沈阳招生考试网-竞选班长的演讲稿

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码
横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项
的答案 信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答
案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上 ；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合 题目要求的。

1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={
x
|
3
x
1
}，则< br>

A．
AIB{x|x0}

D．
AIB

B．
AUBR
C．
AUB{x|x1}

2．如图，正方形
ABCD
内的图形 来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和
白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形 内随机取一点，则此点取自黑色
部分的概率是


A．
1
4
B．
π
8

C．
1
2
D．
π
4


3．设有下面四个命题

1
p
1
：若复数
z
满足
R
，则
zR
；
z

p
2< br>：若复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
；

p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.

其中的真命题为

A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为

A．1 B．2 C．4 D．8

5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围是

A．
[2,2]
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

6．
(1
1
2
6
展开式中的系数为

x
)(1x)
2
x
A．15 B．20 C．30 D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组
成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个
是梯形，这 些梯形的面积之和为


A．10 B．12 C．14 D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3
n
?2
n
> 1000的最小偶数
n
，那么在
框中，可以分别填入

和两个空白

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1
000和
n
=
n
+2

B．
A
>1 000和
n
=
n
+2 C．
A

1 000和
n
=
n
+1 D．
A

1
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
2π
)，则下面结论正确的是

3
A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移个单位长度，得到曲线
C
2

π
6
B．把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
移
π< br>个单位长度，得到曲线
C
2

12
C．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
π
6
1
2
移个单位长度，得到曲线
C
2

D．把
C1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
π
个单位 长度，得到曲线
C
2

12
1
2
移

10．已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、< br>B
两点，直线
l
2
与
C
交于
D
、< br>E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

11．设
x yz
为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则< br>
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面
数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，
其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，2
1
，2
2
，依此类
推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>10 0且该数列的前
N
项和为2的整数幂。那么
该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量
a< br>，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则 |
a
+2
b
|= .


x2y1

14．设
x
，
y
满足约束条件

2x y1
，则
z3x2y
的最小值为 .


xy 0

15．已知双曲线
x
2
y
2
C
：2

2
1
（
a
>0，
b
>0）的右 顶点为
ab
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆

A
，圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率< br>为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的
等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FA B
，
使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。 当△
ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：cm
3
）的最大 值为_______。



三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

a
2
1 7．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为

3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;

（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.

18.（12分）

如图，在四 棱锥
P-ABCD
中，
AB
BAPCDP90
o
（ 1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；


（2） 若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
 APD90
o
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 ，检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可 以认为这条生产线正
常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．

（1）假设生产状态正常，记
X
表示 一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的 数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为
< br>这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说 明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

1
16
1
16
1
16
22
s(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，经计算得
x

x
i
9.97
，其中
x
i
为

16
i1
1 6
i1
16
i1
抽取的第
i
个零件的尺寸，
i 1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为
的估计值

ˆ
，利用估计用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的值判断是否需对当天的生产过程 进行检查？剔除
(

数据估计

和

（精确到）．

附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

20.（12分）

3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1） ，
P
3
（–1，），
P
4
2
ab
（1，< br>3
）中恰有三点在椭圆
C
上.

2
（1）求
C
的方程；

（2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜 率
的和为–1，证明：
l
过定点.

21.（12分）

已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.

2
xx
（1）讨论
f(x)
的单调性；

< br>（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分 。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系< br>xOy
中，曲线
C
的参数方程为

数方程为


x3cos

,
（
θ
ysin

,

为参数），直线
l
的参

xa4t,
（t 为参数）
.


y1t,

（1）若
a
=?1，求
C
与
l
的交点坐标；

（2）若
C< br>上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求
a
.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数
f
（x
）=–
x
2
+
ax
+4，
g
(x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.

（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（x
）的解集；

（2）若不等式
f
（
x
）≥< br>g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题 给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C

7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
15cm
3

三、解答题：共70分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题 为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

a
2
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
A BC
的面积为

3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;

（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.

