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2020
年北京师大实验中学高考数学零模试卷（二）

一、选择题（本大题共
8
小题，共
40.0
分）
1.

已知集合
A={0
，
a}
，
B={ x|-1
＜
x
＜
2}
，且
A
⊆
B
，则
a
可以是（ ）
A.
-1

B.
0

C.
1

D.
2

2.

设，是非零向量，则“，共线”是“
|+|=||+||
”的（）
A.
充分而不必要条件
C.
充分必要条件
B.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
3.

在平面直角坐标系
x Oy
中，角
θ
以
Ox
为始边，终边与单位圆交于点（，），则
tan
（
π+θ
）的值为（ ）
A.

B.

C.

D.

4.

已知
x
，
y
∈
R
，且
x
＞
y
＞
0
，则（ ）
A.
tanx-tany
＞
0

B.
xsinx-ysiny
＞
0

C.
lnx+lny
＞
0

D.
2
x
-2
y
＞
0

5.

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（ ）

A.

B.

C.
2

D.








6.

设不等式组，表示的平面区域为
Ω
，则（ ）
A.
原点
O
在
Ω
内
B.
Ω
的面积是
1

C.
Ω
内的点到
y
轴的距离有最大值
D.
若点
P< br>（
x
0
，
y
0
）∈
Ω
，则
x
0
+y
0
≠0

7.

六名同学
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每
两个人之间仅赛一局．第一天，
A
、
B
各参加了
3
局比赛，
C
、
D
各参加了
4
局比赛，
E
参加了
2
局比赛，且
A< br>与
C
没有比赛过，
B
与
D
也没有比赛过．那么
F
在第一天
参加的比赛局数为（ ）
A.
1

B.
2

C.
3

8.

关于函数
f
（
x
）
=sinx- xcosx
，下列说法错误的是（ ）
D.
4

第1页，共14页

A.
f
（
x
）是奇函数
B.
0
不是
f
（
x
）的极值点
C.
f
（
x
）在，上有且仅有
3
个零点
D.
f
（
x
）的值域是
R

二、填空题（本大题共
6
小题，共
30.0
分）
9.

若复数（
a+i
）（
3+4i
）的实部与虚 部相等，则实数
a=______
．
10.

已知
{a< br>n
}
是等差数列，
S
n
为其前
n
项和，若< br>a
1
=6
，
a
4
+a
6
=4
，则
S
5
=______
．
11.

的二项展 开式中，
x
3
的系数是
______
．（用数字作答）
在 圆
ρ=2cosθ
外，则
m
的取值范围为
______
． 12.

在极坐标系中，若点
13.

若三个点（
-2，
1
），（
-2
，
3
），（
2
，-1
）中恰有两个点在双曲线
上，则双曲线
C
的渐近线方程为
_ _____
．
14.

若函数
f
（
x
）
=
（
a
＞
0
且
a≠1
），函数
g
（
x
）
=f
（
x
）
-k
． ①若
a=
，函数
g
（
x
）无零点，则实数
k< br>的取值范围为
______
；
②若
f
（
x
）有最小值，则实数
a
的取值范围是
______
．
三、解答题（本大题共
6
小题，共
80.0
分）
15.

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边长分别是
a
，
b
，
c
．满 足
2acosC+ccosA=b
．
（Ⅰ）求角
C
的大小；
（Ⅱ）求
sinAcosB+sinB
的最大值．







16.

某市旅游管理部门为提升该市< br>26
个旅游景点的服务质量，对该市
26
个旅游景点的
交通、安全、环 保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分
0
分，最高分
100
分． 每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安
全得分散点图、交通得分与景点 总分散点图如图：

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（
1
）若从交通得分排名前
5
名的景点中任取
1
个，求其安全得分大于
90
分的概率；
第2页，共14页

（
2
）若从景 点总分排名前
6
名的景点中任取
3
个，记安全得分不大于
90
分的景点
个数为
ξ
，求随机变量
ξ
的分布列和数学期望；
（
3
）记该市
26
个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大
小关系？（只写出结果）







PA
⊥平面
ABCD
，
EB
∥
PA
，17 .

