语文教育-我最崇敬的名人

考点
24
解直角三角形


一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：si nA=
∠A的对边a∠A的邻边b∠A的对边a
=
；余弦：cosA=
=；正切：tanA=
=
．
斜边c斜边c邻边b
根据定义求三角函数值时 ，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
二、特殊角的三角函数值
α
30°
sinα cosα tanα
1

2
2

2
3

2
3

2
2

2
3

3
1 45°
60°
三、解直角三角形
1

2
3

1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐 角，由直角三角形中除直角外的已知
元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a
2
+b
2
=c
2
；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=
（
4
）
sin
2
A+cos
2
A=1
．

aba
，cosA=sinB=，tanA=；
ccb
1

3
．科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
四、解直角三角形的应用
1．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=
坡角：坡面与水平 面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
h
．
l


4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
2

边，或通过公共边相等，列方程求解.
5
．解直角三角形实际应用的一般步骤

（
1
）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（
2
）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问 题；

（
3
）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（
4
）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．


考向一

求三角函数的值

（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.
（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某 条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过
程中约去k．
（3）正确应用勾股定理求第三边长．
（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．

典例
1
2sin45
的值为

A
．
2

2
B
．
3
C
．
2
D
．
1
【答案】
C
=
【解析】把
sin45°
22
=
2
．故选
C
．< br>
代入原式得：原式
=2×
22

1
．如图，在△< br>ABC
中，∠
C=90
°．若
AB=3
，
BC=2< br>，则
sinA
的值为


A
．
2

3
B
．
5

3
C
．
25

5
D
．
5

2
考向二

利用特殊角的三角函数值求值

3

锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

典例
2
已知∠
A
为锐角，且
sinA=
A
．
15°
C
．
45°
【答案】
D
【解析】∵
sinA=
3
，那么∠
A
等于

2
B
．
30°
D
．
60°
3
，∴∠
A=60
°．故选
D
．

2

2
．已知
α
是锐角，
sinα=cos60< br>°，则
α
等于

A
．
30°
C
．
60°
B
．
45°
D
．不能确定

考向三

解直角三角形的应用
< br>解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三 角函
数值解答问题.

典例
3
某山的山顶
B
处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠
BDC
为
30°
，山高
BC
为
100
米，点
E
距山脚
D
处
150
米，在点
E
处测得观光塔顶端
A
的仰角为
60°< br>，则观光塔
AB
的高度是


A
．
50
米

C
．
125
米

【答案】
A
B
．
100
米

D
．
150
米


【解析】如图，作
EF
⊥
AC
于
F
，
EG
⊥
DC
于
G
，在
Rt
△
DEG
中，
EG=
1
DE=75
，

2
∴
BF=BC
-
CF=BC< br>-
CE=100
-
75=25
，
EF=
BFBF
=25
3
，

tanBEFtan30
4

∵∠
AEF=60°
，

∴∠
A=30°
，

EF253

∴
AF =
tanA
3
=75
，

3
∴
AB=AF
-
BF=50
（米），故观光塔
AB
的高度为
50
米，

故选
A
．



3
．如图 ，某湖心岛上有一亭子
A
，在亭子
A
的正东方向上的湖边有一棵树
B
，在这个湖心岛的湖边
C
处
测得亭子
A
在北偏西
4 5
方向上，测得树
B
在北偏东
36
方向上，又测得
B< br>、
C
之间的距离等于
200
米，
求
A
、B
之间的距离（结果精确到
1
米）．

（参考数据：
2 1.414
，
sin360.588
，
cos360.809，
tan360.727
，
cot361.376
）









1
．如图，在△
ABC
中，若∠
C=90
°，则

5

A
．
sinA=
a
c
B
．
sinA=
b
c

C
．
cosA=
a
b
D
．
cosA=
b
a

2．计算
2sin45
1
2
cos60
的值为
A．
1
B．
1
2

13


2

13

C．
1
4
D．
3
4

3
．在
Rt△ABC
中，
C 90
，
B53
，若
BCm
，则
AB
的 长为

A
．
m
cos53
B
．
mcos53
C
．
msin53
D
．
mtan53

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，
A C
1
3
AB
，则cosA等于
A．
22
1
3
B． C．
22
D．
2
3
4

5．菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6 cm，那么tan
B
2
为
A．
5
5
3
B．
5
4
C．
3
34
D．
34
6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为

A．
2
5
2
B．
5
C．
10
5
D．
10
10

7
．在Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
，若
AB=10
，
sinA=
3
5
，则斜边上的高等于

