感谢领导的短信-国庆节作文

第8练 正弦定理、余弦定理及应用
[明晰考情] 1.命题角度：考查正 弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换
相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定 理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查
时，中档难度.

考点一 正弦定理、余弦定理
方法技巧 (1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.
(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.
2
1.△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边 分别为
a
，
b
，
c
.已知
a
＝5，
c
＝2，cos
A
＝，则
b
等于( )
3
A.2B.3C.2D.3
答案 D
解析 由余弦定理，得
a
＝
b
＋
c
－2
bc
cos
A
，
2
22
即5＝
b
＋2－2×
b
×2×，
3
1

解得
b
＝3

b
＝－舍去

，故选D.
3

222
C
5
2.(201 8·全国Ⅱ)在△
ABC
中，cos＝，
BC
＝1，
AC
＝ 5，则
AB
等于( )
25
A.42
C.29
答案 A
B.30
D.25
C
5
解析 ∵cos＝，
25
3

5

22
C
∴cos
C
＝2 cos－1＝2×

－1＝－.
25

5


3

22222
在△
ABC
中，由余弦定理，得
A B
＝
AC
＋
BC
－2
AC
·
BC
·cos
C
＝5＋1－2×5×1×

－

＝32，

5

∴
AB
＝32＝42.
故选A.
3.(2017·全国Ⅱ)△
ABC
的内角
A
，
B
，C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若2
b
cos
B
＝
a
cos
C
＋
c
co s
A
，

则
B
＝________.
答案
π

3
解析 方法一 由2
b
cos
B
＝
a
cos
C
＋
c
cos
A
及正弦定理，得2sin
B
cos
B
＝sin
A
cosC
＋sin
C
cos
A
.
∴2sin
Bcos
B
＝sin(
A
＋
C
).
又
A
＋
B
＋
C
＝π，∴
A
＋
C
＝π －
B
.
∴2sin
B
cos
B
＝sin(π－< br>B
)＝sin
B
.
1
又sin
B
≠0，∴cos
B
＝.
2
π
又∵
B
∈(0，π)，∴
B
＝.
3
a
2
＋
b
2
－
c
2
c
2
＋
b
2
－
a
2
方法二 在△
ABC
中，由余弦定理，得
a
cos
C
＋
c
cos
A< br>＝
a
·＋
c
·＝
b
，
2
ab2
bc
1
∴条件等式变为2
b
cos
B
＝b
，∴cos
B
＝.
2
π
又0＜
B
＜π，∴
B
＝.
3
4.在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对 边分别为
a
，
b
，
c
，若
a
＝3
b
＋3
c
－23
bc
sin
A
，则
C＝________.
答案
π

6
222
222
解析 由余弦定理，得
a
＝
b＋
c
－2
bc
cos
A
，
所以
b< br>＋
c
－2
bc
cos
A
＝3
b
＋3
c
－23
bc
sin
A
，
2222
b< br>2
＋
c
2
3sin
A
－cos
A
＝ ，
b
，
c
>0，
bc

π

b
＋
c
＝
c
＋
b
≥2，当且仅当
b
＝
c
时，等号成立， 2sin

A
－

＝
6

bcbc

ππ2π
因此
b
＝
c< br>，
A
－＝，所以
A
＝，
623
2π
π－
3
π
所以
C
＝＝.
26
考点二 与三角形的面积有关的问题
要点重组 三角形的面积公式
1 11
(1)
S
＝
ah
a
＝
bh
b
＝
ch
c
(
h
a
，
h
b
，
h
c
分别表示
a
，
b
，
c
边上的高).
222
111
(2)
S
＝
ab
sin
C< br>＝
bc
sin
A
＝
ca
sin
B
.
222
1
(3)
S
＝
r
(
a
＋< br>b
＋
c
)(
r
为△
ABC
内切圆的半径).
2
22

5.(2018·全国Ⅲ)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< br>b
，
c
.若△
ABC
的面积为
则
C
等于( )
π
A.
2
π
C.
4
答案 C
1
a
＋
b
－
c
2
ab
cosC
解析 ∵
S
＝
ab
sin
C
＝＝
244
1
＝
ab
cos
C
，
2
∴sin
C
＝cos
C
，即tan
C
＝1.
π
又∵
C
∈(0，π)，∴
C
＝.
4
1
6.钝角三角形
ABC
的面积是，
AB
＝1，
BC
＝2，则
AC
等于( )
2
A.5
C.2
答案 B
111
解析 ∵
S
＝
AB
·
BC
sin< br>B
＝×1×2sin
B
＝，
222
∴sin
B＝
2π3π
，∴
B
＝或.
244
B.5
D.1
222
a
2
＋
b
2
－
c
2
4
，
B.
D.
π