如图，四边形
ABCD
是正方形，
AB=PA=4
，< br>EB=2
，
F
为
PD
的中点．
（Ⅰ）求证：
AF
⊥
PC
；
（Ⅱ）求证：
BD
∥平面
PEC
；
（Ⅲ）求二面角
D-PC-E
的大小．














18.

已知函数
f
（
x
）
=lnx-
．
（1
）若曲线
y=f
（
x
）存在斜率为
-1
的切 线，求实数
a
的取值范围；
（
2
）求
f
（
x
）的单调区间；
（
3
）设函数
g
（
x
）
=
值．







19.

已知椭圆
C
：的离心率等于，经过其左焦点
F
（
-1
，< br>0
）且与
，求证：当
-1
＜
a
＜
0
时，
g
（
x
）在（
1
，
+∞
）上存在极小
x
轴不重合的直线
l
与椭圆
C
交于两点
M
，
N
两点．
第3页，共14页

（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）
O
为坐标 原点，在
x
轴上是否存在定点
Q
，使得点
F
到直线
QM
，
QN
的距
离总相等？若存在，求出点
Q
的坐标；若不 存在，请说明理由．







20.

对于无穷数列
{a
n
}
，
{b< br>n
}
，若
b
k
=max{a
1
，
a
2
，…，
a
k
}-min{a
1
，
a2
，…，
a
k
}
，
k=1
，
2
，
3
，…，则称
{b
n
}
是
{a
n}
的“收缩数列”．其中
max{a
1
，
a
2
，…，
a
k
}
，
min{a
1
，
a
2
，…，
a
k
}
分别表示
a
1
，
a
2
，…，
a
k
中的最大数和最小数．已知
{a
n
}
为无穷数列，
其前
n
项和为
S
n
，数 列
{b
n
}
是
{a
n
}
的“收缩数列”．
（
1
）若
a
n
=2n+1
，求
{b
n
}
的前
n
项和；
（
2
）证明：
{b
n
}
的“收缩数列”仍是
{b
n
}
；
（
3
）若
求所有满足该条件的
{a
n
}
．






（
n=1
，
2
，
3
，…）且
a
1
=1
，
a
2
=2
，
第4页，共14页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
C

解析：【分析】
本题考查实数值的可能取值的求法，考查子集、不等式，是基础题．
由集合
A={0
，
a}
，
B={x|-1
＜
x< br>＜
2}
，且
A
⊆
B
，得到
-1
＜< br>a
＜
2
，由此能求出结果．
【解答】
解：∵集合
A={0
，
a}
，
B={x|-1
＜
x
＜
2}
，且
A
⊆
B
，
∴
-1
＜
a
＜
2
，
∴
a
可以是
1
．
故选：
C
．
2.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
由“
|+|=||+||
”⇒“，共线”，反之不成立，例如
【解答】
解：“
|+|=||+||
”⇒“，共线”，反之不成立，例如．
可得
.
∴，是非零向量，则“，共线”是“
|+|=||+||
”的必要不充分条件．
故选：
B
．


3.
答案：
A

解析：【分析】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值 ，考查了转化思想，
属于基础题．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求
tanθ
的值，进而运用诱导公式化简求值即可得
解．
【解答】
解：∵角
θ
以
Ox
为始边，终边与单位圆交于点（，），
∴
tanθ==
，
∴
tan
（
π+θ
）
=tanθ=
．
故选：
A
．
4.
答案：
D

解析：解 ：
x
，
y
∈
R
，且
x
＞
y
＞
0
，
对于
A
：当
x=
，
y=
时，
tan=
，
tan=
，显然不成立；
第5页，共14页 < /p>

对于
B
：当
x=π
，
y=
时，
πsinπ=-π
，
-sin=-1
，显然不成立；
对于
C：
lnx+lny
＞
0
，即
ln
（
xy
）＞
ln1
，可得
xy
＞
0
，∵
x
＞< br>y
＞
0
，那么
xy
不一定大于
0
，
显然不成立；
对于
D
：
2
x
-2
y
＞< br>0
，即
2
x
＞
2
y
，根据指数函数的性质可 知：
x
＞
y
，恒成立．
故选：
D
．
利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．
本题考查了各基本函数的性质以及单调性的运用．
5.
答案：
A

