桂林市人事网-解放思想演讲稿

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必修五数学公式概念
第一章解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1
正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc
正弦定理推论：①2R
sinAsinBsinC

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC③

④a:b:csinA:sinB:sinC⑤

abc
sinAsinBsinC

.

（R为三角形外接圆的半
径）
asinAbsinBasinA
,,
bsinBcsinCcsinC

abcabc
sinAsinBsinCsinAsinBsinC
2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。
任何一个三角形都有六个元素：三条边(a,b,c)和三个内角(A,B,C).在三角形中，已知三
角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
3、正弦定理确定三角形解的情况
图形关系式解的个数

①absinA
②ab
A

为
锐
角

bsinAab两解

一解
absinA无解
A
为ab一解
钝
角
或
直ab无解
角
4、任意三角形面积公式为：
必修五数学1
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111abc
SbcsinAacsinBabsinC
ABC
2224R
r
p(pa)(pb)(pc)(abc)2RsinAsinBsinC
2
2
1.2
余弦定理
5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍，即


余弦定理推论：
cosA
6、不常用的三角函数值
15°75°105°165°
62626262
sin
4444
62626262
cos
4444
tan23232323
2222cos
abcbcA，

2222cos
baccaB，

222

bca
，
cosB
2bc


222
acb
2ac

，
2222cos
cababC.
cosC

222
abc
2ab
1.1.2
应用举例
1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正
北或正南或正西或正东）
3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标
视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。
（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角
4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。
5、铅直平行：于海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直
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h

高度与水平宽度的比叫坡比
i
.
l
（5）坡角与坡比
必修五数学2
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第二章数列
1.3
数列的概念与简单表示法
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列
的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），
排在第二位的数称为这个数列的第2项，⋯，排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，
数列的一般形式可以写成

a，a
2
，a
3
，⋯ ，a
n
，⋯，简记为a
n
.
1
2、数列的通项公式：如 果数列a
n
的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的
任一项
a
与它的前一项
a
n
1
（或前几项）（
n2）间的关系可以用一个公式表示，那么
n
这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为21
a
n
a（n1）
n1
*

4、数列与函数：数列可以看成以正整数集
N（或它的有限子集1,2,3,4,⋯,n）为定
a
n
fn，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
义域的函数
通项公式可以看成函数的解析式。
5、数列的单调性：若数列a
n
满足：对一切正整数n，都有a
n
1a
n
（或a
n
1a
n
），
则称数列

a
为递增数列（或递减数列）
。
n
判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；

②作差比较法，即作差比较
a与a
n
的大小；
n1
1.4
等差数列
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d
表示。定义式为a
n
a
n1
d
（
n2，n

*
N）或a
n1
a
n
d
（
n

*
N）
2、等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，A
叫做a与b的等差中项。
ab

A是a，b的等差中项
A2AabAabA.
2
3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项a
n1
，a
n
，a
n1
（n2,n

a，a
n
，a
n1
成等差数列2a
n
a
n1
a
n1
（n2）a
n
是等差数列。
n1
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*
N），则

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必修五数学3
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4、等差数列 的通项公式a
n
a
1
n1d，其中a
1
为首项，d为公差。 变形为：

d
aa
n.
n1
1
5、 通项公式的变形：a
n
a
m
nmd
，其中
a
m为第m项。变形为

*
N，且mnpq，则a
m
a
n
a
p
a
q
；

d
aa
n.
nm
m
6、等差数列的性质：（1）若n，m，p，q
（2）若mn2p，则

a
m
a2a
；

np
（3）若m，p，n成等差数列，则
a，a
p
，a
n
成等差关系；
m
（4）若

a成等差数列a
n
pnq（公差为p，首项为pq）；
n
（5
）若
c
n
成等差数列，则a
n
也成等差数列；
（6）如果

ab
n
都是等差数列，则pa
n
q
，
pa
n
qb
m
也是等差数列。
n
2.3
等差数列的前n项和
1、一般数列a
n
与s
n
的关系为

a
n.
SSn2
nn1
naann1
1n
2、等差数列前n项和的公式：Snad
n12
2
nn1dd
3、等差数列前n项和公式的函数特征：（1）由S
n
na
1
dnan，
222
dd

令
2
A，Ba，则a
n为等差数列S
n
AnB
n（
A、B为常数，其中d2A，
1
22
a
1
）.若A0，即d0
，则
S
n
是关于n的无常数项的二次函数。若A0，即
ab

d
，则
S< br>n
na
1
.（2
）若
a
n
为等差数列，
0
（3
）若
a
n
为等差数列，S
k,
S
2k
S
K
,S
3k
S
2k
,也成等差数列
（4
）若
Sm
n，S
m
n，则S
m
nm n（5
）若
S
m
S
n
，则S
m
n0
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Sn1
1
2
1
d
S
n

也是等差数列，公差为
n
2

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（6）若
a
n
b是均 为等差数列，前n项和分别是A
n
与B
n
，则有
n
a

m
b
m
A

1
2m
B
1
2m
（7）在等差数列a
n
中，a
1< br>0，d0
，则
S
n
存在最大值，a
1
0，d0
，则
S
n
存
在最小值。
2.4
等比数列
必修五数学4
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1、等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那
么 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q
表示
q0.
a
定义式：
n
q，(n2,a
n
0,q0).
a
1
n
2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a
与b的等比数列。a
，
G，b成等比数列
Gb
aG
两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。
3、通项公式：

aaqq
n1
q
nm

4、等比数列的性质：
aaqnm
（，
nm

*
N）.
n11n
a

2
GabGab

.
其中首相为a
1
，公比为q.