3
π

6
3π
222
当
B
＝时， 根据余弦定理有
AC
＝
AB
＋
BC
－2
AB
·
BC
cos
B
＝1＋2＋2＝5，∴
AC
＝5，此时< br>4
△
ABC
为钝角三角形，符合题意；
π
222
当
B
＝时，根据余弦定理有
AC
＝
AB
＋
BC
－2
AB
·
BC
cos
B
＝1＋2－2＝1，
4
∴
AC
＝1，此时
AB
＋
AC
＝
BC< br>，△
ABC
为直角三角形，不符合题意.故
AC
＝5.
7. (2018·全国Ⅰ)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.已知
b
sin
C
＋
c
sin
B
＝
4
a
sin
B
sin
C
，
b
＋
c
－
a
＝8，则△
ABC
的面积为________.
答案
23

3
222
222
解析 ∵
b
sin
C
＋
c
sin
B
＝4
a
sin
B
sin
C
，
∴由正弦定理得
sin
B
sin< br>C
＋sin
C
sin
B
＝4sin
A
sin
B
sin
C
.

1
又sinB
sin
C
＞0，∴sin
A
＝.
2
b2
＋
c
2
－
a
2
84
由余弦定理得c os
A
＝＝＝＞0，
2
bc
2
bcbc
∴cos
A
＝
3483
，
bc
＝＝，
2cos
A
3
1183123
∴
S
△
ABC
＝
bc< br>sin
A
＝××＝.
22323
8.在△
ABC
中 ，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，< br>b
，
c
，已知△
ABC
的面积为315，
b
－
c
＝2，
1
cos
A
＝－，则
a
的值为 ________.
4
答案 8
1π15
解析 ∵cos
A
＝－，＜
A
＜π，∴sin
A
＝，
4 24
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝
bc
×
2
1
2
1
2
15
＝315，∴< br>bc
＝24，
4
222
又
b
－
c
＝2，∴
b
－2
bc
＋
c
＝4，∴
b
＋< br>c
＝52.
由余弦定理，得
a
＝
b
＋
c< br>－2
bc
cos
A

222

1

＝52－2×24×

－

＝64，

4

∴
a
＝8.
考点三 解三角形中的最值(范围)问题
方法技巧 由余弦定理中含两边和的平方(如
a
＋< br>b
－2
ab
cos
C
＝
c
)且
a< br>＋
b
≥2
ab
，因此在
解三角形中，若涉及已知条件中含边长 之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用
S
1
＝
ab
sin
C
型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.
2
9.在 △
ABC
中，
AC
·
AB
＝|
AC
－AB
|＝3，则△
ABC
的面积的最大值为( )
A.21
C.
21

2
B.
321

4
22222
→→→→
D.321
答案 B
解析 设角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
∵
AC
·
AB
＝|
A C
－
AB
|＝3，即
bc
cos
A
＝3，
a
＝3，
→→→→
b
2
＋
c
2
－
a
2
93cos
A
∴cos
A
＝≥1－＝1－，
2
bc
2
bc
2

22121∴cos
A
≥，∴0＜sin
A
≤，∴0＜tan
A
≤ .
552
∴△
ABC
的面积
S
＝
bc
sin
A
＝tan
A
≤×
1
2
3
2
3
2
21321
＝，
24
321
故△
ABC
面积的最大值为.
4
1< br>2
c
10.已知
a
，
b
，
c
分别为 △
ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边，其 面积满足
S
△
ABC
＝
a
，则的最大
4
b
值为( )
A.2－1
C.2＋1
答案 C
1
2
1
222
解析 根据题意，有
S
△
A BC
＝
a
＝
bc
sin
A
，即
a
＝2
bc
sin
A
.应用余弦定理，可得
b
＋
c< br>－
42
2
bc
cos
A
＝
a
＝2< br>bc
sin
A
，令
t
＝，于是
t
＋1－2< br>t
cos
A
＝2
t
sin
A
.于是2
t
sin
A
＋2
t
cos
A
＝
t
＋
11