解析：【分析】
本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．
根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即
可．
【解答】
解：由主视图和侧视图可知棱锥的高
h=2
，
结合侧视图和俯视图可知三棱 锥的底面
ABC
为直角三角形，
BC=1
，
AB=2
，AB
⊥
BC
，
∴三棱锥的体积
V=
故选
A
．
6.
答案：
D
=
，

解析：解：不等式组，表示的可行
域如图：
Ω
的面积不是
1
；
Ω
内的显然
O
不在可行域内部．
点到
y
轴的距 离没有最大值，
点
P
（
x
0
，
y
0）∈
Ω
，则
x
0
+y
0
≠0
，正确；
故选：
D
．
画出约束条件的可行域，判断选项的正误即可．
本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考
查．
7.
答案：
D

解析：解：由于
A
、
B
各参加了
3
局比 赛，
C
、
D
各参加了
4
局比赛，
E
参加了
2
局比赛，
且
A
与
C
没有比赛过，
B与
D
也没有比赛过，
所以与
D
赛过的是
A
、
C
、
E
、
F
四人；
与
C
赛过的 是
B
、
D
、
E
、
F
四人；
又因 为
E
只赛了两局，
A
与
B
各赛了
3
局，
所以与
A
赛过的是
D
、
B
、
F
；
而与
B
赛过的是
A
、
C
、
F
；
所以
F
共赛了
4
局．
故选：
D
． 从
A
、
B
各参加了
3
局比赛，
C
、< br>D
各参加了
4
局比赛，
E
参加了
2
局比赛， 且
A
与
C
没
有比赛过，
B
与
D
也 没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与
那几个人下了几局，最后即可得出F
最终下了几局．
第6页，共14页

本题主要考查了推理与论 证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出
结论．
8.
答案：
C

解析：解：对于
A
：由
f
（
-x
）
=sin
（
-x
）
+xcos
（
-x
）
=-f
（
x
），∴
f
（
x
）是奇函数，
A
对；
对于
B
，
f
（
x
）
=sinx- xcosx
，
f
′（
x
）
=cosx-cosx-xsin x=-xsinx
，当
x=0
时，
f
（
x
）
=0
，
f
′
（
x
）
=0
，
0< br>不是
f
（
x
）的极值点．
B
对．
对于
C
：
f
（
x
）
=sinx- xcosx
，
f
′（
x
）
=cosx-cosx+xsin x=xsinx
，可得在（，
0
）上单调
，上递减．（
0
， ）上单调递增．
f
（
0
）可得最小值，
f
（
0）
=0
，所以，
f
（
x
）在
不是
3< br>个零点．
C
不对；
对于
D
：当
x
无限大或 无线小时，可得
f
（
x
）的值域为
R
，
D
对．
故选：
C
．
根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．
9.
答案：
-7

解析：解：∵（
a+i
）（< br>3+4i
）
=
（
3a-4
）
+
（
3 +4a
）
i
的实部与虚部相等，
∴
3a-4=3+4a
，即
a=-7
．
故答案为：
-7
．
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等列式求得
a
值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
10.
答案：
20

解析：解：设
{a
n
}
是等差数列的公差为
d
，∵
a
1
=6
，
a
4
+a
6
=4
，
6+8d=4
，解得
d=-1
． ∴
2×
5-
则
S
5
=6×=20
．
故答案为：
20
．
6+8d=4
，解得
d
，再利 用求设
{a
n
}
是等差数列的公差为
d
，由
a1
=6
，
a
4
+a
6
=4
，可得2×
和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.
答案：
-10

解析：解：
T
r
+1
=
令
5-2r=3
得
r=1
，
所以
x
3
的系数为（
-2
）
1
•
C
5
1
=-10
．
故答案为
-10
利用二项展开式的通项公式求出展 开式中第
r+1
项，令
x
的指数为
3
得解．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12.
答案：（
1
，
+∞
）
，

