北京世贤研修学院-剑桥大学图片

绝密★启用前
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题解析
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页，满分150分，考试时间120分钟.
考试结束后，
考试注意：
1．答 题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答
题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是
否一致.
2.第I卷每 小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书
写作答.若在试题卷上作答，答 案无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：
样本 数据（
x
1
,y
1
），（
x
2
,y
2
），...，（
x
n
,y
n
）的线性相关系数
r

(xx)(yy)
ii
i1
n

( xx)

(yy)
2
ii
i1i1
nn
其中
2

x
x
1
x
2
...x
n

n
yy
2
...y
n

y
1
n
锥体的体积公式
1
VSh

3
其中
S
为底面积，
h
为高

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.

12i
（1） 若
z
,则复数
z
= ( )
i
A.
2i
B.
2i
C.
2i
D.
2i

12ii2i
2
i2

2
2i
答案：C 解析：
z
ii1
（2） 若集合
A{x|12x 13},B{x|
x2
0}
,则
AB
= ( )
x
1

A.
{x|1x0}
B.
{x|0x1}
C.
{x|0x2}
D.
{x|0x1}

答案：B 解析：
A

x1x1

,B

x0x2

,AB< br>
x0x1


（3） 若
f(x)
1
log
(2x1)
1
2
,则
f(x)
的定义域为 ( )
A. (

111
,0) B. (

,0] C. (

,

) D. (0,

)
222
log
1

2x1

0,02x11
2
答案： A 解析：

1

x

,0


2

2x

（4） 若
f(x)x2x4ln
,则
f'(x)0
的解集为 ( )
A. (0,

) B. (-1,0)

(2,

)
C. (2,

) D. (-1,0)
4x
2
x2
f'

x

2x20,0,
答案：C 解析：
xx

x0,< br>
x2

x1

0,x2
（5） 已知 数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满 足:
S
n
S
m
S
nm
,且
a
1
1
,那么
a
10

( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

S
2
a
1
a
2
2S
1
,a
2
1
答案：A 解析：

S3
S
1
S
2
3,a
3
1

S
4
S
1
S
3
4,a
4
1

a
10
1

（6） 变量X与Y相对应的一组数据 为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对< br>应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1) .
r
1
表示变量Y与X之间的线性相关
系数,
r
2
表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( )
A.
r
2
r
1
0
B.
0r
2
r
1
C.
r
2
0r
1
D.
r
2
r
1

答案：C 解析：
r


xx

y
i
i1
n
2
n
i
i1
n
i
y
i

第一组变量正相关，第二组变量负相关。
2


xx



yy

i1
567

2011
（7） 观察下列各式:
53125,515625,578125, ...,
则
5
的末四位数字为 ( )
2

A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125
答案：D 解析：

f

x

 5
x
,f

4

625,f

5

3125,f

6

15625,f

7

78125,f

8

390625
201 1420081,f

2011

***8125

（8） 已知

1
,

2
,

3
是三个相互平行的平面,平面

1
,

2
之间的距 离为
d
1
,平面

2
,

3
之间
“P
“d
1
d
2
”
的 的距离为
d2
.直线
l
与

1
,

2
,

3
分别交于
P
是
1
,P
2
,P
3
.那么
1
P
2
P
2
P
3”
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案：C
解析：平面

1,

2
,

3
平行，由图可以得知：
如果平 面距离相等，根据两个三角形全等可知
P
1
P
2
P
2P
3

如果
P
1
P
2
P
2
P
3
，同样是根据两个三角形全等可知
d
1
d
2














（9） 若曲线
C
1
：xy 2x0
与曲线
C
2
：y(ymxm)0
有四个不同的交点, 则实
数
m
的取值范围是 ( )
A.
(
22
3333
,)
B.
(,0)(0,)

3333
3333
,]
D.
(,)(,)

3333
C.
[

答案：B 曲线
xy2x0
表示以

1,0

为圆心，以1为半径的圆，曲线
y

ymxm

0
22
3

表示
y0,或ymxm 0
过定点

1,0

，
y0
与圆有两个交点， 故
ymxm0
也应
该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的 时候，经计算可得，两种相切
分别对应
m

33
3

3




0,


和m,0
，由图可知，m的取值范围应是



33

3

3









10.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )





答案：A 解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个
点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，
而N点的轨 迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。
第II卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11. 已知
ab2< br>，
a2bab2
，则
a
与
b
的夹角为 .


答案：
60
（） 解析：根据已知条件
( a2b)(ab)2
，去括号得：
3
。

4 < /p>


2
1
aab2b422cos
242
，
cos,

60
。
2

2
（PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我 们寒假班的时候也讲过一道
类似的，在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题！）

12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
此点到圆心的距离大于
11
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球 ；
24
22
否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .

1

1

π

π-
 
π
13
看电影打篮球13

4

2

答案： 解析：方法一：不在家看书的概率=


16
所有 情况π16

1

1

π

-π


2

4


13
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—
π16
（PS: 通过生活实例与数学 联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五题
已经做过类似题型，那么作为理科 生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该作对，
不解释。）
13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.
2
2

10. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2;
s=0+1+2=3, n=3;
S=3+(-1)+3=5, n=4;
S=5+1+4=10,此时s>9,输出。
（PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版， 同时在我们寒假题海班，理科讲义的第200
页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是 灰常熟悉的。并且框图本来就是
你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。）

x
2
y
2
1
22
14.若椭圆
2

21
的焦点在x轴上，过点
(1,)
作圆
xy1
的切线，切 点分别为A，B，
ab
2
直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
x
2
y
2
1
1
1
解析：设过点 答案：

（1，）的直线方程为：当斜率存在时，
yk(x1)
， < br>54
2
2
根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到 k=

3
,直线与圆方程的联
4
5

立可 以得到切点的坐标（
,
（
,
34
），当斜率不存在时，直线方程为： x=1，根据两点A：（1,0），B：
55
34
）可以得到直线：2x+y-2=0 ,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0）
b2
，与x轴
55
222< br>x
2
y
2
1
的交点即为焦点
c1
， 根据公式
abc5,a5
，即椭圆方程为：

54
（PS :此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不
是就做不出来呢 ，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科
教材第147页第23题。所 以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？）


三.选做题：请考生在下 列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共
5分.
15（1）. （坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为

2sin

4co s

，以极点为
原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 .
答案：
xy4x2y0
。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住 两点：1、
22
x

cos

,y

sin

，2、

2
x
2
y
2< br>即可。根据已知

2sin

4cos

=2
所以解析式为：
y

4
x

,化简可得 ：

2
2y4xx
2
y
2
,

x
2
y
2
4x2y0

15 (2).( 不等式选择题）对于实数x，y，若
x11
，
y21
，则
x 2y1
的最大值
为 .
（2）此题，看似很难，但其实 不难，首先解出x的范围，再解出y的范围，
1y3
，
0x2
，最后综合解出x-2y+1的范围

5,1

，那么绝对值最大，就去 5
（PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的< br>还是基础+基础！）

四.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资 级别.公司准备了两种不同的
饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料 ，公司要求此员
工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元 ；若4
杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的 杯
数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望.
6

解答：（1）选对A饮料的杯 数分别为
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
1322
04
C
4
C
4< br>16
C
4
C
4
36
C
4
C
4
1
其概率分布分别为：
P

0


， ，，

P1P2
C
8
4
70C
8
4
70C
8
4
70
31
04
C
4
C
4
16C
4
C
4
1
，。

P

3


P4
4
4
C< br>8
70
C
8
70
（2）






116

36161

3 5002800



21002280
。
7070707070

17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，已知
sinCcosC1 sin
（1）求
sinC
的值；
（2）若
ab4(ab)8
，求边
c
的值.
解：（1）已知
sinCcosC1sin

2sin
22
C
.
2
C

2
CCCCCCC
coscos
2
sin
2
cos
2< br>sin
2
sin

2222222
CCCCC

CC

cos2sin
2
sin0sin

2cos2sin1

0

22222

22
整理即有：
2sin
又C为
ABC
中的角，
si n
C
0

2
2
CC1C

1CCCC1

C
sincos

sincos

 2sincoscos
2
sin
2

22222

422224

2sin
CC33
cossinC

2244
22
（2）
ab4

ab
8

a
2
b
2
4a4b440
a2



b2

0a2,b 2

22
又
cosC1sinC

18.（本小题满分12分）
2
7
，
ca
2
b
2
2abcosC71

4
已知两个等比数列

a
n

，

b
n

，满足a
1
a(a0),b
1
a
1
1,b
2
a
2
2,b
3
a
3
3
.
（1）若
a
=1，求数列

a
n

的通项公式；
7

（2）若数列

a
n

唯一 ，求
a
的值.
,b
n

为等比数列，不.解：（1）当a =1时，
b
1
1a2,b
2
2a
2
,b
3
3a
3
，又


a
n

妨设

a
n

公比为
q
1
，由等 比数列性质知：
b
2
b
1
b
3
(2a2
)
2
2

3a
3

，同时又有
2
a
2
a
1
q
1
,a
3
a
1
q
1


2a
1
q
1

23a
1
q
1


2q
1

23q
1
q
1
22
22222
所以：
a
n
2

2

n 1
,n1

（2）

a
n

要唯一，

当公比
q
1
0
时，由
b
1
 1a2,b
2
2a
2
,b
3
3a
3< br>且
222
2
b
2
b
1
b
3


2aq
1



1a

3aq
1
aq
1
4aq
1
3a10
，
2
a0
，
aq
1
4aq
1
3a10
最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）



4a

4a

3a1

04a

a1

0
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
2

当公比
q
1
0
时，等比数列

a
n

首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由

2aq
1
2


1a


3aq
12

aq
1
2
4aq
1
3a10< br>，可推得
3a10,a
1
符合
3
综上：
a
1
。
3


19.（本小题满分12分）
1
3
1
2
xx2ax.

32
2（1）若
f(x)
在
(,)
上存在单调递增区间，求
a的取值范围；
3
16
（2）当
0a2
时，
f(x )
在

1,4

上的最小值为

，求
f( x)
在该区间上的最大值.
3
设
f(x)
解：（1）已知< br>f

x


1
3
1
2

2

xx2ax
，
f
'

x

x
2
x2a
，函数
f

x

在

,

32

3

2

,

上存在函数值大于零的部分，

3

上存在单调递增区间，即导函数在

1

2

2

2
f



2a0a

9

3

3

3
'
2
（2）已知0f

x

在

1,4

上取到最小值

16
3
，而
f

x

xx2a
的图像开口向
'2
8