π

1，所以22sin

A
＋

＝
t
＋，从而
t
＋≤22，解得
t
的 最大值为2＋1.
4

tt

11.已知
a
，< br>b
，
c
分别是△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，满足cos
A
sin
B
sin
C
＋cos
B
sin
A
sin
C
＝
2c os
C
sin
A
sin
B
，则
C
的最大值 为______.
答案
π

3
2
B.2
D.2＋2
c
b
22
解析 由正弦定理，得
bc
cos
A
＋
ac
cos
B
＝2
ab
cos
C
，
由余弦定理，得
b
2
＋
c
2－
a
2
c
2
＋
a
2
－
b2
a
2
＋
b
2
－
c
2
bc< br>·＋
ac
·＝2
ab
·，
2
bc
2
ac
2
ab
∴
a
＋
b
＝2
c
，
222
a
2
＋
b
2
－
c
2
∴cos
C
＝
2
ab
a
2
＋
b
2
－
a
2
＋
b
2

＝
2ab

1
2
a
2
＋
b
2
2< br>ab
1
＝≥＝，
4
ab
4
ab
2
当且仅当
a
＝
b
时，取等号.
π
∵0<
C
<π，∴0<
C
≤，
3

π
∴
C
的最大值为.
31
12.在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
acos
B
－
b
cos
A
＝
c
，当ta n(
A
－
B
)
2
取最大值时，角
B
的值为 ________.
答案
π

6
1111
解析 由a
cos
B
－
b
cos
A
＝
c
及正弦定理，得sin
A
cos
B
－sin
B
cosA
＝sin
C
＝sin(
A
＋
B
)＝
2222
(sin
A
cos
B
＋cos
A
sin< br>B
)，整理得
sin
A
cos
B
＝3cos
A
sin
B
，即tan
A
＝3tan
B
，
易得tan
A
>0，tan
B
>0.
tan
A< br>－tan
B
2tan
B
223
所以tan(
A
－
B
)＝＝≤＝，
2
＝
1＋tan
A
tan< br>B
1＋3tan
B
1
23
3
＋3tan
B< br>tan
B
13π
当且仅当＝3tan
B
，即tan
B
＝时，tan(
A
－
B
)取得最大值，所以
B
＝.
tan
B
36

1.在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，且
a
＞
b
＞
c
，
a
＜
b
＋
c
，则角
A
的取值
范围是( )
A.

C.

222

π
，π




2


π
，
π




32

B.


π
，
π




42


π
D.

0，


2

答案 C
解析 因为
a
＜
b
＋
c
，
222
b
2
＋
c
2
－
a
2
所以cos
A
＝＞0，所以
A
为锐角.
2
bc
又因为
a＞
b
＞
c
，所以
A
为最大角，

π π

所以角
A
的取值范围是

，

. < br>
32

2.在△
ABC
中，三内角
A
，< br>B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c< br>，面积为
S
，若
S
＋
a
＝(
b
＋< br>c
)，则cos
A
等于( )
4
A.
5
4
B.－
5
22

15
C.
17
答案 D
15
D.－
17
1

1

22222
解析 由
S＋
a
＝(
b
＋
c
)，得
a
＝
b
＋
c
－2
bc
·

sin
A
－ 1

.由余弦定理，可得sin
A
－1＝
4

4< br>
15
22
cos
A
，结合sin
A
＋co s
A
＝1，可得cos
A
＝－.
17
3.在△
A BC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，记
S
为△
ABC
的 面积，若
A
＝60°，
b
33
＝1，
S
＝，则c
＝________，cos
B
＝________.
4
答案 3
57

14
33113
解析 因为< br>A
＝60°，
b
＝1，
S
＝＝
bc
sin< br>A
＝×1×
c
×，解得
c
＝3.
4222
由余弦定理，可得
a
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos
A
＝
1
1＋9－2× 1×3×＝7，
2
a
2
＋
c
2
－
b2
7＋9－157
所以cos
B
＝＝＝.
2
ac
2×7×3
14
解题秘籍 (1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.
(2)对已知关系式进行转化时 ，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以同一个式
子.