解析：解：极坐标
圆圆
ρ=2cosθ
，
转化为：
x
2
+y
2
-2x=0
，
第7页，共14页
，转化为直角坐标为：
A
（），

整理得：（
x-1
）
2
+y
2
=1
，
由于：点
A
在圆的外部，
则：＞
1
，
解得：
m
＞
1
或
m
＜
0
，
由于：
m
＞
0
，
所以：
m
＞
1
．
即：
m
∈（
1
，
+∞
）．
故答案为：（
1
，
+∞
）．
首先把点的极坐标转化为直角坐标，进一步利用点和圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的转化，点与圆的位置关系的应用．
13.
答案：


解析：【分析】
本题考查双曲线的几何性质，关键是求出
a
的值．属于基础题
.
根 据题意，由双曲线的图象的性质分析可得（
-2
，
1
），（
2
，
-1
）在双曲线上，代入方
程解得，即可得双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程 分析可得答案．
【解答】

解：根据题意，若三个点（
-2
，1
），（
-2
，
3
），（
2
，
-1< br>）中
恰有两个点在双曲线
又由双曲线的图象关于原点对称，
故（
- 2
，
1
），（
2
，
-1
）在双曲线上，
则有，解可得
a=
，
上，
则双曲线的方程为
-y
2
=1
，
所以渐近线方程为
故答案为：
；


14.
答案：
[-1
，
1
）

（
1
，
3]

解析：解：①
a=
时，画 出函数
f
（
x
）的图
象，如图所示：
，
若函数
g
（
x
）无零点，则
y=k
和
y=f
（< br>x
）无
交点，
结合图象，
-1≤k
＜
1
；
②若
0
＜
a
＜
1
，显然
f
（x
）无最小值，故
a
＞
1
，
结合
log
a
3=1
，解得：
a=3
，
故
a
∈（
1
，
3]
；
故答案为：
[-1
，
1
），（
1
，
3]
．
①画出 函数
f
（
x
）的图象，结合图象求出
k
的范围即可；②通过 讨论
a
的范围，结合对
第8页，共14页

数函数的性质求出满足条件的
a
的范围即可．
本题考查了函 数的零点问题，考查对数函数的性质以及数形结合思想，转化思想，是一
道中档题．
15.
答案：解：（Ⅰ）由正弦定理及
2acosC+ccosA=b
．
得
2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△
ABC
中，
A+B+C=π
，
∴
A+C=π -B
，即
sin
（
A+C
）
=sinB
．
∴
2sinAcosC+sinCcosA=sin
（
A+C
）
+ sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴
sinAcosC=0 又∵
0
＜
A
＜
π
，
0
＜
C< br>＜
π
，
∴
sinA
＞
0
．
∴
cosC=0
∴
C=

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
C=
，
∴，即
B=
．
∵sinAcosB+sinB=cos
2
B+sinB=-sin
2
B+ sinB+1=-
∵
0
，
时，
sinAcosB+sinB
取得最大值．

∴当
sinB=
，即

解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得
2sinAcosC+sinCcosA=sinB
，结合三角形的内角和
定理及两角和的三角 公式可求
C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
C=
，
B=
，代入
sinAcosB+sinB
，利用同角平方关系及二次函
数的性质可求最大值
本题 主要考查了正弦定理、和差角及同角基本关系、二次函数的最值求解等知识的综合
应用，本题具有一定的 综合性
16.
答案：解：（
1
）由图象可知交通得分排名前
5名的景点中，安全得分大于
90
分的
景点有
3
个，
∴ 从交通得分排名前
5
名的景点中任取
1
个，其安全得分大于
90分的概率为．
（
2
）结合两图象可知景点总分排名前
6
名的景 点中，安全得分不大于
90
分的景点有
2
个，
ξ
的可能取值为
0
，
1
，
2
．
P
（
ξ=0
）
==
，
P
（
ξ=1
）
=
∴
ξ
的分布列为：