A
．
5 B
．
4.8 C
．
4.6 D
．
4
6

8
．如图，在 边长为
1
的小正方形组成的网格中，△
ABC
的三个顶点均在格点上，则tan
∠
ABC
的值为


A
．
3

5
B
．
3

4
C
．
10

5
D
．
1
9．如图，某水库堤坝横截面迎水坡
AB
的坡度是
1:3
，堤坝高为
40m
，则迎水坡面的是

A．
80m

B．803m

C．40m

D．403m

10 ．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行
到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是

A．2海里
C．
2cos55
海里
B．
2sin55
海里
D．
2tan55
海里
11
．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动， 如图，小南在江边垂钓，河堤
AB
的坡度为
1∶2.4
，
AB
长为
3.9
米，
钓竿
AC
与水平线的夹角是
60°
，其长为
4.5
米，若钓竿
AC
与钓鱼线
CD
的夹角也是
60°
，则浮漂
D
与
河堤下端
B
之间的距离约为（ 参考数据：
3
≈1.732
）


A
．
1.732
米
B
．
1.754
米
C
．
1.766
米
D
．
1.823
米

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，BC=12，tanA=
12
，则sinB=___________．
5
7

13
．在△
ABC< br>中，
AB=2
5
，
AC=
5
，
tan
∠
B=
1
，则
BC
的长度为
__________
．

2
14．已知相邻的两根电线杆
AB
与
CD
高度相同，且相距
BC50m
．小王为测量电线杆的高度，在两根
电线杆之间某一处
E
架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为
45
、
23
，已知测
角仪
EF
高
1.5m
，则电线杆的高度约 为________
m
．（精确到
0.1m
，参考数据：
sin23 0.39
，
cos230.92
，
tan230.43
）

15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，ta n∠CBD=
（1）求边AB的长；
（2）求cos∠BAE的值．
1
．
2






16．如图是小强洗漱时 的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的
身高 为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾 成125°
角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直 线上)．
（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
(s in80°≈0.98，cos80°≈0.17，
2
≈1.41，结果精确到0.1cm)
8

1
．（
2019•
天津）
2sin60
的值等于

A
．
1
C
．
3



B
．
2

D
．
2
2
．（
2019•
怀化）已知∠
α
为锐角，且
sinα=
A
．< br>30
°

C
．
60
°



1
，则∠
α=
2
B
．
45
°

D
．
90
°

3
．（
2019
· 宜昌）如图，在
5×4
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1
，△ABC
的顶点都在这些小
正方形的顶点上，则
sin
∠
BAC< br>的值为


A
．
C
．
4

3
3

5
B
．
D
．
3

4
4

5


4
．（
2019< br>•广州）如图，有一斜坡
AB
，坡顶
B
离地面的高度
BC为
30 m
，斜坡的倾斜角是∠
BAC
，若

tan< br>∠
BAC=
2
，则此斜坡的水平距离
AC
为

5
9

A
．
75 m
C
．
30 m


B
．
50 m
D
．
12 m

5
．（
2019•
苏州 ）如图，小亮为了测量校园里教学楼
AB
的高度，将测角仪
CD
竖直放置在与 教学楼水平距
离为
183m
的地面上，若测角仪的高度为
1.5m
， 测得教学楼的顶部
A
处的仰角为
30
o
，则教学楼的高
度是

A

D
C
30°
B
A
．
55.5m
B
．
54m
C
．
19.5m
D
．
18m

6
．（
2019
•广西）小菁同学在 数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高
AB
为
1.5
米，她 先
站在
A
处看路灯顶端
O
的仰角为
35
°，再往前 走
3
米站在
C
处，看路灯顶端
O
的仰角为
65°，则路灯
顶端
O
到地面的距离约为（已知
sin35
°≈0.6
，
cos35
°≈
0.8
，
tan35
°≈
0.7
，
sin65
°≈
0.9
，
cos65
°≈
0.4
，
tan65
°≈
2.1
）


A
．
3.2
米

C
．
4.7
米



B
．
3.9
米

D
．
5.4
米


7
．（
201 9
·杭州）如图，一块矩形木板
ABCD
斜靠在墙边（
OC
⊥
OB
，点
A
，
B
，
C
，
D
，< br>O
在同一平面内），
已知
AB=a
，
AD=b
，∠< br>BCO=x
，则点
A
到
OC
的距离等于