2.5
等比数列的前n项和
naq
1
n
1、等比数列的前n项和的公式： Saq
1
aaq
n
1
1

1


q1
n

2、等比数列的前n项和的函数特征：当q1时，
Sq
n
1q1q1q
a

，即
A
1
SAqA.
1
n
q
n
n
a
1
1qa
1
a
1

.记
n
1q1q
3
、等比数列的前
n
项和的性质：
在等比数列中：
（1）当
S，S
2k
S
k
，S
3k
S
2k
，⋯均不为零时，数列成等差数列。公比为qk.
k

（2）
SSqSSqS
nmnmmn
nm
a

mn

（3）
m
q
或
a
n
（4
）若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q

（5）若

a为等差数列，则
n
mn
aaq
（
m
、
n
mn

*
N）

n
a
C为等比数列
（6）若

a为正项等比数列，则log
C
a
n
是等差数列
n
（7）若

a、b
n
均为等比数列，则0、、、、等
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kn
a

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nnnnnn
aaaab
ab
nn
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仍是等比数列。公比分别为：

1kq
q、、q、q、qq、.
12
qq
1
2

时，
a为递增数列；当
n
a
10
0q1

（8）等比数列
a的增减性：当
n
a
1
0

q1
a a
或
10
10
，
q1
0q1
或
时，
a为递增减数列。
n
4、由递推公式求数列通向法：
（1）累加法：
aafn变形：a
n1
a
n
fn
n1n
（2
）累乘法：
a
n1
a
n
fn变形：
a

1

fn
n
a
n
（3）取倒数法：a
1

n

pa
n
qap
n
（4）构建新数列法：a
n1
pa
n
q（其中p，q均为常数，pq(p1)0）
设a
n1
kpa
n
ka
n
k为等比数列。
第三章不等式
1.5
不等式关系与不等式
1、不等式定义：用不等号（、、、、）表示不等关系的式子叫不等式，记作
fxgx，fxgx等。用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用不“”
或“”连接的不等式叫非严格不等式。
2、实数的基本性质
abab0；abab0；abab0.
实数的其他性质
0

a

b 0

ab0,ab0

a0
；ab0,ab0
b0

a0
；ab0
b0
3、不等式的基本性质
（1）对称性：abba（2
）传递性：
ab,bcac
（3）可加性：abacbc推论1：abcacb（移向法则）
ab
推论2：acbd
cd
（同向不等式的相加法

则）
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必修五数学6
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ab
（4）可乘性：
c0
ab
（5）同向相加：
cd
ab

（6）同向可乘：
cd
（7
）乘方法则：
ab0

acbc

；
ab
c0

acbc

acbd
ab
；异向可减：
dc
ab0ab

；异项可除：
0dcdc

adbc
0

0

acbd

nn
ab
（
nN
，
n1）
nn
（8）可开方性法则： ab0ab
（
nN
，
n2
）

ab

（9）倒数法则：
ab0ab
11
3.2
一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，
称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
2、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系
24
bac000
20axbxc
a0
的图像



20
axbxc
a0
的根

两个不相等的实数根两个相等的实数根

xx
12

xxx或xx
12

xx

xx
12

b
2a
R
没有实数

根

20
axbxc
a0的解集
20axbxc
xxxx
12
a0的解集
附：韦达定理
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在函数
20
axbxca0，则x
1
x
2

b

，
1
2
a
xx
必修五数学7
c

.
a
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1.6
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1.1.3
二元一次不等式（组）与平面区域
1、平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线
AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括
边界。不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。
2、平面区域的判定：一般地，当ykxb时，表示ykxb的上方区域；
当ykxb时，表示ykxb的下方区域。
1.1.4
简单的线性规划问题
3、线性规划有关概念：①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称
线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。③
要 求最大（小）值所涉及的关于变量x
，
y
的一次解析式叫做线性目标函数。④满足线性 约

束条件的解（，
xy
）叫做可行解，⑤由所有可行解组成的集合叫做可行 域。⑥使目标函数

ab
ab
2

222
abab（当且仅当ab时取“=”）
ab
ab
（当且仅当
ab
时取“
=”）
2
取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

1.7
基本不等式：
1、主要不等式：设a，bR，则
2、基本不等式：设a0
，
b0
，则

即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形：ab2ab.
22

2ababab
3、应用：
ab
ab22
4、基本不等式的应用
（1
）如果和
xy
是定值
S
，那么当且仅当


S
xy时，积xy有最大值
2
有最小值

222
abab
ab（a
，
bR
）

22

2

S
；
4
（2）如果 积xy
是定值
P
，那么当且仅当
xyP
时，和
xy
应注意以下几点：
①各项或各因式必须为整数；
2P.
②各项或各因式的和（或积）必须为常数；
③各项或各因式能够取相等的值.
射影定理：以上三个条件简称为“一正，二定，三相等”

2
①
CDADBD；②

2
③
CBBDAB.
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2
ACADAB；

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关于不等式其他补充内容
1、两点间的距离公式：设 P
1
x
1
,y
1
，P
2
x
2,y
2
，则

PPxxyy.
121212
22
2、点到直线的距离公式：设Px
0
,y
0
，直线l的方程为AxB yC0（A、B不同时

为零），则P到直线l的距离
d
AxByC
00
22
AB

.
3、两平行线间的距离公式：两 平行直线AxByC
1
0和AxByC
2
0间的距离

d
CC
12
22
AB

.
4、点斜式方程：
k
yy

xx

，即
yykxx
0
00
0
5、斜截式方程：ykxb，其中k为斜率，b为截距。
6、直线方程的一般形式：AxByC0（A、B不同时为零），当B0时，方程可化
A

，在y轴上的截距为
，表示斜率为
B
BB
222

7、圆的标准方程：
xaybr.其中圆心为Ca,b，半径为r.

为
yx
AC C

的直线。
B
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