1.在△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a
＝3，
b
＝ 2，
B
＝45°，则角
A
等
于( )
A.60°
C.90°
答案 D
B.120°
D.60°或120°
ab
323
解析 由正弦定理可知＝，即＝＝2，所以sin
A
＝， 因为
a
>
b
，所以
sin
A
sin
Bsin
A
sin45°2
A
>45°，所以
A
＝60° 或
A
＝120°.故选D.
sin
C
5
22
2. 在△
ABC
中，若＝3，
b
－
a
＝
ac
， 则cos
B
的值为( )
sin
A
2

1111
A.B.C.D.
3254
答案 D
5
222
解析 由题意知，
c
＝3
a
，
b
－
a
＝
ac
＝
c
－2
ac
cos
B
，
2
c
2
－
ac
9
a
2
－×
a
×3
a
所以cos
B
＝
2ac
＝
5
2
5
2
2
a
×3
a
1
＝.
4
3.已知在△
ABC
中，(
a
＋
b
＋
c
)(sin
A
＋sin
B
－si n
C
)＝
a
sin
B
，其中
A
，
B
，
C
为△
ABC
的内角，
a
，
b
，
c
分别为
A
，
B
，
C
的对边，则C
等于( )
π
A.
3
C.
3π

4
B.
D.
2π

3
5π

6
答案 B
解析 因为(
a
＋
b
＋
c< br>)(sin
A
＋sin
B
－sin
C
)＝
a
sin
B
，
所以由正弦定理，可得(
a
＋
b＋
c
)(
a
＋
b
－
c
)＝
a b
，
1
222
整理得
c
＝
a
＋
b
＋
ab
，所以cos
C
＝－，
2
因为
C
∈(0，π)，
2π
所以
C
＝.故选B.
3
4.在△
ABC中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
a
＝1，2
b
－3
c
＝2
a
cos
C
，sin
C
＝
A.< br>C.
3
，则△
ABC
的面积为( )
2
3

2
33
或
24
B.
3

4
3

2
D.3或
答案 C
解析 因为2
b
－3
c
＝2
a
cos
C
， 所以由正弦定理可得2sin
B
－3sin
C
＝2sin
Acos
C
，
所以2sin(
A
＋
C
)－3s in
C
＝2sin
A
cos
C
.
所以2cos< br>A
sin
C
＝3sin
C
，又sin
C
≠0 ，
所以cos
A
＝
因为sin
C
＝
3
， 因为
A
∈(0°，180°)，所以
A
＝30°，
2
3
，所以
C
＝60°或120°.
2

当
C
＝60°时，
A
＝30° ，所以
B
＝90°，又
a
＝1，
133
所以△
ABC
的面积为×1×2×＝；
222
当< br>C
＝120°时，
A
＝30°，所以
B
＝30°，又
a
＝1，
133
所以△
ABC
的面积为×1×1×＝，故选C.
224
5.在△
ABC
中，角
A
，
B
，< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且tanB
＝
等于( )
A.
3

2
B.3－1
D.2－3
2－3
→→
1
22
，
BC
·
BA
＝，则tan
B
a
＋
c
－
b
2
2
C.2
答案 D
解析 由余弦定理，得
a
＋
c
－
b
＝2
ac
cos
B
，
1
→→
1
再由
BC
·
BA
＝，得
ac
co s
B
＝，
22
所以tan
B
＝
2－32－3
＝2－3.故选D. < br>22
＝
a
＋
c
－
b
1
2×
2
2
222
6.(2017·山东)在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
.若△
ABC
为锐角三角形，且
满足sin
B
(1 ＋2cos
C
)＝2sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
，则下列等式成立的是( )
A.
a
＝2
b

C.
A
＝2
B

答案 A
解析 ∵等式右边＝s in
A
cos
C
＋(sin
A
cos
C
＋ cos
A
sin
C
)＝sin
A
cos
C
＋sin(
A
＋
C
)＝sin
A
cos
C
＋sin
B
，
等式左边＝sin
B
＋2sin
B
cos
C
， < br>∴sin
B
＋2sin
B
cos
C
＝sin
A
cos
C
＋sin
B
.
由cos
C
＞0，得sin
A
＝2sin
B
.
根据正弦定理，得
a
＝2
b
.
7.如图所示，一学生在河 岸紧靠河边笔直行走，在
A
处时，经观察，在河对岸有一参照物
C
与学生前进 方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的
宽度为( )
B.
b
＝2
a

D.
B
＝2
A

A.50(3＋1)m
C.502m
答案 A
解析 在△
AB C
中，∠
BAC
＝30°，∠
ACB
＝75°－30°＝45°，< br>AB
＝200，由正弦定理得
BC
＝
200×sin30°
＝ 1002(m)，
sin45°
2＋6
＝50(3＋1)(m).
4
B.100(3＋1)m
D.1002m
所以河的宽度为
BC
sin75°＝1002×
8.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA
，
OB
，再修建一长度为
AB
的围栏，围栏的造价与
AB
的长度成正比.现已知墙角∠
AOB
＝120°，当△
AOB
的面积为3时，
就可起到保护作用.则当围栏的造价最低时，∠
ABO
等于( )

