股市休假-青春文学作品

绝密★启用前
2017年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷共5页，满分150分。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求 的．

1
．已知集合
A=

x|x2

，
B=

x|32x0

，则

3
 
A
．
A
I
B=

x|x


2

3

C
．
A
U
B


x|x


2









B
．
A
I
B


D
．
A
U
B=
R

【答案】A
【解析】由
32x0
得
x
333
，所以
AIB{x |x2}I{x|x}{x|x}
，选A．
222
2
．为评估一种 农作物的种植效果，选了
n
块地作试验田．这
n
块地的亩产量（单位：
kg
）分别为
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
< br>A
．
x
1
，
x
2
，
…
，< br>x
n
的平均数

C
．
x
1
，x
2
，
…
，
x
n
的最大值

【答案】B
【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选
B.

3
．下列各式的运算结果为纯虚数的是





B
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的标准差

D
．
x
1
，x
2
，
…
，
x
n
的中位数

A
．
i(1+i)
2

【答案】C
B
．
i
2
(1−i) C
．
(1+i)
2
D
．
i(1+i)
【解析】由
(1i)2i
为纯虚数知选C．
4
．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

2

A
．
1

4
B
．
π

8
C
．
1

2

π
D
．


4

【答案】B
y
2
5
．已知
F
是双曲线
C
：
x1
的右焦点，
P
是
C
上一点，且
PF
与
x< br>轴垂直，学

网点
A
的坐标是
(1
，
3
2
3)
，则△
APF
的面积为

1
A
．

3

1
B
．


2

2
C
．


3

3
D
．


2
【答案】
D
y< br>2
1
，得
y3
，所以
|PF|3
，【解析】 由
cab4
得
c2
，所以
F(2,0)
，将
x2
代入
x
3
222
2
又点A的坐标是(1，3)， 故△APF的面积为
13
3(21)
，选D．
22
6．如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个正方
体中，直线AB
与平面
MNQ
不平行的是

A
．
B
．

C
．
D
．

【答案】A
【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面M NQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；
对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平 面MNQ．故排除B，C，D，选A．

x3y3,

7
．设
x
，
y
满足约束条件

xy1,
则
z =x+y
的最大值为


y0,

A
．
0
【答案】D
B
．
1 C
．
2 D
．
3
【解析 】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数
zxy
经过
A(3,0)
时z取得最大值，故

z
max
303
，故选D．

8
．函数
y
sin2x
的部分图像大致为

1cosx
A
．
B
．

C
．
D
．

【答案】C
【解析】由题意知，函数
y
sin2 x
为奇函数，故排除B；当
xπ
时，
y0
，故排除D；当
x1
时，
1cosx
y
sin2
0
，故排除A． 故选C．
1cos2
B
．
f(x)
在（
0
，< br>2
）单调递减

9
．已知函数
f(x)lnxln(2x)
，则

A
．
f(x)
在（
0
，
2
）单调递增



C
．
y=
f(x)
的图像关于直线
x =1
对称

【答案】C
D
．
y=
f( x)
的图像关于点（
1
，
0
）对称

10
．下面程序框图是为了求出满足
3
n
2
n
1000
的最 小偶数
n
，那么在
分别填入

和两个空白框中，可以

A
．
A>1000
和
n=n+1
C
．
A≤1000
和
n=n+1
【答案】D






B
．
A>1000
和
n=n+2
D
．
A≤1000
和
n=n+2
【解析】由题意，因为< br>3
n
2
n
1000
，且框图中在“否”时输出，所以判定 框内不能输入
A1000
，故填
A1000
，又要求
n
为偶数且初始值为0，所以矩形框内填
nn2
，故选D.
11
．△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．已知
sinBsinA(sinCco sC)0
，
a=2
，
c=
2
，
则
C=
A
．
π

12
B
．
π

6
C
．
π

4
D
．
π

3
【答案】
B
x
2
y
2
12
．设
A
，
B
是椭圆
C
：， 则
m
的取值范
1
长轴的两个端点，若
C
上存在点
M
满足∠
AMB=120°
3m
围是

A
．
(0,1]U[9,)

C
．
(0,1]U[4,)

【答案】A
【解析】当
0m3
时，焦点在
x
轴上，要使
C
上存在点
M
满足
AMB120
o
，则








B
．
(0,3]U[9,)

