【2020年】湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)及解析
追梦作文-期末试卷分析
湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1．（5分）设复数z
1
，z
2
在复平面内的对应点关
于实轴对称，z
1
=1+i，则z
1
z
2
=（
）
A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i
2．（5分）设全集U=
R，函数（fx）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，
则（∁
U
A）∩B的子集个数为（ ）
A．7 B．3 C．8
D．9
3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相
邻对称轴的距
离为
A．
，若角φ的终边经过点
B． C．2 D．
，则的值为（ ）
4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生
的化学考试成绩，
图（二）的算法框图中输入的a
i
为茎叶图中的学生成绩，则输出的
m，n分别是
（ ）
A．m=38，n=12
B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
5．（5分）设不等式组
2
表示的平面区域为Ω
1
，不等式（x +2）
2
+（y﹣2）
≤2表示的平面区域为Ω
2
，对于Ω
1
中的任意一点M和Ω
2
中的任意一点N，|MN|
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．11 B． C． D．
8．（5分）设等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，且满足S
2014
＞0，S
2015< br>＜0，对任意
正整数n，都有|a
n
|≥|a
k
|，则k的值 为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，
若对每一个确定的，|| 的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（ ）
A．随增大而增大 B．随增大而减小
C．是2 D．是4
10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△
ABC和△
DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=
面积为（ ）
，BC=CD=BD=2，则球O的表
A．4π B．12π C．16π
D．36π
11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且
，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知e为
自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y
∈[﹣1，1]，使得x+y
2
e
y
﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a＞0，
= ．
14．（5分）设a，b∈R
，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，
则ab的取值范围是
．
15．（5分）正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
，
且
，则数列{c
n
}的前2016项的和为 ．
（n∈N*），设
展开式的常数项为15，则
C．（1，e] D．
16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2
，1），
当△APF周长最小时，其面积为 ．
三、
解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且
AB=3．
，
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF
均为等
边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．
（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得
AF∥平面BDN，试确定点N的位置，
并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
1
9．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东
镇沿海登陆，
造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，
46.5千公顷农田受灾，
直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也
受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查
了梅州某小区的50户居民由于台风造
成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000
，4000]，（4000，6000]，
（6000，8000]，（8000，10000]五组，
并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，
为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的
居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过80
00元的居民为ξ户，求
ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民
为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐
款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b
，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d
的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或
少于500元和自身经济
损失是否到4000元有关？
经济损失不超过
经济损失超过
合计
4000元
4000元
b
捐款超过
500元
捐款不超
过500元
合计
a=30
c
d=6
P（K
2
≥k）
k
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
．
附：临界值表参考公式：，
20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x
﹣y﹣2=
0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线
PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0
，y
0
）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
21．（12分
）已知函数f（x）=+be
﹣
x
，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，
且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞
请考生在22、23两题中任选
一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C
1
的
参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
+ke
﹣
x
，求k的取
值范围．
正半轴为极轴建立坐标系，曲线C
2
的坐标系方程是ρ=2，正方
形ABCD的顶点都
在C
2
上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为
（2，
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C
1
上任意一点，求|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
+|
PD|
2
的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．
（1）求集合M；
（2）已知a∈M，比较a
2
﹣a+1与的大小．
）．
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设复数z
