初一数学教案-英语手抄报内容

解三角形
【考题回放】
2
ab

bc

A2B
a,b,cA,B,C
1．设分别是
ABC
的三个内 角所对的边，则是的（ ）
（A）充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
2．在
ABC
中，已知
①
tanAcotB1

22
tan
AB
sinC
2
，给出以下四个论断：




②
0sinAsinB
22

2

2
③
sinAcosB1
④
cosAcosBsinC

其中正确的是（ B ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则
__________
3
.
4．如果
A．
B．
C．
D．
tan
ACAC
tan3tantan
2222
的值为
A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别等于
A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，则（ ）
A
1
B
1
C
1
和
A
2
B
2
C
2
都是锐角三角形
A
1
B
1
C
1
和< br>A
2
B
2
C
2
都是钝角三角形
A1
B
1
C
1
是钝角三角形，
A
2
B
2
C
2
是锐角三角形
A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
A
2
B
2
C
2< br>是钝角三角形
5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-
3
px+1-p＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则 tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _
2
和__ ___，p的取值范围是__________
3
；(0，
3
)；(0，
3
)；［
3
，1)
AB
6．在ΔABC中，已知
466
,cosB
36
，AC边上的中线BD=
5
，求sinA.
DE
126
AB
23
， 【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DEAB，且
222
设BE=x 在ΔBDE中可得
BDBEED2BEEDcosBED
，
- 1 -

5x
2

8266
7
2x
x
336
，解得
x1
，
3
（舍去）
AC< br>2
AB
2
BC
2
2ABBCcosB
28
3
， 故BC=2，从而
AC
即
247
2213070< br>
sinBsinA
10
，
3
又
6
，故
sinA
14

【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是 历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻
理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余 )弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化
或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条 件的挖掘

【范例1】【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝
a:b< br>，试判断△ABC的形状．
22
sinAcosBsin
2
A

cosAsinBsin
2
B
， 解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得
∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．


∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝
2
．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定 三角形形状时一般要把条件转化为边之间
关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2 ＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2
（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝ sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形
状，但在选择转化为边或是角的关系 上，要进行探索．
4sin
2
【范例2】 【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
(1)求角A的度数；
(2)若a=
3
，b+c=3，求b和c的值.
BC7
cos
2
A
22
.
(1)由4sin
2
解析
BC7
cos2A及ABC180,得:
22

- 2 -

7
2[1cos(BC)]2cos
2
A1 ,4(1cosA)4cos
2
A5
2
1
即4cos
2
A4cosA10,cosA,
2
Q0A180,A60 

b
2
c
2
a
2
(2)由余弦定理 得:cosA
2bc
1b
2
c
2
a
2
1
Q
cosA(bc)
2
a
2
3bc.< br>22bc2

bc3

b1

b2
a3,bc3代入上式得:bc2 由

得:

或
.
bc2c2c1

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用 比较广泛.
【范例3】已知△ABC的周长为6，
（1）△ABC的面积S的最大值；

uuuruuuruuur
BC,CA,AB
成等比数列，求
uuuruuur
（2）
BA
g
BC
的取值范围．
uuuruuuruuur
BC,CA,AB
解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac．
a
2
c
2b
2
a
2
c
2
ac2acac1
co sB
2ac2ac2ac2
, 在△ABC中得
0B
故有

3
．又
bac
ac6b
,
22
从而
0b2
．
S
（１）
111

acsinB b
2
sinB2
2
sin3
S3
．
2223
，即
max
uuuruuur
a
2
c
2
b
2
(ac)
2
2acb
2
BA
g
BCaccosB
22
（２）
(6b)
2
3 b
2
(b3)
2
27
2
．
uuuruuur
Q0b2,

2BA
g
BC18
．
【点睛】 三角与向量结合是高考命题 的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用
消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的 元素，保留适当的主变元．主变元是解答问
题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益 处的．
【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R=
3
，且
- 3 -

cosC2 sinAsinC

sinB
满足
cosB
.
求角B和边b的大小；
求△ABC的面积的最大值。
cosC2sinAsinC

sinB
解析 (1) 由
cosB
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
1

∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB=
2
∴B=
3

∵ b=2RsinB ∴b=3
12

2
acsinB3 RsinAsinC33sinAsin(A)
S
3
(2)∵
ABC< br>=
2


33


1

s in(2A)
2

62



93
S
∴当A=
3
时,
ABC
的最大值是
4
．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C在城A的南20˚西的 方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，
在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正 沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D
处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达 A城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：

C D
2
BD
2
BC
2
21
2
202
31
2
1
cos


2CDB D221207
，
sin

1cos
2


43
7
．
sin

sin

18 0CADCDA


sin

18060180



sin


60

sin

cos60 cos

sin60
4311353

727214< br>．
AD
在△ACD中得
CD21532153
sin

15
sinAsin601414
3
2
．
- 4 -

所以还得走15千米到达A城．
【点晴】 运用解三角形的知识 解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元
素，然后解三角形求之．
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )
1
（A）.有最大值
2
和最小值
1
（B）.有最大值
2
但无最小值
（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值
r
uuur
uuu
2．已知非零向量
AB
与
AC
满足且则
ABC
为（ D ）
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）

uuuruuur
r
ABAC
uuu
(
uuur

uuur
).BC0
ABAC
uuur
AB< br>uuur
AB
uuur
AC1
.
uuur
.
AC
2
5


5


2
（A）
6
（B）
6
（C）
6
或
6
（D）
3
或
3


4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )
51511515
(A)arccos
2
(B)arcsin
2
(C)arccos
2
(D)arcsin
2

5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）
1
f()0,
6．已知定义在R上的偶函数
yf(x)
在区间
[0,)
上单调递增,若
2


2

(,] (,

)
ABC
的内角A满足
f(cosA)0,
, 则A的取值范围是 ___
323

【文】在
ABC
中，..< br>C
的对边分别为.
b
.。
若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+
3
cosB的值域。

若a,b,c 成等差数列，且A-C=
3
，求cosB的值。
a
2
c
2
b
2
2acac1
cosB
222
baca c2ac
2ac2ac2
解析 (1) ∵,
当且仅当
ac
时取等号,
0B

3
∵f(B)=sinB+
3
cosB=
2sin(B

3

)

∵
3

B

3

2

3
∴
f(B)
的值域为
3,2


- 5 -

(2) ∵
ac2b,
∴ sinA+sinC=2sinB ∵
AC

3
,AC

B

A
∴
2

B

B2

B

B

32
C=
32
∴sin(
32
)+sin(
32
)=2sinB
3cos
展开,化简,得
B3
BBBB
sin
2*2 sincoscos0
24

222
, ∵
2
, ∴
12sin
2
∴ cosB=
B5

28

4cos
2
A7
cos2(BC)
22
8．【文】 在
ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，且 满足
（１）求角大小；
（２）若
bc3
，当取最小值时，判断
ABC
的形状．
解析（１）
QABC

，
4cos
2
A 7
cos2(BC)2(1cosA)cos2A2cos
2
A2c osA3
22
，
11
0cosA
22
， ．
2cos
2
A2cosA
Q0A

，
A60
o
．

b
2
c
2
a
2
cosA
222
bcbca
2bc
（２）由 余弦定理，得 ．
a
2
(bc)
2
3bc93bc 93(
bc
2
93
)a
24
，
2
．
33
bc
2
时取等号．此时
ABC
为正三角形． 所以的最小值为
2
，当且仅当


- 6 -