消防小知识-法国驻华大使馆微博

2020
年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷


一、填空题：本大题共
14
小题，每小题
5
分，共计
70
分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．

1
．
2
，3
，
4
，
5
}，
A=
{
1
，
2
}，
B=
{
2
，
3
，
4
}，
=
．

已知全集
U=
{
1，那么
A
∪
（∁
U
B
）
2
．已知（< br>a
﹣
i
）
2
=2i
，其中
i
是虚数 单位，那么实数
a=
．

3
．从某班抽取
5< br>名学生测量身高（单位：
cm
），得到的数据为
160
，
16 2
，
159
，
160
，
159
，
则该组数 据的方差
s
2
=
．

4
．同时抛掷三 枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率
为 ．
5
．若双曲线
x
2
+
my
2
=1
过点 （﹣，
2
），则该双曲线的虚轴长为 ．

6
．函数
f
（
x
）
=
的定义域为 ．

7
．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的
x=15
，则实数
a
等
于 ．

8
．若
tan< br>α
=
，
tan
（
α
﹣
β
）
=
﹣，则
tan
（
β
﹣
2
α
）
=
．

9
．若直线
3x
+
4y
﹣
m=0
与圆
x
2
+
y
2
+
2x
﹣
4y
+
4=0
始终有公共点，则实数
m
的取值范 围
是 ．

10
．设棱长为
a
的正方体的体积和 表面积分别为
V
1
，
S
1
，底面半径高均为
r的圆锥的体积
和侧面积分别为
V
2
，
S
2
，若
=
，则的值为 ．

11
．已知函数
f
（
x
）
=x
3
+
2x
，若
f
（< br>1
）+
f
（
log3
）＞
0
（
a< br>＞
0
且
a
≠
1
），则实数
a
的取值
范围是 ．

12
．
S
m
=0
，设公差为
d
（
d
为奇数，且
d
＞
1
）的 等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
m
﹣
1
=
﹣
9
，
其中
m
＞
3
，且
m
∈
N
*
，则
an
=
．

13
．已知函数
f
（< br>x
）
=x
|
x
2
﹣
a
|，若存在< br>x
∈[
1
，
2
]，使得
f
（
x）＜
2
，则实数
a
的取值范围
是 ．

第1页（共23页）

14
．在平面直角坐标系
x Oy
中，设点
A
（
1
，
0
），
B
（
0
，
1
），
C
（
a
，
b
），
D
（
c
，
d
），若不
等式
2
≥（
m
﹣
2
）
•
+
m
（
•）
•
（
•
）对任何实数
a
，
b
，c
，
d
都成立，则
实数
m
的最大值是 ．



二、解答题：本大题共
6
小题，共计
90
分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
< br>15
．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，已知向量
=
（
cosB
，
cosC
），
=
（
4a﹣
b
，
c
），且∥．

（
1
）求
cosC
的值；

（
2
）若
c=
，△
ABC
的面积
S=
，求
a
，
b
的值．

AB
，
D
是
AB
的中点
16
．在直三棱 柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，< br>CA=CB
，
AA
1
=
（
1
）求证：
BC
1
∥平面
A
1
CD
；

（
2
）若点
P
在线段
BB
1
上，且
BP=BB
1
，求证：
AP
⊥平面
A
1
CD
．


17
．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台 净化器的
利润为
x
（单位：元，
x
＞
0
）时，销售 量
q
（
x
）（单位：百台）与
x
的关系满足：若
x
不超
过
20
，则
q
（
x
）
=；若
x
大于或等于
180
，则销售为零；当
20
≤x
≤
180
时．
q
（
x
）
=a
﹣
b
（
a
，
b
为实常数）．

（
1
）求函数
q
（
x
）的表达式；
（
2
）当
x
为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值 ．

18
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左，右焦点分别是
F
1
，
F
2
，右顶点、上顶点分别为
A
，
B
，原点
O
到直线
AB
的距离等于
ab
﹒

（
1
）若椭圆
C
的离心率等于，求椭圆
C
的方程；

（
2
）若过点（
0
，
1
）的直线
l
与椭圆有且只有一个公共点
P
，且
P
在第二象限，直线
PF
2
交
y
轴于点
Q
﹒试判断以
PQ
为直 径的圆与点
F
1
的位置关系，并说明理由﹒

19
．已知数 列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=3
，且对任意的正整数
n
，都有
S
n+1< br>=
λ
S
n
+
3
n+1
，其中
常数< br>λ
＞
0
．设
b
n
=