解：（1）

由题意可得
S
ABC
1a
2
，

bcsinA
23sinA
化简可得
2a
2
3bcs in
2
A
，

根据正弦定理化简可得：
2sin
2
A3sinBsinCsin
2
AsinBsinC
。

2
3
（2）

2

sinBsinC

12

3
由

，

cosAcos ABsinBsinCcosBcosCA


1
23

cosBcosC

6

因此可得
B
< br>3
C
，

将之代入
sinBsinC
中可得：< br>sin


2
3
31

C
sinCsinCcosCsin
2
C0
，

22

3


化简可得
tanC
3

 C,B
，

366
利用正弦定理可得
b
a31
sinB3
，

sinA
3
2
2
同理可得
c3
，

故而三角形的周长为
323
。

18.（12分）

如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB
BAPCD P90
o
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；


（2）若
PA
=
PD
=
AB
=DC
，
APD90
o
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.

（1）证明：

QABCD,CDPDABPD
,

又
ABPA,PA PDP
,
PA
、
PD
都在平面
PAD
内，

故而可得
ABPAD
。

又
AB
在平面PAB
内，故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。

（2）解：

不妨设
PAPDABCD2a
，
< br>以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴 ，
OP
为
z
轴建立平面直角坐标系。

故而可得各点坐标：
P

0,0,2a

,A

2a,0,0

,B

2a,2a,0

,C

2a,2a, 0

，

uuur
因此可得
PA

uu ur
2a,0,2a,PB

uuur
2a,2a,2a,PC 2a,2a,2a
，


uruur
假设平面
PAB
的法向量
n
1


x,y,1

，平面< br>PBC
的法向量
n
2


m,n,1
，

uruuur
ur


n
1
PA2ax2a0x1
故而可得

uruuu
，即< br>n
1


1,0,1

，

r

n
1
PB2ax2ay2a0y0
uuru uur

n
2
PC2am2an2a0m0
uur

2


同理可得

uu
，即。

n0,

ruuur
2
2

2
,1



n
2
PB2am2an2a0 n
2
因此法向量的夹角余弦值：
cosn
1
,n
2< br>
uruur
1
2
3
2

3
。

3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

19．（12分）

3
。

3
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从 该生产线上随机抽取
16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产 线正
常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．

（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的1 6个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3
,

3

)
之外的零件，就认为

这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产 过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

1
16
1
16
1
16
22
s(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，经计算得< br>x

x
i
9.97
，其中
x
i
为

16
i1
16
i1
16
i1
抽 取的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
， 利用估计用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
(

数据估计< br>
和

（精确到）．

附：若随机变量
Z
服 从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(
3

Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

解：（1）
P
< br>X1

1P

X0

10.9974< br>16
10.95920.0408

由题意可得，
X
满 足二项分布
X~B

16,0.0016

，

因 此可得
EX

16,0.0016

160.00160. 0256

（2）

1
由（1）可得
P

X1

0.04085%
，属于小概率事件，

○
故 而如果出现
(

3

,

3

)
的零件，需要进行检查。

µ
9.97,
< br>µ
0.212

µ
3

µ
9.33 4,

µ
3

µ
10.606
，
< br>2
由题意可得

○
故而在

9.334,10.60 6

范围外存在这一个数据，因此需要进行检查。

此时：

x
9.97169.22
10.02
，

15
1
15

xx0.09
。


15
i1

20.（12分）

3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2< br>=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（ 1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
2
ab
（1，
3
）中恰有三点在椭圆
C
上.

2
（1）求
C
的方程；

（2）设直线l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，< br>B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率
的和为–1，证明：
l
过定点.