D
．
(0,3]U[4,)

a
tan60
o
3
，
b
即
3
3
，得
0m1；当
m3
时，焦点在
y
轴上，要使
C
上存在点
M
满足
AMB120
o
，则
m

am
tan60
o
3
，即
3
，得
m9< br>，故
m
的取值范围为
(0,1]U[9,)
，选
A
．

b
3
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．

13
．已知向量
a
=< br>（
–1
，
2
），
b
=
（
m
，
1
）．若向量
a
+
b
与
a
垂直，则m=________
．

【答案】7
【解析】由题得
ab (m1,3)
，因为
(ab)a0
，所以
(m1)23 0
，解得
m7
．
14
．曲线
yx
2
1
在点（
1
，
2
）处的切线方程为
__________ ____
．

x
【答案】
yx1

【解析】设
yf(x)
，则
f

(x)2x
所以曲线
y x
2
1
，所以
f

(1)211
， < br>x
2
1
在点
(1,2)
处的切线方程为
y21 (x1)
，即
yx1
．

x
ππ
15
．已知

(0，)
，
tan α=2
，则
cos(

)
=__________
．
24
【答案】
310

10
16
．
SC
是球
O
的直径．
SA=AC
，已知三棱锥
S−ABC< br>的所有顶点都在球
O
的球面上，若平面
SCA
⊥平面
SCB< br>，
SB=BC
，三棱锥
S−ABC
的体积为
9
，则球
O
的表面积为
________
．

【答案】
36π

【解析】取
SC
的中点
O
，连接
OA,OB
，
因为
SAAC,SBBC
，
所以
OASC,OBSC
，
因为平面
SAC
平面
SBC
，
所以
OA
平面
SBC
，
设
OAr
， 则
V
ASBC

1111
S
SBC
OA 2rrrr
3
，
3323
2
所以
r
3
9r3
，所以球的表面积为
4πr36π
.

1< br>3
三、解答题：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第
22
、
2 3
题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共
60
分．

17
．（
12
分）

记
S
n
为等比数列

a
n

的前
n
项和，已知
S
2
=2
，
S
3
=−6
．

（
1
）求

a
n

的通项公式；

（
2
）求
S
n
，并判断
S
n
+1
，
S
n
，
S
n
+2
是否成等差数列
．


a
1
(1q)2,
【解析】（1）设
{a
n
}
的公比为
q
．由题设可得

解得
q2
，
a
1
2
．
2

a
1
(1qq)6.
n
故
{a
n
}
的通项 公式为
a
n
(2)
．
n1
a
1
( 1q
n
)
2
n
2
(1)
（2）由（1） 可得
S
n

．
1q33
n3n1
42< br>n2
2
n
2
n
2
2[(1)]2Sn
， 由于
S
n2
S
n1
(1)
3333
故
S
n1
，
S
n
，
S
n2
成等差数列．
18
．（
12
分）

如图 ，在四棱锥
P−ABCD
中，
ABCD
，且
BAPCDP9 0
o
．


（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
PA=PD=AB=DC
，
APD90
o
，且四棱锥
P−ABCD
的体积为
8
，求该四棱锥的侧面积．< br>
3
【解析】（1）由已知
∠BAP∠CDP90
，得
ABAP
，
CDPD
．
由于
AB∥CD
，故
ABPD
，从而
AB
平面
PAD
．
又
AB
平面
PAB
，所以平面
PAB
平面
PAD
．

（2）在平面PAD内作
PEAD
，垂足为E
由（1）知，
AB平面PAD
，故
ABPE
，可得
PE 平面ABCD

设AB=x，则由已知可得AD=
2x
，PE=
2
x

2
故四棱锥P-ABCD的体积
V
PABCD

由题设得
11
ABADPEx
3

33
1
3
8
x
，故x=2
33
从而 PA=PD=2，AD=BC=
22
, PB=PC=
22

可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一条生产线的学科
*
程，检验员每隔
30 min
从该生产线上随机抽取一个零件，并测
量其尺寸（单位：
cm
）．下面是检验员在一 天内依次抽取的
16
个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

1
9.95
9
2
10.12
10
9.91
3
9.96
11
10.13
4
9.96
12
10.02
5
10.01
13
9.22
6
9.92
14
10.04
7
9.98
15
10.05
8
10.04
16
9.95
1111
PAPD PAABPDDCBC
2
sin60
0
623

2222
零件尺寸

10.26
1
16
1
16
1
16
222
x
i
9.97
，
s 
经计算得
x
(xx)(x16x)0.212
，

ii
16
i1
16
i1
16
i1< br>
(i8.5)
i1
16
2

18.439< br>，

(x
i
x)(i8.5)2.78
，其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,,16．
i1
16
（
1
）求
(x
i
,i)
(i1,2,,16)
的相关系数
r
，并回答是否可以认为这一天生 产的零件尺寸不随生产过程
的进行而系统地变大或变小（若
|r|0.25
，则可以 认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小）．

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(x3s,x3s)
之外的零件，就认为这条生产 线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（
ⅰ
）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（
ⅱ
）在
(x3s,x3s)
之外的数据称为离群值，试剔除离群值， 估计这条生产线当天生产的零件尺寸

的均值与标准差．（精确到
0.01
）

附：样本
(x
i
,y
i
)
(i1 ,2,,n)
的相关系数
r

(xx)(yy)
ii< br>i1
2
(xx)

i
i1
n
2
(yy)

i
i1
n
n
，
0.0080. 09
．

【解析】（1）由样本数据得
(x
i
,i)(i 1,2,L,16)
的相关系数为
r

(xx)(i8.5)
i
i1
16

(xx)