（
n
∈
N
*
）﹒

第2页（共23页）

（
1
）若
λ
=3
，求数列{
bn
}的通项公式；

（
2
）若
λ
≠
1
且
λ
≠
3
，设
c
n
=a
n
+（
n
∈
N
*
），证明数列{
c
n
}是 等比数列；

（
3
）若对任意的正整数
n
，都有
b
n
≤
3
，求实数
λ
的取值范围．

20< br>．已知函数
f
（
x
）
=a
•
e
x< br>+
x
2
﹣
bx
（
a
，
b
∈
R
，
e=2.71828
…
是自然对数的底数），其导函数为
y=f
′
（
x
）．

（
1
）设
a=
﹣
1
，若函数
y=f
（
x
）在
R上是单调减函数，求
b
的取值范围；

（
2
）设
b=0
，若函数
y=f
（
x
）在
R
上有且只有一 个零点，求
a
的取值范围；

（
3
）设
b=2，且
a
≠
0
，点（
m
，
n
）（
m
，
n
∈
R
）是曲线
y=f
（
x
）上的一个定点，是否存在
实数
x
0
（
x
0
≠< br>m
），使得
f
（
x
0
）
=f
′（）（
x
0
﹣
m
）+
n
成立？证明你的结论．



【选做题】在
A
，
B
，
C
，
D
四小题中只能选做两题，每小题
0
分，共计
20
分．请在答题卡
指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
．[选修
4-1
：几何证明
选讲]

21
．已知△
ABC
内接于⊙
O
，
BE
是⊙
O
的直径，
AD
是
BC
边上的高．求证：
BA
•
AC=BE
•
AD
．



B
．[选修
4-2
：矩阵与变换]

22
．已知变 换
T
把平面上的点（
3
，﹣
4
），（
5
，
0
）分别变换成（
2
，﹣
1
），（﹣
1
，
2
），试求
变换
T
对应的矩阵
M
．



C
．[选修
4-4
：坐标系与参数方程]
< br>23
．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
过点
M< br>（
1
，
2
），倾斜角为﹒以坐标原点
O
为极
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
B
两点，
ρ
=6cos
θ
﹒若直线
l
与圆
C
相交于
A
，点，圆
C
：
求
MA
•
MB
的值．



D
．[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．设x
为实数，求证：（
x
2
+
x
+
1
）
2
≤
3
（
x
4
+
x
2
+
1
）﹒



【必做题】第
22
题、第< br>23
题，每题
10
分，共计
20
分．请在答题卡指定区域内作 答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25
．一个口袋中装有 大小相同的
3
个白球和
1
个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，
若有
3
次摸到红球即停止．

（
1
）求恰好摸
4
次停止的概率；

（
2
）记
4
次之内（含
4
次）摸到红球的次数为
X
，求 随机变量
X
的分布列．

第3页（共23页）

< br>26
．设实数
a
1
，
a
2
，
…，
a
n
满足
a
1
+
a
2
+< br>…
+
a
n
=0
，且|
a
1
|+|< br>a
2
|+
…
+|
a
n
|≤
1
（
n
∈
N
*
且
n
≥
2
），令
b
n
=


（
n
∈
N*
）．求证：|
b
1
+
b
2
+
…+
b
n
|≤（
n
∈
N
*
）．

第4页（共23页）

2020
年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析



一、填空题：本大题共
14小题，每小题
5
分，共计
70
分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．

1
．已知全集
U=
{
1
，
2，
3
，
4
，
5
}，
A=
{
1
，
2
}，
B=
{
2
，
3
，
4
}，那么
A
∪
（∁
U
B
）
=
{
1
，
2
，
5
} ．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】先求出
B
的补集，再 求出其与
A
的并集，从而得到答案．

【解答】解：∵
U=
{
1
，
2
，
3
，
4
，
5
}，又
B=
{
2
，
3
，
4
}，

∴（
C
U
B
）
=
{
1
，
5
}，

又
A=
{
1
，
2
}，∴
A
∪
（
C
U
B
）
=
{
1
，
2
，
5
}．

故答案为：{
1
，
2
，
5
}．



2
．已知（
a
﹣
i
）
2
=2i
，其中
i
是虚数单位，那么实数
a=
﹣
1
．

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．

【解答】解：
a2
﹣
2ai
﹣
1=a
2
﹣
1
﹣
2ai=2i
，
a=
﹣
1
故答案为：﹣
1


3
．从某班抽取
5
名学生测量身高（单位：
cm
），得到的数据为
160
，
162
，
159
，
16 0
，
159
，
则该组数据的方差
s
2
=
．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．

