ )，f'(x)=2e
2x
–ae
x
–a
2
=(2e
x
+a)(e
x
–a)。
①若a=0，则f(x)=e
2x
，在(–∞,+∞)单调递增。
②若a> 0，则由f'(x)=0得x=lna。当x∈(–∞,lna)时，f'(x)<0；当x∈(lna,+∞) 时，f'(x)>0；
故f(x)在(–∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增。 < br>aaa
③若a<0，则由f'(x)=0得x=ln(–
2
)。当x∈(–∞, ln(–
2
))时，f'(x)<0；当x∈(ln(–
2
),+∞)时，f '(x)>0；

aa
故f(x)在(–∞,ln(–
2
))单调递 减，在(ln(–
2
),+∞)单调递增。
(2)①若a=0，则f(x)=e
2x
，所以f(x)≥0。
②若a>0 ，则由(1)得，当x=lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)=–a
2
ln a，
从而当且仅当–a
2
lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0。
aa 3a
③若a<0，则由(1)得，当x=ln(–
2
)时，f(x)取得最小值，最小 值为f(ln(–
2
))=a
2
[
4
–ln(–
2
)]，
3a
从而当且仅当a
2
[
4
–ln(–< br>2
)]≥0，即a≥–2e
34
时，f(x)≥0。
综上，a的取值范围是[–2e
34
,1]。

x
22
22、解：(1)曲线C的普通方程为
9
+y=1，当a=–1时，直线l的普 通方程为x+4y–3=0。
21
x+4y–3=0
x=–

< br>2
25

x=32124
x


由，解得： 或，从而C与l的交点坐标为(3,0)，(–
2
=1
24
25
,< br>25
)。

y=0
+y

9

y =
25
|3cosθ+4sinθ–a–4|
(2)直线l的普通方程为x+4y–a –4=0，故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=。
17
a+9a+9
当a≥–4时，d的最大值为，由题设得=17，所以a=8； < br>1717
–a+1–a+1
当a<–4时，d的最大值为，由题设得=17，所以a=– 16；
1717
综上a=8或a=–16。
23、解：(1)当a=1时，不等式 f(x)≥g(x)等价于x
2
–x+|x+1|+|x–1|–4≤0①
当x<–1时，①式化为x
2
–3x–4≤0，无解；
当–1≤x≤1时，①式化为x
2
–x–2≤0，从而–1≤x≤1；
–1 +17
当x>1时，①式化为x
2
+x–4≤0，从而12
。
–1+17
所以f(x)≥g(x)的解集为{x|–1≤x≤
2
}。 (2)当x∈[–1,1]时，g(x)=2。所以f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，等价于当 x∈[–1,1]时f(x)≥2。
又f(x)在[–1,1]的最小值必为f(–1)与f(1)之 一，所以f(–1)≥2且f(1)≥2，得–1≤a≤1。
所以a的取值范围为[–1,1]。