A.30°
C.60°
答案 A
解析 只要
AB< br>的长度最小，围栏的造价就最低.设
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，则由余弦定理得
AB
＝
a
＋
b
－2
ab
cos120°＝
a
＋
b
＋
ab
≥2
ab
＋
ab
＝3
ab
(当且仅当
a
＝b
时取等号)，又
S
△
AOB
＝
222
22< br>B.45°
D.90°
1
2
ab
sin120°＝3，所 以
ab
＝4.故
AB
2
≥12，即
AB
的最小值为 23.由
a
＝
b
及3
ab
＝12，得
a
＝
b
＝2.所以∠
ABO
＝∠
BAO
，故∠
ABO< br>＝30°，故选A.
9.在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
3
若
c
＝1，
B
＝45°，cos
A
＝，则
b
＝________.
5
5
答案
7
3
解析 因为cos
A
＝，
5

所以sin
A
＝1－cos
A
＝
2

3< br>
2
4
1－

＝，

5
5
所以sin
C
＝sin[π－(
A
＋
B
)] ＝sin(
A
＋
B
)
4372
＝sin
A
cos
B
＋cos
A
sin
B
＝cos45°＋sin4 5°＝.
5510
由正弦定理＝，
sin
B
sin
C< br>得
b
＝
bc
c
·sin
B
15
＝× sin45°＝.
sin
C
7
72
10
10.已知
a
，
b
，
c
分别为△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
a
＝2，且(2＋
b
)(sin
A
－sin
B
)＝
(
c
－b
)sin
C
，则△
ABC
面积的最大值为________.
答案 3
22
解析 由正弦定理得(2＋
b
)(
a
－
b
)＝
c
(
c
－
b
)，即(
a
＋
b
)·(
a
－
b
)＝(
c
－
b
)·
c
，即
b
＋
c
－
b
2
＋
c
2
－
a
2
1
a
＝
bc
，所以cos
A
＝＝，
2
bc
2
2
因为
A
∈(0，π)，所以
A
＝
π
.
3
113
222
又
b
＋
c
－
a
＝
bc
≥2
bc
－4，即
bc
≤4，故
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
≤×4×＝3，
222
当 且仅当
b
＝
c
＝2时，等号成立，则△
ABC
面积的最大值 为3.
11.在△
ABC
中，
B
＝
C
＝30°，
AB
＝
AC
＝1，点
E
是线段
AB
的中点 ，
CE
的中垂线交线段
AC
于
点
D
，则
A D
＝________.
答案
3

10
解析 如图，设
AD
＝
t
，∵
CE
的中垂线交线段
AC
于 点
D
，∴
DE
＝
CD
＝1－
t
.

1
∵
B
＝
C
＝30°，∴
A
＝ 120°，又
AE
＝，
2
∴在△
ADE
中，由余弦定理，得
DE
2
＝< br>AE
2
＋
AD
2
－2
AE
·
AD< br>cos
A
，
1
2
1

1

2
即(1－
t
)＝＋
t
－2××
t
×

－

，
42

2

53
化简得
t
＝，
24

3
∴
t
＝.
10
12.在△
ABC
中，三个内角
A
，
B
，
C
对应的边分别为
a
，
b
，
c
，且
c
＝1 ，
a
cos
B
＋
b
cos
A
＝2
c
cos
C
，
设
h
是边
AB
上的高，则< br>h
的最大值为________.
答案
3

2
解析 由正弦定理及题意，得sin
A
cos
B
＋sin
B
cos
A
＝2sin
C
cos
C
，即s in
C
＝2sin
C
cos
C
，
13
又 sin
C
≠0，∴cos
C
＝，可解得sin
C
＝. 22
1
a
＋
b
－1
又cos
C
＝＝，
22
ab
∴
ab
＝
a
＋
b
－1≥ 2
ab
－1，
即
ab
≤1，当且仅当
a
＝
b
时等号成立， 13
∴
S
△
ABC
＝
ab
sin
C< br>≤.
24
113
又
h
是边
AB
上的高，< br>S
△
ABC
＝
ch
＝
h
≤，
224
∴
h
≤
33
，则
h
的最大值为.
22
22
22