1
，
z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=1+i，则z
1z
2
=（ ）
A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i
【解答】解：复数z
1
，z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=1+i，
所以z
2
=1﹣i，
∴z
1
z
2
=（1+i）（1﹣i）=2．
故选：A．
2．（5分）设全集U=R，函数（fx）=lg
（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，
则（∁
U
A）
∩B的子集个数为（ ）
A．7 B．3 C．8 D．9
【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．
∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁
U
A={x|﹣2≤x≤0}；
由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．
则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，
则（∁
UA）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．
∴（∁
U
A）∩B的元素个数为3．
∴（∁
U
A）∩B的子集个数为：2
3
=8．
故选：C．
3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）
（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距
离为
A．
，若角φ的终边经过点 B． C．2 D．
，则的值为（ ）
【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为
角φ的终边经过点
即tanφ=
∴φ=
，可得周期T=π，那么ω=2，
，在第一象限．
，
故得f（x）=sin（2x+
则
故选：A
=sin（+
）
）=cos=．
4．（5分
）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，
图（二）的算法框图中输入的a<
br>i
为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是
（ ）
A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12
D．m=24，n=10
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的
化学考试成
绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，
84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，
50，
51，52，53，53，56，58，59，共12人，
则在50名学生的成绩中，成绩小
于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，
故m=26
故选：B．
表示的平面区域为Ω
1
，不等式
（x+2）
2
+（y﹣2）5．（5分）设不等式组
2
≤2表示的平面区域为
Ω
2
，对于Ω
1
中的任意一点M和Ω
2
中的任意一点N，|
MN|
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解
：不等式组
2
表示的平面区域为Ω
1
，不等式（x+2）
2
+（y﹣2）
≤2表示的平面区域为Ω
2
，如图：
对于Ω
1
中的任意一点M和Ω
2
中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的
点O与圆的圆心连线减去半径，
所以，|MN|的最小值为：
故选：C．
=．
6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．
f′（x）=．
∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x
2=0有两个绝对值大于1的解，
∴m＞1．
故选：D．
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（
）
A．11 B． C． D．
【解答】解：由多面体的三视图得：
该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，
其中底面ABCD是边长为1的正方形，
平面PAD⊥平面ABCD，
点P到平面ABCD的距离为1，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，
∴PA==，
∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：
S
△
PAB
=
故选：C．
=．
8．（5分）设等差数列{a
n
}的前n项和为S<
br>n
，且满足S
2014
＞0，S
2015
＜0，对任意
正整数n，都有|a
n
|≥|a
k
|，则k的值为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S
2014
=
∴a
1007
+a
1008
＞0
同理
由S
2015
＜0可得2015a
1008
＜0，可得a
1008<
br>＜0，
∴a
1007
＞0，a
1008
＜0，且|
a
1007
|＞|a
1008
|
∵对任意正整数n，都有|a
n
|≥|a
k
|，
∴k的值为1008
故选：C．
9．（5
分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，
若对每一个确定的，||的最大值
和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（ ）
=1007（a
1007
+a
1008
）＞0，
A．随增大而增大 B．随增大而减小
C．是2 D．是4
【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2
∵（﹣）•（﹣）=0，
∴（
4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2
即（x﹣3）
2
+（y﹣）
2
=4，
）为圆心、半径等于2的圆上，
，n=2﹣2，
﹣y）=x
2
+y
2
﹣6x﹣2y+8=0，
）、=（x，y），
∴满足条件的向量的终点在以（3，
∴||的最大值与
最小值分别为m=2+2
∴m﹣n=4，
故选：D．
10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△
ABC和△
DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=
面积为（ ）
，BC=CD=BD=2，则球O的表
A．4π B．12π C．16π
D．36π
【解答】解：∵AB=3，AC=
∴AB
2
+AC2
=BC
2
，
∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圆的半径为，
，BC=2，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h，则h
2
+3=R
2
=（
∴h=
1，R=2，
﹣h）
2
，
∴球O的表面积为4πR
2
=16π．
故选：C．
11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0
）的右顶点为A，O为坐标
原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=
60°，且
，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程
为y=x，A（a，0），
P（m，
由=3
），（m＞0），
，可得Q（3m，），
=2m•，
），
=﹣，
．
圆的半径为r=|PQ|=
PQ的中点为H（2m，
由AH⊥PQ，可得
解得m=，
r=
A到渐近线的距离为d=
则|PQ|=2
即为d=
可得=
e==
故选C．
=r，
r，即有
，
==．
=•
=，
．
12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的
x∈[0，1]，总存在唯一的y
∈[﹣1，1]，使得x+y
2
e
y
﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，e] B． C．（1，e]
D．