ξ

P

0



1



2



=
，
P
（
ξ=2
）
==
，
第9页，共14页

∴
E
（
ξ
）
= 0×+1×+2×=1
．
（
3
）由图象可知
26
个景点的 交通得分全部在
80
分以上，主要集中在
85
分附近，
安全得分主 要集中在
80
分附近，且
80
分以下的景点接近一半，故而＞．

解析：（
1
）根据古典概型概率公式得出结论；
（
2
）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望；
（
3
）根据两种得分的数据离散程度进行判断．
本题考查了古典概率的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．
17.
答案：（Ⅰ）证明：依题意，
PA
⊥平面
ABCD
．
如图，以
A
为原点，分别以、、的方向为
x
轴、
y
轴、
z
轴的正方向，建立空间直
角坐标系．










依题意，可得
A
（
0
，
0
，
0
），
B
（
0
，
4
，
0
），
C
（
4
，
4
，
0
），
D
（
4
，
0
，< br>0
），
P
（
0
，
0
，
4
） ，
E
（
0
，
4
，
2
），
F
（
2
，
0
，
2
）．
因为
所以
，
．
，
所以
AF
⊥
PC
．
（Ⅱ）证明：取
PC
的中点
M
，连接
EM
． 因为
M
（
2
，
2
，
2
），
所 以，所以
BD
∥
EM
．
，，
又因为
EM
⊂平面
PEC
，
BD
⊄平面
PEC
，
所以
BD
∥平面
PEC
．
（Ⅲ）解：因为
AF< br>⊥
PD
，
AF
⊥
PC
，
PD∩PC=P，
所以
AF
⊥平面
PCD
，故
设平面
PCE
的法向量为
因为，
为平面
PCD
的一个法向量．
，
，
所以即，
第10页，共14页

令
y=-1< br>，得
x=-1
，
z=-2
，故
所以
所以二面角
D-PC-E
的大小为．
，
．

解析：本题考查线线垂直、 线面平行的证明，二面角的大小的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力，数形结合思想，是中档题．
（Ⅰ）依题意，
PA
⊥平面
ABC D
．以
A
为原点，分别以、、的方向为
x
轴、
y
轴 、
z
轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明
AF
⊥
P C
．
（Ⅱ）取
PC
的中点
M
，连接
EM
．推导出
BD
∥
EM
，由此能证明
BD
∥平面
PE C
．
（Ⅲ）由
AF
⊥
PD
，
AF
⊥PC
，得
AF
⊥平面
PCD
，求出平面
PCD
的法向量和平面
PCE
的
法向量，利用向量法能求出二面角
D-PC-E的大小．
18.
答案：解：（
1
）由
f
（
x
）
=lnx--1
得：
f
′（
x
）
=< br>，（
x
＞
0
），
由已知曲线
y=f
（
x
）存在斜率为
-1
的切线，
∴
f
′（
x
）
=-1
存在大于
0
的实数根，
即
x
2
+x+a=0
存在大于
0
的实数根， ∵
y=x
2
+x+a
在
x
＞
0
时递增 ，
∴
a
的范围是（
-∞
，
0
）；
（< br>2
）由
f
′（
x
）
=
，（
x
＞
0
），
得：
a≥0
时，
f
′（
x< br>）＞
0
，
∴
f
（
x
）在（
0，
+∞
）递增；
a
＜
0
时，若
x
∈ （
-a
，
+∞
）时，
f
′（
x
）＞
0
，
若
x
∈（
0
，
-a
），则
f
′（
x
）＜
0
，
故
f
（
x
）在（
-a
，
+∞
）递增，在（
0
，
-a
）递减；
（
3
）由
g
（
x
）
=
g
′（
x
）
==
及题设得：
，
由-1
＜
a
＜
0
，得：
0
＜
-a
＜
1
，
由（
2
）得：
f
（
x
）在（
-a
，
+∞
）递增，
∴
f
（
1< br>）
=-a-1
＜
0
，取
x=e
，显然
e＞
1
，
f
（
e
）
=-
＞
0
，
∴存在< br>x
0
∈（
1
，
e
）满足
f
（
x
0
）
=0
，
即存在
x
0
∈（
1
，
e
）满足
g
′（
x
0
）
= 0
，
令
g
′（
x
）＞
0
，解得：
x
＞
x
0
，
令
g
′（
x
）＜
0
，解得：
1
＜
x
＜
x
0
， < br>故
g
（
x
）在（
1
，
x
0
）递减，在（
x
0
，
+∞
）递增，
∴
-1
＜
a
＜
0
时，
g
（
x
）在（
1
，
+∞
）存在极小值．

