2017三角函数恒等式的证明.doc
世界上社会主义国家-模拟志愿
三角形内有关角的三角函数恒等式的证明
张思明
课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式
教学目的：
（1）掌握利
用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用
方法和技巧（如
定向变形，和积互换等）。
（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能
力，体验数形结合、特殊一般转
化的数学思想。并利用此题材做学法指导。
（3）通过个
人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于
创新，不断探索
的科学精神。
教学对象：高一（5）班
教学设计：
一．引题：（A，B环节）
1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？
拟答：
，
……
，
，
……
这些结果是诱导公式，的特殊情况。
1．2今天开始的学习任务
是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略
是先分若干个学习小组（四人
一组），分头在课本P233---
P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角
形条件的所有三角恒等式。
1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有：
（1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2
(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA2sinB2cosC2.
(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2.
(4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.
(6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.
(7)
也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。
1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：
提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。
二．第一层次的问题解决（C，D环节）
2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”
的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其
他某一个组评判或给出不同的证法。
证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。
（2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)2=cosC2
(3)左到右：化积--->--->留“1”提取-->化积
（4）左到右：化积--->提取---->化积sin2C=sin2(A+B)
(5)左到右：
（6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB)
(7)左到右：通分后利用（4）的结果
2．2教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？
体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。
2
．3另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例
题”
的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等……）。
2．4其他证法备考：
1．如右到左用积化和差，（略）
2．利用已做的习题：
先一般后特殊……
3．几何直观：
左 式
右 式
由此得证（4）
图 1
4．用2-A2，2-B2，
2-C2代换A，B，C（仍保持三个角之和为）
可速由（4）推出（1）；
由（5）推出（2）……
三．探索发现练习（回朔与E环节）
3．1请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务
（1）找出更多的三角恒等式。
（2）用发散的方式寻求更多的结果。
可以自主肯定的结论记为“定理”，还不能肯定的结论暂记为“猜想”
3．2小组活动10分钟后，组代表上前表述“发现”，交流结果。
3．3教师注意记录学生的发现结果，挖掘“再发现”的潜力。
3．4结果的“予储”
（1）结果一般化：如
对cos, tg亦有类似结果……
（2）变维发散三角形变四边形，如对四边形ABCD有
，
sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)2*[cos(A-B)2+co
s(C-D)2]
=4sin(A+B)2*cos(A+C-B-D)4*cos(A+D-B-C)4
=sin(A+B)2*sin(B+C)2*sin(C+A)2
两边换成cos亦正确
进一步可探索四边形ABCD是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。
（3）逆序发散：
如对（6），原等式成立，能推出A+B+C=
举反例可知不行，可推出A+B+C=k
（4）变形式发散：
吗？
，k是整数。
再如对偶联想：上面的式子该成cos怎样？……
（5）批判式的发散：
等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？
如对锐角三角形ABC，有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
si
nAsinBsinC>cosAcosBcosC。对一般三角形tgA+tgB+tgC=ctgA+ctg
B+ctgC
恒不成立……
特别注意记录“意外”。
3．5评论与小结：
请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。
教师记录补充（与学生互补之）---重点是学法和思维方法：怎样复习，怎样提高
做题的效率，怎样学
会“举一反三”，怎样用发散思维的方式提出问题……。
3．6作业：A类：阅读P257---P261
B类：（1）选择学生课上提出的三个结果，给出证明或证伪。
（2）改写或重写本章的小结（参看P257---
P261），补充在本章的学习过程中你认为重要的方法、技
巧和自己解题的心得与出错之处。
C类：（1）在三角形条件下，如对△ABC，你能说出哪些有关角的三角函数不等式？试找出3个
并证
明之。
（2）对代数练习册（上）第三章的复习题三中的解答题进行“压缩”处理，
只选出你认为有代表性的10
个习题。