2020高考数学(文数)考点测试刷题本24 正弦定理和余弦定理(含答案解析)
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2020高考数学(文数)考点测试刷题本24
正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.在△ABC中，若sinA＋sinB
222
34
2.已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，则△ABC的面积为( )
55
A．6 B．12 C．5
D．10
sin2A
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a
，b，c，且满足a∶b∶c=6∶4∶3，则=( )
sinB＋sinC
1112117
A．－ B．
C．－ D．－
1472412
4.在△ABC中，“sinA
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C5
5.在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=(
)
25
A．42 B．30 C．29
D．25
a＋b－c
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c．若△ABC的面积为，则C=( )
4
ππππ
A．
B． C． D．
2346
222
7.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bco
sC=c(1－3cosB)，则sinC∶
sinA=( )
A．2∶3
B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2
8
.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a＋c－b)tanB=3ac，则角B的值为(
)
πππ2ππ5π
A． B． C．或
D．或
363366
222
二、填空题
9.在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C=60°，a=4
b，c=13，则△ABC的面积
为________．
10.△AB
C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b＋c－
a=8，
则△ABC的面积为________．
222
11
.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=7，b=2，A=60°，则sinB=__
______，
c=________．
12.设△ABC的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，a=4，若△ABC的面积为
43，则
b＋c=________．
三、解答题
13.△ABC的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)=c．
(1)求C；
33
(2)若c=7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
2
a
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
3sinA
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
2
1 5.已知向量m=(cosA，－sinA)，n=(cosB，sinB)，m·n=cos2C，其中A，B ，C为△ABC的内角．
(1) 求角C的大小；
→→
(2) 若AB=6，且CA·CB=18，求AC，BC的长．
16.在锐角三角形ABC中，
角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=c(a－c)＋b．
(1)求角B的大小；
(2)设m=2a－c，若b=3，求m的取值范围．
22
答案解析
1.答案为：C；
解析：
a＋b－c
由正弦定理得a＋b
222
222
2.答案为：A；
解析：
3443BCAC
因为cosA=，cosB=，所以sinA=，sinB
=，则由正弦定理得=，
5555sinAsinB
BC·sinB
222
所以AC==3，则由余弦定理得AC=AB＋BC－2AB·BCcosB，
sinA
4<
br>222
即3=AB＋4－8×AB，解得AB=5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角
三角形，
5
1
所以其面积为×3×4=6，故选A．
2
3.答案为：A；
解析：
b＋c－a11
不妨设a=6，b=4，c=3，由余弦定理可得cosA==－，
2bc24
11
12×－
24
sin2A2sinAcosA2acosA1
1
则====－，故选A．
sinB＋sinCsinB＋sinCb＋c4＋314
222
4.答案为：C；
解析：
根据正弦定理，“sinA
5.答案为：A；
解析：
5
2
3
2
C
因为cosC=2cos－1=2×－1=－，
255
3
222
所以AB=BC＋AC－2BC×ACcosC=1＋25－
2×1×5×－=32，∴AB=42．故选A．
5
6.答案为：C；
解析：
1a＋b－c
222
由题可知S
△ABC
=abs
inC=，所以a＋b－c=2absinC．
24
由余弦定理得a＋b－c=2abcos
C，所以sinC=cosC．∵C∈(0，π)，∴C=
222
222
π
，故选C．
4
7.答案为：C；
解析：
由正弦定理得3sinBcosC=sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)=sinC，
因为A＋B＋C=π，所以B＋C=π－A，所以3sinA=sinC，
所以sinC∶sinA=3∶1，故选C．
8.答案为：C；
解析：
由余弦定理，知a＋c－b=2accosB，所以由(a＋c－b)tanB=3ac
可得2accosB·
sinB3π2π
=3ac，所以sinB=，所以B=或，故选C．
cosB233
222222
一、填空题
9.答案为：3；
解析：
1
2222222
根据余弦定理，有a
＋b－2abcosC=c，即16b＋b－8b×=13，所以b=1，解得b=1，
2
1
13
所以a=4，所以S
△ABC
=absinC=×4×1×=3．
222
10.答案为：
23
；
3
解析：
1
根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·s
inB=4sinAsinBsinC，即sinA=，
2
结合余弦定理可得2bccosA
=8，所以A为锐角，且cosA=
1183123
所以△ABC的面积为S=bcsinA=
××=．
22323
383
，从而求得bc=，
23
11.答案为：
解析：
abb21
2222
由=得sinB=si
nA=，由a=b＋c－2bccosA，得c－2c－3=0，解得c=3．
sinAsinBa7
21
，3；
7
12.答案为：8；
解析：
babaaa
=，再由正弦定理=，所以=，
sinB
3cosA
sinBsinAsinA
3cosA
π
即tanA=3，又A为△ABC的内角，所以A=．
3
由asinB=3bcosA得<
br>113
由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=43，得bc=16．
222
再由余弦定理a
2
=b
2
＋c
2
－
2bccosA，得b
2
＋c
2
=32，
所以b＋c=b＋c
2
=b
2
＋c
2
＋2bc=32＋2×16=8．
二、解答题
13.解：
(1)由已知及正弦定理得，
2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)=sinC，
2cosCsin(A＋B)=sinC．
故2sinCcosC=sinC．因sinC≠0，
可得cosC=
1
2
，因为C∈(0，π)，所以C=
π
3
．
(2)由已知，得
133
2
absinC=
2
．
又C=
π
3
，所以ab=6．
由已知及余弦定理，得a
2
＋b
2
－2abcosC=7．
故a
2
＋b
2
=13，从而(a＋b)
2
=25，a＋b
=5．
所以△ABC的周长为5＋7．
14.解：
2(1)由题设得
1a1a
2
acsinB=
3sinA
，即2
csinB=
3sinA
．
由正弦定理得
1
2sinCsinB=
sinA
3sinA
．
故sinBsinC=
2
3
．
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC=－
1
2
，
即cos(B＋C)=－
1
2
，所以B＋C=
2π
3
，故A=
π
3
．
由题设得
1
2
2
bc
sinA=
a
3sinA
，即bc=8．
由余弦定理得b
2
＋c
2
－bc=9，
即(b＋c)
2
－3bc=9，得b＋c=33．
故△ABC的周长为3＋33．
15.解：
(1)
因为m·n=cosAcosB－sinAsinB=cos(A＋B)=－cosC，
所以－cosC=cos2C，即2cos
2
C＋cosC－1=0
故cosC=
1
2
或cosC=－1(舍)．
又0
3
.
(2)
因为
→
CA·
→
CB=18，所以CA×CB=36. ①
由余弦
定理AB
2
=AC
2
＋BC
2
－2AC·BC·cos60
°，及AB=6得，AC＋BC=12. ②
由①②解得AC=6，BC=6.
16.解：
22222
(1)因为a=c(a－c)＋b，所以a＋c－b=ac，
222
a＋c－b1
所以cosB==．
2ac2
π
又因为0
(2)由正弦定理得
acb
===
sinAsinCsinB
3
=2，
π
sin
3
所以a=2sinA，c=2sinC．
所以m=2a－c=4sinA－2sinC
2π
=4sinA－2sin－A
3
=4sinA－2×
31
cosA＋sinA
22
=3sinA－3cosA
31
sinA－cosA
22
π
=23sinA－．
6
=23×
因为A，C都为锐角，则0
π2ππππ
，且0
πππ3
<，所以0