A
．
asinx+bsinx
C
．
asinx+bcosx


B
．
acosx+bcosx
D
．
acosx+bsinx

10

8
．（
2019
•甘肃）在△
ABC
中，∠
C=9 0
°，
tanA=
3
，则
cosB=__________
．

3
9
．（
2019
•杭州）在直角三角形
AB C
中，若
2AB=AC
，则
cosC=__________
．
10
．（
2019
•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A
处测得正东方向上一座灯塔的最高点
C
的仰角
为
31
°，再向东继续航行
30m
到达
B
处，测得该灯塔的最高点
C
的仰角为
45
°，根据测得的数据，
计算这座灯塔的高度
CD
（结 果取整数）．参考数据：
sin31
°≈
0.52
，
cos31°≈
0.86
，
tan31
°≈
0.60
．











11
．（
2019
•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度
BC
，
AD=600
米，
AD
⊥
BC
，施工队站在点< br>D
处看
向
B
，测得仰角为
45
°，再由
D< br>走到
E
处测量，
DE
∥
AC
，
ED=500
米，测得仰角为
53
°，求隧道
BC
长．（
sin53°≈
434
，
cos53
°≈，
tan53
°≈）．< br>
553









11

12
．（
2019
• 河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝
塑像
DE
在高
55m
的小山
EC
上，在
A
处测得塑像 底部
E
的仰角为
34
°，再沿
AC
方向前进
21m
到达
B
处，测得塑像顶部
D
的仰角为
60
°，求炎 帝塑像
DE
的高度．

（精确到
1m
．参考数据：
sin34
°≈
0.56
，
cos34
°
=0.83
，
tan34
°≈
0.67
，
3
≈
1.73）








13． （2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的
范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）． 如图是某中学
的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏 步互相平行，AB=CD，
AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是 否符合规定．（结果精确到1mm，参
考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423 ）





14．（2019•江西）图1是一台实物 投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水
平桌面OE于点O，点B为旋转 点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直
于水平桌面OE，经测量：AO= 6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．
12

①填空：∠BAO=__________．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离． < br>（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠AB C的
大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36. 8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）













15
．（
2019
•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图
1
，明 朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理．如图
2
，筒车盛水桶 的运行轨迹是以轴心
O
为圆心的圆．已知圆心
在水面上方，且圆被水面截得的弦
AB
长为
6
米，∠
OAB=41.3
°，若点
C
为运行轨道的最高点（
C
，
O
的连线垂直于
AB
），求点< br>C
到弦
AB
所在直线的距离．

（参考数据：
sin 41.3
°≈
0.66
，
cos41.3
°≈
0.75，
tan41.3
°≈
0.88
）

13

16
．（< br>2019•
贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中
OP
为下水管道
口直径，
OB
为可绕转轴
O
自由转动的阀门 ．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河
水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河 水倒灌入城中．若阀门的直径
OB=OP=100cm
，
OA
为检
修 时阀门开启的位置，且
OA=OB
．

（
1
）直接写出阀门 被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠
POB
的取值范围；

（
2
）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达
OB
位置时，在点
A
处 测得俯角∠
CAB=67.5°
，若此时点
B
恰好与下水道的水平面齐平，求 此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

=0.92
，
cos6 7.5°=0.38
，
tan67.5°=2.41
，
sin22.5°=0 .38
，
cos22.5°=0.92
，
tan22.5°=0.41
）

（
2
=1.41
，
sin67.5°




变式拓展

14

1
．【答案】
A
【解析】在
Rt
△
ABC
中，∵∠
C=90
°，
AB=3
，
BC=2
，∴
sinA=
BC
AB
=
2
3
，故选
A
．< br>
2
．【答案】
A
【解析】∵
sinα=cos60
°
=
1
2
，∴
α=30
°．故选
A
．< br>
3
．【解析】如图，过点
C
作
CHAB
，垂足为 点
H
，