【解答】解：由x+y
2
e
y
﹣a=0成立，解得y
2
e
y
=a﹣x，
∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯
一的y∈[﹣1，1]，使得x+y
2
e
y
﹣a=0成立，
∴a﹣1≥（﹣1）
2
e
﹣
1
，且a﹣0≤1
2
×e
1
，
解得
范围是
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a＞0，
．
•（﹣1）
r
•a6
﹣
r
•
展开式的常数项为15，则=
≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值
．
【解答】解：由
令
因
的展开式的通项公式为T
r
+
1=，
=0，求得r=2，故常数项为
此原
，可得a=1，
式
为
=，
故答案为：
．
14．（5分）设a，
b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，
则ab的取值范围是
[﹣16，16] ．
【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如
图的阴影部分：可
行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），<
br>
关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4
by≥8表示的范
围在可行域外侧，
当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，
当a＞0，b＜0时满足题意，可得
可得﹣16≤ab＜0，
当a＜0，b＞0时满足题意，可得
可得﹣16≤ab＜0，
当a＜0，b＜0时满足题意，可得
＜0，∴0＜ab≤16，
当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；
故ab的取值范围是：[﹣16，16]；
故答案为：[﹣16，16]．
﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8
，，可得：0＜b
≤2，﹣8≤a＜0
，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a
15．（5分）正项数
列{a
n
}的前n项和为S
n
，且
，则数列{c
n
}的前2016项的和为
【解答】解：正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且
则：
②﹣①得：
整理得：a
n
+
1
﹣
a
n
=1，
当n=1时，
解得：a
1
=1，
所以：数列{a
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列．
则a
n
=1+n﹣1=n，
所以：
则：=
．
，
，
②，
+a
n
+
1
﹣a
n
，
．
（n∈N*），设
（n∈N*）①，
数列{c
n}的前2016项的和为：
=﹣1+
=﹣
，
．
，
故答案为：
16．（5分）已知F是椭
圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），
当△APF周长最小时，其面积为 4
．
【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，
设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．
△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）
=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，
当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．
此时直线
AF'的方程为y=（x+4），代入x
2
+5y
2
=20中，可求得P（0
，2），
故S
△
APF
=S
△
PF'F
﹣S
△
AF'F
=×2×8﹣×1×8=4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共5小题，共
70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且
AB=3．
，
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．
【解答】解：（Ⅰ）由
所以
所以．（2分）
得到：AD⊥AC，
，
在△ABD中，由余弦定理可知，BD<
br>2
=AB
2
+AD
2
﹣2AB•AD•cosBAD
即AD
2
﹣8AD+15=0，（4分）
解之得AD=5或AD=3，
由于AB＞AD，
所以AD=3．（6分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，<
br>又由
可知
所以
因为
即
18．（12分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF
均为等边三角形，EF∥
AB，EF=AD=AB．
（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN
，试确定点N的位置，
并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
（12分）
，
（8分）
（10分）
，
，
【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．
证明：连结AC交BD于M，连结MN．
∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，
∵N是CF的中点，
∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，
∴AF∥平面BDN．
（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥
AB，作y轴⊥BC于P，
则P为BC的中点．
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．
∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，
，
∴
）．
=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，
，
），N（﹣，
）．
设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则
∴
∴=﹣1，||=
＞=
，令z=
，||=
=﹣
得=（2，
0，
．
．
），
∴cos＜，
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．
19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在
我国广东省陆丰市甲东
镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房
屋倒塌，
46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造
成的经济损失，将收
集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，
（6000，8
000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）试根据频率
分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的
居民中随机抽
出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求
ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重
灾区捐款，小明调查的50户居民捐
款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d
，a+c，b+d，a+b+c+d
的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于50
0元和自身经济
损失是否到4000元有关？
经济损失不超过
经济损失超过
合计
4000元
4000元
b
捐款超过
500元
捐款不超
过500元
合计
a=30
c
d=6
P（K
2
≥k）
k
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
．
附：临界值表参考公式：，
【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000
×0.