(i8.5)
2
i
i1i1
1616

2
2.78
0. 18
．
0.2121618.439
由于
|r|0.25
， 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i）由于x9.97,s0.212
，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在
(x 3s,x3s)
以外，
因此需对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值， 即第13个数据，剩下数据的平均数为
产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．
1
(169.979.22)10.02
，这条生产线当天生
15

x
i1
16
2
i
160.212
2
169 .97
2
1591.134
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
1
(1591.1349.22
2
1510.02
2
)0.008
，
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
0.0080.09
．
20
．（
12
分）

x
2
设
A
，
B
为曲线
C
：
y=上两点，
A
与
B
的横坐标之和为
4
．

4
（
1
）求直线
AB
的斜率；

（
2
）设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M处的切线与直线
AB
平行，且
AM

BM
，求直线AB
的方程．

x
1
2
x
2
2
【解析】（1）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y2
），则
x
1
x
2
，
y
1

，
y
2

，x
1
+x
2
=4，
4
4
yy
2
x
1
x
2
1
． 于是直线AB的斜率
k
1
x
1
x
2
4
x
2
x
（2）由
y,得y'

42
设M（x
3
,y
3
），由题设知
x
3
=1
，解得x
3
=2，于是M（2，1）
2

设直线AB的方程 为
yxm
，故线段AB的中点为N（2, 2+m），
MNm1
< br>x
2
将
yxm
代入
y
，得
x
2
4x4m0

4
当
16(m1)0
，即m >-1时，
x
1,2
22m1

从而
AB2x
1
x
2
42(m1)
由题设知
AB2MN
，即
42(m1)2(m1)
，解得m=7
所有直线AB的方程为
yx7

21
．（
12
分）

已知函数
f(x)
= e
x
(e
x
−a)−a
2
x
．

（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)0
，求
a
的取值范围．

【解析】（ 1）函数
f(x)
的定义域为
(,)
，
f

(x)2e
①若
a0
，则
f(x)e
，在
(, )
单调递增．
②若
a0
，则由
f

(x) 0
得
xlna
．
当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；当
x(lna,)
时，
f

(x)0
，故
f(x)
在
(,lna)
单调递减 ，在
2x
2x
ae
x
a
2
(2e
x
a)(e
x
a)
，
(lna,)
单调递增． < br>③若
a0
，则由
f

(x)0
得
xl n()
．
当
x(,ln())
时，
f

(x)0
；当
x(ln(),)
时，
f

(x )0
，故
f(x)
在
(,ln())
单调递
减，在
(ln(),)
单调递增．
（2）①若
a0
，则
f(x)e
，所以
f(x)0
．
②若
a0
，则由（ 1）得，当
xlna
时，
f(x)
取得最小值，最小值为
f(ln a)alna
．从而当且仅当
2
2x
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
lna0
，即
a1
时，
f(x)0
．
③若
a0，则由（1）得，当
xln()
时，
f(x)
取得最小值，最小值为
f(ln())a
2
[ln()]
．从
a
2
a
2
3
4
a
2
3a
而当且仅当
a[l n()]0
，即
a2e
4
时
f(x)0
． 42
2
3

综上，
a
的取值范围为
[2 e,1]
．
（二）选考题：共
10
分．请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答
.
如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数 方程为
ysin

,


xa4t,
（t 为参数）
．

y1t,

3
4
（1）若a1
，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为
17
，求
a
．
x
2
y
2
1
． 【解析】（1）曲线
C
的普通方程为
9
当
a1
时，直线
l
的普通方程为x4y30
．
21

x,

x4y3 0,

x3,



2
25
由

x
解得

或


2

y0

y
24
.

y1

9

25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0 )
，
(
2124
,)
．
2525
（2）直线< br>l
的普通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为
d
|3cos

4sin

a4|
．
17
a9
a9
17
，所以
a8
； ．由题 设得
17
17
a1a1
17
，所以
a16< br>． ．由题设得
1717
当
a4
时，
d
的最大值 为
当
a4
时，
d
的最大值为
综上，
a8或
a16
．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知 函数
f(x)xax4
，
g(x)|x1||x1|
．
（1）当
a1
时，求不等式
f(x)g(x)
的解集；
2

（2）若不等式
f(x)g(x)
的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围．
【解析】（1）当
a1
时，不等式
f( x)g(x)
等价于
xxx1x140

当
x1
时，上式化为
x3x40
，无解；
当< br>1x1
时，上式化为
xx20
，从而
1x1
；
2
当
x

1
时，上式化为
xx40< br>，从而
1x
2
2
2
117

2
117


所以
f(x)g(x)
的解集为

x1x


2


（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2
．
所以
f(x)g (x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1]
时f(x)2
．
又
f(x)
在
[1,1]
的最小值 必为
f(1)
与
f(1)
之一，所以
f(1)2
且< br>f(1)2
，得
1a1
．
所以
a
的取值范围为
[1,1]
．