由题意，得
ACH45
，
BCH36
，
BC200
，

在
Rt
△
BHC
中，
sinBCH
BH
BC
，∴
sin 36
BH
200
，

∵
sin360.588
，∴
BH117.6
，
< br>又
cosBCH
HCHC
BC
，∴
cos36
200
，

∵
cos360.809
，∴
HC161.8
，
< br>在
Rt
△
AHC
中，
tanACH
AH
HC
，

∵
ACH45
，∴
AHHC
，∴
AH161.8
，

又
ABAHBH
，∴
A B279.4
，∴
AB279
（米）．

答：
A
、
B
之间的距离为
279
米．

考点冲关

1
．【答案】
A
【解析】
A
、
sinA=
a
c
，此选项正确；

B
、
sinA=
a
c
，此选项错误；

C
、
cosA=
b
c
，此选项错误；

15

D
、
cosA=
b
c
，此选项错误；

故选
A
．

2．【答案】D
【解析】原式=
2
2
2

1
2

1
13
2
=1–
4
=
4
，故选D．
3
．【答案】
A
【解析】如图，


∵
cos53°=
BC
AB
，

∴
AB=
m
cos53
，

故选
A
．

4．【答案】B
【解析】如图所示：

1
∵
AC
1
AB
3
AB
，∴ cosA=
AC
3
1
AB

AB

3．故选B．
5．【答案】A
【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=
1 1
2
AC=5cm，BO=
2
BD=3cm，
则tan
B< br>AO
2
=tan∠OBA

BO

5
3.故选A.
16

6．【答案】D
【解析】如图所示：连接BD，交AC于点E，
由正方形的性质可得：BD⊥AC，故BD=
2
，AB=
5
， 2
则sin∠BAC=
EB
AB

2
5
10
10
．故选D．
7
．【答案】
B
【解析】如图 所示，
CD
⊥
AB
，
CD
即为斜边上的高，


在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
，< br>AB=10
，
sinA=
3
5
，

∴
sinA=
BC
AB

BC
10
=
3
5
，即
BC=6
，

根据勾股定理得：
AC=
AB< br>2
BC
2
=8
，

∵
S
1
△
ABC
=
2
AC•BC=
1
2
CD•AB，

∴
CD=
ACBC68
AB

10< br>=4
．
8
，

17

故选
B
．

8
．【答案】
B
【解析】∠
ABC
所在的直角三角形的对 边是
3
，邻边是
4
，

所以，
tan
∠
ABC=
3
4
．

故选
B
．

9．【答案】A
【解析】∵堤坝横断面迎水坡 AB的坡比是1：
3
，∴
BC
AC

1
3
，
∵BC=40m，∴AC=40
3
m，∴AB=
AC
2
BC
2
=80m，故选A．
10．【答案】C
【解析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.

根据题意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里.
∵PC∥AB，∠APC=55°，∴∠PAB=55°.
∵在Rt△ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°，
∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）.
故选C.
11
．【答案】
C
【解析】如图，延长
CA
交
D B
延长线与点
E
，过点
A
作
AF
⊥
BE< br>于点
F
，