解：（1）

根据椭圆对称性可得，
P
1
（1,1）
P
4
（1，
3
）不可能同时在椭圆上，

2
P< br>3
（–1，
33
），
P
4
（1，）一定同时在椭圆上 ，

22

因此可得椭圆经过
P
2
（0,1） ，
P
3
（–1，
33
），
P
4
（1，），

22
代入椭圆方程可得：
b1,
13
1a2< br>，

a
2
4
x
2
故而可得椭圆的标准方程为 ：
y
2
1
。

4
（2）由题意可得直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率一定存在，

不妨设直线
P
2
A
为：
ykx1
,
P
2
B
为：
y

1k

x1
.


ykx1
22
联立

4k1x8 kx0
，



x
2
2

 y1
4
假设
A

x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

此时可得 ：

2

8k14k
2


8

1k

14

1k


A
2
,
2
,

，


,B< br>
22

4k14k1


4
1k

14

1k

1


14

1k

此时可求得直线的斜率为：
k
A B

y
2
y
1

x
2
x1
14k
2

2
2
4

1k
1
4k1
8k

2
2
4
< br>1k

1
4k1
8

1k

2
，

化简可得
k
AB

1

12k

2
，此时满足
k
。

1
2
1
当
k
时，
AB
两点重合，不合题意。
< br>○
1
18k

14k
2

2
当< br>k
时，直线方程为：
y
○，

x
2


2
2

2

12k


4k1

4k1
1
2

4k
< br>即
y
2
4k1x

2

12k

，当
x2
时，
y1
，因此直线恒过定点

2,1

。

21.（12分）

已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.

2
xx
（1）讨论
f(x)
的单调性；

（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.

解：

（1）对函数进行求导可得
f'

x
2ae
2x


a2

e
x
1 

ae
x
1

e
x
1

。

1
当
a0
时，
f'

x< br>


ae
x
1

e
x
1

0
恒成立，故而函数恒递减

○

2< br>当
a0
时，
f'

x


ae
x
1

e
x
1

0x ln
，故而可得函数在

○

,ln

上< br>a
a

1
1
单调递减，在

ln,< br>
上单调递增。



1
a

< br>（2）函数有两个零点，故而可得
a0
，此时函数有极小值
f
ln

lna1
，

aa



1

1
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

故 而可得
lna10

a0

，令
g
a

lna1
，

对函数进行求导即可得到
g'

a


a1
0
，故而函数恒递增，

2
a
1
a
1
a

又
g

1

0
，
g

a

l na10a1
，

因此可得函数有两个零点的范围为
a

0,1

。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题 中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。

1
a
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角 坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

数方程为


x3cos

,
（
θ
ysin
< br>,

为参数），直线
l
的参

xa4t,
（t为参数）
.


y1t,

（1）若
a
=?1，求
C
与
l
的交点坐标；

（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求
a
.< br>
解：

x
2
将曲线C 的参数方程化为直角方程为
y
2
1
，直线化为直角方程为
9
11
yx1a

44
13

13

yx
（1）当
a1
时，代入可得直线为
yx
，联立曲线方程可得：
44
，

44

x
2
9y
2
9


21

x

25
或< br>
x3
，故而交点为


21
,
24
或解得





3,0


2525


y0

y
24

25

（2）点

3cos

4si n

a4
11

x3cos

,
到 直线
yx1a
的距离为
d17
，

ysin

,
44

17
即：
3cos

4sin

a417
，

化简可得
17

a4

3cos

4sin

17

a4

，

根据辅助角公式可得
13a 5sin





21a
，
又
55sin





5
， 解得
a8
或者
a16
。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数
f
（x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x)=│
x
+1│+│
x
–1│.

2
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（x
）的解集；

（2）若不等式
f
（
x
）≥< br>g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.

解：

x1

2x

将函数
g
x

x1x1
化简可得
g

x


21x1


2xx1

（1）
当
a1
时，作出函 数图像可得
f

x

g

x

的范围在
F
和
G
点中间，


17 1


y2x
171

联立

可 得点
G

，因此可得解集为

1,

。

2

2
,171


2
yxx 4




（2）
即
f

x

g

x

在

1,1

内恒成立，故而可得
x
2
ax42x
2
2 ax
恒成立，

根据图像可得：函数
yax
必须在
l1
,l
2
之间，故而可得
1a1
。