0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=
3360…（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，得：
损失超过4000元的居民有：
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
∴ξ的分布列为：
ξ
P
Eξ=0×+1×+2×
=．
0
1
2
（Ⅲ）如图：
经济损失不超过
经济损失超过
合计
4000元
4000元
9
39
捐款超过
500元
捐款不超
过500元
合计
K
2
=
30
5
6
11
35
15
≈4.046＞3.841，
50
所以
有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是
否4000元有关．…（1
2分）
20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，
c）（c＞0）到直线l：x
﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切
线
PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x
0
，y
0
）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离
，
解得c=1，
所以抛物线C的方程为x
2
=4y．
（2）设，，
，，所以切线PA，PB的斜率分别为由（1）得抛物线C的方程为<
br>，
所以PA：
联立①②可得点P的坐标为
，
①PB：
，即
②
，，
又因为切线PA的斜率为，整理得，
直线AB的斜率
所以直线AB的方程为
整理得，即
，
，
，
因为点P（x
0
，y
0
）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x
0
﹣y
0
﹣2=0，即y
0
=x
0
﹣2，
所以直线AB的方程为x
0
x﹣2y﹣2y
0
=0．
（3）根据抛物线的定义，有
所
，，
以
=
，
由（2）得x
1
+x
2
=2x
0
，x
1
x
2
=4y
0
，x
0
=y
0
+2，
所以
=
．
所以当
21．（12分）已知函数
f（x）=+be
﹣
x
，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，
时，|AF
|•|BF|的最小值为．
且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞
【解答】解
：（1）f（x）=
f′（x）=，
+ke
﹣
x
，求k的取值范围．
+be
﹣
x
的导数为
由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得
f（0）=1，f′（0）=﹣，
即有b=1，a﹣b=﹣，
解得a=b=1；
（2）当x≠0时
，都有f（x）＞
即为+e
﹣
x
＞+ke
﹣
x
，<
br>
，即1﹣k＞
，g（﹣x）=
，
=g（x），
+ke
﹣
x
，
即有（1﹣k）e
﹣
x<
br>＞
可令g（x）=
即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．
由g（x）﹣1=
x＞0时，e
x
＞e
﹣
x
，
<
br>由h（x）=2x﹣e
x
+e
﹣
x
，h′（x）=2﹣（e<
br>x
+e
﹣
x
）≤2﹣2
则h（x）在x＞0递减，即有h（x
）＜h（0）=0，
即有g（x）＜1．
=0，
，
故1﹣k≥1，解得k≤0．
则k的取值范围为（﹣∞，0]．
请考生在22、23两题中
任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C
1
的
参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线C
2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都
在C
2
上，且A，B，C，D依
逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（
2）设P为C
1
上任意一点，求|PA|
2
+|PB|
2
+
|PC|
2
+|PD|
2
的取值范围．
【解答】解：（1）点A，B，C，D
）．
的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x
0
，y
0
），则为参
数）
t=|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
+|PD|
2
=4x
2
+4y
2
+16
=32+20sin
2
φ
∵sin
2
φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．
（1）求集合M；
（2）已知a∈M，比较a
2
﹣a+1与的大小．
【解答】解：（1）
由f（x）＞﹣1，得
解得0＜x＜2，
故M={x|0＜x＜2}．
（2）由（1）知0＜a＜2，
因
为
当0＜a＜1时，
当a=1时，
当1＜a＜2时，
综上所述：当0＜a＜1
时，
当a=1时，
当1＜a＜2时，
；
或或
，
，所以
，所以
，所以
；
；
．
；
．