则∠
CED=60°
，

∵
AB
的坡比为
1
∶
2.4
，

18

∴
AF
BF

1
2.4

5
12
，则设
AF=5x
，
BF=12 x
，

∵
AB=3.9
米，

∴在直角△
ABF
中，由勾股定理知，
3.9
2
=25x
2
+144x
2
．

解得
x=
3
10
．
∴
AF=5x=
3
2
，
BF=12x=
18
5
，

33
∴
EF=
AF
tan60
< br>2
3

3
2
,AE
AF
sin60
2
3
3
，

2
∵∠
C=
∠
CED=60°
，

∴△
CDE
是等边三角形，

∵
AC=4.5
米，

∴
DE=CE=AC+AE=4.5+
3
（米），

则BD=DE
﹣
EF
﹣
BF=4.5+
3
﹣
3< br>2
-
18
5
≈1.766
（米），

答：浮 漂
D
与河堤下端
B
之间的距离为
1.766
米．

故选
C
．

12．【答案】
5
13
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=
12BC
5
，得
AC

12
5
，即
12
AC

12
5
，
∴AC=5．由勾股定理，得AB=
AC
2
 BC
2
=13
．所以sinB=
AC5
AB

13
，故答案为：
5
13
．
13
．【答案】
5
【解析】如图，过点
A
作
AD
⊥
BC
交于
D．


∵
tanB
AD
BD

1
2
，

设
AD=x
，则
BD=2x
，

∵
AB=2
5
，

19

∴在△
ABD
中，由勾股定理得（
2
5< br>）
2
=x
2
+
（
2x
）
2
，

解得，
x
1
=2
，
x
2
=< br>﹣
2
（不符合，舍去），

∴
BD=4
，

同理，在△
ACD
中，由勾股定理得，
DCAC
2
AD
2
541
，

∴
BC=DC+BD=4+1=5
，

故答案为：
5
．

14．【答案】
16.5

【解析】过点F作AB、CD的垂线，垂足为点G、H，如图所示：

设AG=x m，则有DH=x m，
∵
AGAGx
tan45

tan23 
BC
，∴tan23°=
50x
，解得x≈15.0，
∴AB=x+1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m．故答案是：16.5．
15．【解析】（1）连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=
1
2
BD=4，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=
OC
OB
=
1
2
，∴ OC=2，
∴AB=BC=
BO
2
CO
2
=
4
2
2
2
=2
5
；
（2）∵AE⊥BC，∴S< br>菱形
ABCD
=BC·AE=
1
2
BD·AC，
∵ AC=2OC=4，∴2
5
AE=
1
2
×8×4，∴AE=
85
5
，
2
∴BE=
AB
2
AE
2< br>=

25

2



85

65

5


=
5
，

20

65
∴cos∠ABE=
B E
AB
=
5
25
=
3
5
．
16．【解析】（1）如图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°–125°–10°=45°，
∴FM=66 cos45°=
332
≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5 cm．

（2）如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，
∴OH=24+15+17=56，OP=OH–PH=56–46.53=9.47≈9.5，
∴他应向前9.5cm．
直通中考

1
．【答案】
B
【解析】锐角三角函数计算，
2sin60
=2
×
3
2< br>=
3
，故选
A
．

2
．【答案】
A
【解析】∵∠
α
为锐角，且
sinα=
1
2
，∴∠
α=30
°．故选
A
．

3
．【答案】
D
【解析】如图，过
C
作
CD
⊥
AB
于
D< br>，则∠
ADC=90°
，∴
AC=
AD
2
CD2
=
3
2
4
2
=5
．
21

∴
sin
∠
BAC=
CDAC
=
4
5
．故选
D
．


4
．【答案】
A
【解析】∵∠
BCA=90
°，
tan
∠
BAC=
2
5
，
BC=30m
，∴
tan
∠
BAC=
2
5
＝
BC
AC
＝< br>30
AC
，解得
AC=75
，

故选
A
．

5
．【答案】
C
【解析】过
D
作
DEAB
交
AB
于
E
，
D EBC183
，在
Rt△ADE
中，
tan30
o
< br>AE
DE
，

AE183
3
3
18 (m)
，
AB181.519.5(m)
，故选
C
．

A

D
30°
E
C
B
6
．【答案】
C
【解析】如图，过点
O
作
OE
⊥
AC
于点
E，延长
BD
交
OE
于点
F
，


设
DF=x
，

∵
tan65
°
=
OF
DF
，∴
OF=xtan65
°，∴
BF=3+x
，

∵
tan35
°
=
OF
BF
，∴
OF=
（
3+x
）
tan35
°，∴
2.1x=0.7< br>（
3+x
），∴
x=1.5
，

∴
OF=1 .5
×
2.1=3.15
，∴
OE=3.15+1.5=4.65
≈
4.7
，故选
C
．

7
．【答案】
D
22

【解析】如图，过点
A
作
AE< br>⊥
OC
于点
E
，作
AF
⊥
OB
于点
F
，∵四边形
ABCD
是矩形，∴∠
ABC=90°
，
∵∠
ABC=
∠
AEC
，∠
BCO=x
，∴ ∠
EAB=x
，∴∠
FBA=x
，∵
AB=a
，
A D=b
，∴
FO=FB+BO=a
•
cosx+b
•
sin x
，

故选
D
．


8
．【答案】
1

2
1
3
，∴∠
A=30
°，∵∠
C=90
°，∴∠
B=60
°，∴
cos B=cos60
°
=
．

2
3
【解析】∵
tanA=
故答案为：
1
．

2
325

或
25
BC3x3

；

AC2x2
9
．【答案】
【解析】若∠
B=90
°，设
AB=x
，则AC=2x
，所以
BC=
(2x)
2
x
2
=
3
x
，所以
cosC=
若∠
A=90
°，设
AB=x
，则
AC=2x
，所以
BC=
(2x)
2
x
2
5x
，