第11页，共14页

< br>解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一
道综合题．
（
1
）求出函数的导数，问题转化为
x
2
+x+a=0存在大于
0
的实数根，根据
y=x
2
+x+a
在
x
＞
0
时递增，求出
a
的范围即可；
（
2）求出函数
f
（
x
）的导数，通过讨论
a
的范围，判断 导函数的符号，求出函数的单
调区间即可；
（
3
）求出函数
g（
x
）的导数，根据
f
（
e
）
=-
＞
0
，得到存在
x
0
∈（
1
，
e
） 满足
g
′（
x
0
）
=0
，从而得到函数的单调区间 ，求出函数的极小值，证出结论即可．
19.
答案：解：（Ⅰ）由题意可得
∴椭圆的 方程为
+y
2
=1
，
，解得
a=
，
b=1
，
（Ⅱ）当直线
MN
的斜率存在时，设直线
MN
的方程为
y=k
（
x+1
），
k≠0
，
由，消
y
可得（
1+2k
2
）
x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0
， < br>易得△＞
0
，设
M
（
x
1
，
y1
），
N
（
x
2
，
y
2
），
则
x
1
+x
2
=
，
x
1
x
2
=
，
设
Q
（
t
，
0
），由点
M
．
N
在
x
轴异侧，则问题等价于
OF
平分∠
MQN
，且
x
1
≠t
，
x
2
≠t
，
又等价于
k
QM
+k
QN
=+=0
，
即
y
1
（
x
2
-t
）
+y
1
（
x
1
-t
）
=0
，
将
y
1
=k
（
x
1
+1
），
y
2
=k< br>（
x
2
+1
），代入上式，整理得
2x
1
x
2
+
（
x
1
+x
2
）（
1-t< br>）
-2t=0
∴
2
•
+
（
1-t
）
-2t=0
，
即
t+2=0
，
即
t=-2
，
∴
Q
（
-2
，
0
）
当直线
MN
的斜率不存在时，点
Q
（
-2
，
0
）也能使得点< br>Q
到直线
QM
，
QN
的距离总相
等，
故在
x
轴上存在定点
Q
（
-2
，
0
）使得点< br>Q
到直线
QM
，
QN
的距离总相等

解析：（Ⅰ）由题意可得，解得即可；
（Ⅱ）当直线
MN
的斜率存在时，设 直线
MN
的方程为
y=k
（
x+1
），
k≠0，代入椭圆方
程，根据韦达定理以及直线斜率的关系即可求出，当直线
MN
的斜率 不存在时，点
Q
（
-2
，
0
）也能使得点
Q
到直线
QM
，
QN
的距离总相等．
本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了转化能力，运算能力，问题解决的能力，属
于难题．
20.
答案：解：（
1
）由
a
n
=2n+1
可得
{a
n
}
为递增数列，
所以
b
n
=max{a
1
，
a
2
，…，
a
n
}-m in{a
1
，
a
2
，…，
a
n
}=an
-a
1
=2n+1-3=2n-2
，
故
{b
n
}
的前
n
项和为（
2n-2
）
n=n
（
n-1
）
（
2
）因为
max{a
1
，
a
2
，…，
a
n
}≤max{a
1
，a
2
，…，
a
n
+1
}
，
第12页，共14页

