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第四章 三角函数综合复习
一、概 念
1、角 。
正角 负角 零角 。
象限角 。
分别用角度制，弧度制表示四个象限角的集合：




轴线角：_____________________________________.



与 终边相同角的集合： 。

2、角度制 ；弧度制 。
1弧度角的规定 。
任意圆中圆心角弧度的算法 。
角度制与弧度制的换算：1弧度= 度；1度= 弧度.
度 0° 30
°
45
°
60
°
90
°
120
°
135
°
150
°
180
°
270
°
360
°
弧
度

3、单位圆 ；
三角函数值的定义：






4、三角函数值的符号判定：
三角函数 象限
sinx
cosx
tanx
特殊角三角函数值：
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限












角度
α

0°
30 45 60 90 120 135 180 270 360
弧度
α








































sinα
cosα
tanα

三角函数基本性质：


性质
y=sinx y=cosx

y∈[－1，1]
y=tanx

y∈R
定义域
值 域 y∈[－1，1]
当x= 时, 当x= 时,
最 值
y最大值= ； y最大值= ；
无
当x= 时, 当x= 时,
y最小值= . y最小值= .
图 象
(一个
周期)
周 期 T=
奇偶性



T=





T=


单调性



对称性

5、正弦型函数
yAsin(

x

)中：
振幅 ；周期 ；
频率 ；相位 ；
初相 。
（1）将正弦函数
ysi nx
变成正弦型函数
yAsinx(

x

)
的过程:
（2）把
asinxbcosx
引入辅助角化成一个角的三角函数，求函 数
y=asinx+bcosx的最大值、最小值、周期、单调区间.

二、公式
1、有关概念的公式：
扇形的面积计算公式 。
2、诱导公式：
A组(函数名不变，符号看象限)
(1)sin(k360

) ,cos(k360

) ,tan(k360

) ,
(2)sin(



) ,cos(



) ,tan(



) ,

(3)sin(



) ,cos(



) ,tan(



) ,

(4)sin(

) ,cos(

) ,tan(

) ,

(5)sin(2



) ,cos(2



) ,tan(2



) ,

B组(函数名要变，符号看象限)
(1)sin(90

) ,cos(90

) ,tan(90

) ,
(2)sin(90

) ,cos(90

) ,tan(90

) ,

(3)sin(270

) ,cos(270

) ,tan(270

) ,

(4)sin(270

) ,cos(270

) ,tan(270

) ,

3、同角三角函数间的关系公式
（1）平方关系 ；
（2）商数关系
（3）倒数关系 ；
4、直角坐标系中两点间的距离公式 。
5、两角和与差的三角函数及变形公式：
sin(



)
；



tan(

)


cos(



)
。
6、二倍角公式：
sin2


cos2

  
；
tan2


。
（1）降幂公式：
sin
（2）半角公式：
sin
2

；
x
；
cos
2
x
xx

；
cos
；
22
注意：公式的逆用：
1tan

tan45
tan



tan(45

)
； < br>
1tan

1tan45tan

sin
2

12
－cos
2

12
=
公式的变形sinα·cosα= 1+cos2α=
1－cos2α=
降幂公式：sin
2
α= cos
2
α=
① 半角公式：sin

=±
2
1 cos

1cos

； cos

=±；
2
22
1cos

1cos

tan

2
② 万能公式：
sin2α=
= ±
sin

1cos

= = .
1cos

sin

2tan

1tan

2
；cos2α=
1tan
2

1tan
2

； tan2α=
2tan

1tan

2
.

三、解题方法、技巧
1、三角函数式的化简、证明过程中常用的方法与技巧：
（1）消“1”；（2）化“1”；（3）切、化弦。
2、求任意角的三角函数值步骤：




3、三角函数式的化简、证明过程的巧配角：
（1）未知角用已知角来表示；（2）非特殊的角用特殊角来表示。
4、对三角函数式的化简、证明问题的特征分析：
（1）对角的特征分析（2）对函数名称进行分析（3）对幂指数进行分析。
5、根据已知条件求角的大小的方法：
（1）选取恰当的三角函数求值；（2）根据角的范围得角的大小
（在求、判断角的范围时有时要根据三角函数值去逼出角在一个更小的
范围才能求角的大小）。
6
sinxcosx与sinxcosx的关系：
。
7、题型

(2)
1sinx
(1)
1sinx

(4) (3)
1cosx
8、三角函数不等式的解法：
1cosx

利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象求解：

9、根据正、余弦型函数的图象写解析式的方法：
π
例题：函数y＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
2
)的部分图象如图所示，则
该函 数的表达式为( )．
y＝2sin


π


2x＋
6













10.三角形中的三角函数：
⑴在△ABC中，0＜A，B，C＜π，且A+B+C=π，
sin(A+B)=sinC,
cos(A+B)= −cosC；
⑵正弦定理： a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,
其中R是△ABC的外接圆的半径.
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
⑶余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
－2bccosA；b
2
=a
2
+c
2
－2accosB；
c
2
=a
2
+b
2
－2abcosC.
或cosA= cosB= cosC=