所以
cosC=
AC2x25
；


BC5
5x
325
或．

25
综上所 述，
cosC
的值为
故答案为：
325
或．

25
10
．【解析】在
Rt
△
CAD
中，
tan
∠
CAD=
则
AD=
CD
，

AD
CD5
≈
CD
，

tan313
5
CD=CD+30
，解得
CD=45
，

3
在Rt
△
CBD
中，∠
CBD=45
°，∴
BD=CD< br>，

∵
AD=AB+BD
，∴
答：这座灯塔的高度
C D
约为
45 m
．

11
．【解析】如图，在
Rt
△
ABD
中，
AB=AD=600
，作
EM
⊥AC
于
M
，

23

则
AM=DE=500
，∴
BM=100
，

在< br>Rt
△
CEM
中，
tan53
°
=
CMEM
=
CM4
600
=
3
，∴
CM=800< br>，

∴
BC=CM
–
BM=800
–
100 =700
（米）．

答：隧道
BC
长为
700
米．

12
．【 解析】∵∠
ACE=90
°，∠
CAE=34
°，
CE=55m，

∴
tan
∠
CAE=
CE
AC
， ∴
AC=
CE
tan34

=
55
0.67
≈
82.1
（
m
），

∵
AB=21m
，∴
BC=AC
–
AB=61.1
（
m
），
在
Rt
△
BCD
中，
tan60
°
=
CD
BC
=
3
，

∴
CD=
3
B C
≈
1.73
×
61.1
≈
105.7
（
m
），

∴
DE=CD
–
EC=105.7
–55
≈
51
（
m
）
.
答：炎帝塑像
DE
的高度约为
51m
．

13．【解析】如图，连接
BD
，作
DM
⊥
AB
于点
M
，


∵
AB=CD
，
AB
，
CD
分别垂直平分踏步
EF
，
GH
，

∴
AB
∥
CD
，
AB=CD
，

∴四边形
ABDC
是平行四边形，

∴∠
C=
∠
ABD
，
AC=BD
，

∵∠
C=65
°，
AC=900
，

∴∠
ABD=65
°，
BD=900
，

∴
BM=BD
•
cos65
°
=900
×
0.423
≈
381
，
DM=BD
•
sin65
°
=900
×
0.906
≈
815
，

∵
381÷
3=127
，
120
＜
127
＜
150，

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，

∵
815
÷
3
≈
272
，
260
＜
272
＜
300
，

24

∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

14
．【解析】（< br>1
）①过点
A
作
AG
∥
BC
，如图
1
，则∠
BAG=
∠
ABC=70
°，


∵
BC
∥
OE
，∴
AG
∥
OE
，

∴∠
GAO=
∠
AOE=90
°，

∴∠BAO=90
°
+70
°
=160
°，故答案为：
16 0
；

②过点
A
作
AF
⊥
BC
于 点
F
，如图
2
，


则
AF=AB
•
sin
∠
ABF=30sin70
°≈
28.2
（cm
），

∴投影探头的端点
D
到桌面
OE
的距离为：

AF +AO
–
CD=28.2+6.8
–
8=27
（
cm
）；

（
2
）过点
DH
⊥
OE
于点H
，过点
B
作
BM
⊥
CD
，与
DC< br>延长线相交于点
M
，
过
A
作
AF
⊥
BM
于点
F
，如图
3
，


则∠
MBA=70
°，
AF=28.2cm
，
DH=6cm
，
B C=35cm
，
CD=8cm
，

∴
CM=AF+AO–
DH
–
CD=28.2+6.8
–
6
–
8= 21
（
cm
），

∴
sin
∠
MBC=< br>CM21
BC
=
35
=0.6
，

∴∠
MBC=36.8
°，

25

∴∠
ABC=
∠
ABM
–∠
MB C=33.2
°．

15
．【解析】如图，连接
CO
并延长 ，与
AB
交于点
D
，


∵
CD
⊥
AB
，∴
AD=BD=
1
2
AB=3
（米），< br>
在
Rt
△
AOD
中，∠
OAB=41.3
°，

∴
cos41.3
°
=
AD
OA
， 即
OA=
3
cos41.3

=
3
0.75
=4
（米），

tan41.3
°
=
OD
AD< br>，即
OD=AD
•
tan41.3
°
=3
×
0.88=2.64
（米），

则
CD=CO+OD=4+2.64=6.64
（米）．

16．【解析】（
1
）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠
POB
的 取值范围为：
90°≤
∠
POB≤0°
；
（
2
）如 图，∵∠
CAB=67.5°
，∴∠
BAO=22.5°
，

∵
OA=OB
，∴∠
BAO=
∠
ABO=22.5°
，∴ ∠
BOP=45°
，

∵
OB=100
，∴
OE=
2
2
OB=50
2
，

∴
PE=OP–OE=100–50
2
≈29.5cm
，

答：此时下水道内水的深度约为
29.5cm
．


26