因为
min{a
1
，
a
2
，…，
a
n
}≥min{a
1
，
a< br>2
，…，
a
n
+1
}
，
所以
ma x{a
1
，
a
2
，…，
a
n
+1
}-min{a
1
，
a
2
，…，
a
n
+1
}≥max{a
1
，
a
2
，…，
a
n}-min{a
1
，
a
2
，…，
a
n
}
，
所以
b
n
+1
≥b
n
，
又因为
b
n
=a
1
-a
1
=0
，
所以
max{b
1
，
b
2
，…，
b
n
}-min{b
1
，
b
2
，…，
b
n
}=b
n
-b
1
=b
n
，
所以
{b
n
}
的“收缩数列”仍是
{b
n
}
，
（
3
）由
S
1
+S
2
+
…
+S
n
=n
（
n+1
）
a
1
+n
（< br>n-1
）
b
1
，
当
n=1
时，
a
1
=a
1
，
当
n=2
时，
3a
1
+2a
2
+a
3
=6a
3
+3b
3
，即
3b
3
=2
（< br>a
2
-a
1
）
+
（
a
3
- a
1
），（
*
），
若
a
1
＜
a
3
＜
a
2
，则
b
3
=a
2
-a
1
，所以由（
*
）可得
a
3
=a
2
与
a
3
＜
a
2
矛盾，
若
a3
＜
a
1
≤a
2
，则
b
3
= a
2
-a
3
，所以由（
*
）可得
a
3-a
2
=3
（
a
1
-a
3
），所以< br>a
3
-a
2
与
a
1
-a
3
同号，
这与
a
3
＜
a
1
≤a
2
矛 盾；
若
a
3
≥a
2
，则
b
3
= a
3
-a
2
，由（
*
）可得
a
3
=a
2
，
猜想：满足
S
1
+S
2
+…
+S
n
=n
（
n+1
）
a
1
+n
（
n-1
）
b
1
的数列
{a
n}
是，
a
n
=
，
a
2
≥a
1
，
经验证：左式
=S
1
+S
2
+
…+S
n
=na
1
+[1+2+
…
+
（
n-1
）
]=na
1
+n
（
n-1
）
a< br>2
，
右式
=n
（
n+1
）
a
1< br>+n
（
n-1
）
b
1
=n
（
n+1
）
a
1
+n
（
n-1
）（
a
2< br>-na
1
）
=na
1
+n
（
n-1
）
a
2
下面证明其它数列都不满足（
3
）的题设条件
由 上述
n≤3
的情况可知，
n≤3
，
a
n
=
，
a
2
≥a
1
是成立的，
假设
a
k=
是首次不符合
a
n
=
，
a
2
≥a< br>1
的项，则
a
1
≤a
2
=a
3
=< br>…
=a
k
-1
≠a
k
由题设条件可得（
k
2
-k-2
）
a
2
+a
k
=k
（
k-1
）
a
1
+k
（
k-1
）
b
k
（
*
），
若
a
1
＜
a
k
＜
a
2
，则由（
*
）可得
a
k
=a
2
与
a
k
＜
a
2
矛盾，
若
a
k
＜
a
1
≤a
2
，则
bk
=a
2
-a
k
，所以由（
*
）可得
a
k
-a
2
=k
（
k-1
）（
a
1
-a
k
），
所以
a
k
-a
2
与
a
1
-a
k
同号，这与
a
k
＜
a
1
≤a
2
矛盾；
所以
a
k
≥a
2
，则
b
k
=a
k
-a
1
，所以由（< br>*
）化简可得
a
k
=a
2
，
这与假设
a
k
≠a
2
相矛盾，
所以不存在数列不 满足
a
n
=
，
a
2
≥a
1
的{a
n
}
符合题设条件

解析：（
1
）由新 定义可得
b
n
=2n-2
，即可求出前
n
项和，
（
2
）根据“收缩数列”的定义证明即可，
（
3
）猜想： 满足
S
1
+S
2
+
…
+S
n
=n
（
n+1
）
a
1
+n
（
n-1
）
b
1
的数列
{a
n
}
是，
a
n< br>=
a
2
≥a
1
，并证明即可．
本题考查了新定义和 应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难
第13页，共14页
，

题．

第14页，共14页