【解答】解：数据
160
，
162
，
159
，
160
，
159的平均数是：
160
，

则该组数据的方差
s
2
=
（
0
2
+
2
2
+
1
2
+
0
2
+
1
2
）
=
，

故答案为：．



4
．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为
．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】由已知条件利用
n
次独立重复试验概率计算公式求解．

【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，

∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：

p=
故答案为：．

第5页（共23页）

=
．

5
．若双曲线
x
2
+
my
2
=1
过点（﹣，
2
），则该双曲线的虚轴长为
4
．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．

【解答】解：∵双曲线x
2
+
my
2
=1
过点（﹣，
2
），

∴
2
+
4m=1
，即
4m=
﹣
1
，

m=
﹣，

则双曲线的标准范围为
x
2
﹣
则
b=2
，

即双曲线的虚轴长
2b=4
，

故答案为：
4
．



6
．函数
f
（
x
）
=
的定义域为 （0
，
1
）
∪
（
1
，
2
） ．

=1
，

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】由对数式的真数大于
0
，分式的分母不等于
0
联立不等式组求得答案 ．

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：
0
＜
x
＜
2
，且
x
≠
1
．

∴函数
f（
x
）
=
的定义域为：（
0
，
1
）< br>∪
（
1
，
2
）．

故答案为：（
0
，
1
）
∪
（
1
，
2
）．



7
．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的
x=15
，则实数
a
等于
1
．

【考点】程序框图．

第6页（共23页）

【分 析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
x
的值，
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得
a
的值．

【解答】解：模拟执行程序，可得

n=1
，
x=a
满足 条件
n
≤
3
，执行循环体，
x=2a
+
1
，
n=2
满足条件
n
≤
3
，执行循环体，
x=2
（
2a
+
1
）+
1=4a
+
3
，
n=3
满足条件
n
≤
3
，执行循环体，
x=2< br>（
4a
+
3
）+
1=8a
+
7
，< br>n=4
不满足条件
n
≤
3
，退出循环，输出
x的值为
15
．

所以：
8a
+
7=15
，解得：
a=1
．

故答案为：
1


8
．若
tan
α=
，
tan
（
α
﹣
β
）
=
﹣ ，则
tan
（
β
﹣
2
α
）
=
﹣ ．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】根据题意，先有诱导公式可 得
tan
（
β
﹣
2
α
）
=
﹣tan
（
2
α
﹣
β
），进而结合正切的和角
公 式可得
tan
（
β
﹣
2
α
）
=
﹣
tan
（
2
α
﹣
β
）
=
﹣
tan
[（
α
﹣
β
）+
α
]
=
﹣
代入数据计算可得答案．

【解答】解：根据题意，
tan
（β
﹣
2
α
）
=
﹣
tan
（
2
α
﹣
β
）
=
﹣
tan
[（
α﹣
β
）+
α
]
=
﹣
，
=
﹣< br>=
﹣；

故答案为：﹣．



9
．若直线
3x
+
4y
﹣
m=0
与圆
x
2< br>+
y
2
+
2x
﹣
4y
+
4=0始终有公共点，则实数
m
的取值范围是 [
0
，
10
] ．

【考点】直线与圆的位置关系．

2
）
2
）【 分析】圆
x
2
+
y
2
+
2x
﹣
4 y
+
4=0
的圆心（﹣
1
，，半径
r=1
，求出圆 心（﹣
1
，到直线
3x
+
4y
﹣
m=0
的 距离
d
，由直线
3x
+
4y
﹣
m=0
与圆
x
2
+
y
2
+
2x
﹣
4y
+
4=0
始终有公共点，得
d
≤
r
，由
此能求出 实数
m
的取值范围．

【解答】解：圆
x
2
+y
2
+
2x
﹣
4y
+
4=0
的圆心（ ﹣
1
，
2
），半径
r=
圆心（﹣
1
，2
）到直线
3x
+
4y
﹣
m=0
的距离
d==
，

=1
，

∵直线
3x
+4y
﹣
m=0
与圆
x
2
+
y
2
+
2x
﹣
4y
+
4=0
始终有公共点，

∴，

解得
0
≤
m
≤
10
，

∴实数
m
的取值范围是[
0
，
10
]．

故答案为：[
0
，
10
]．



第7页（共23页）

10
．设棱长为
a
的正方体的体积和表面积分别为
V
1
，
S
1
，底面半径高均 为
r
的圆锥的体积
和侧面积分别为
V
2
，
S
2
，若
=
，则的值为 ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】根据体积比得出
a
和
r
的关系，代入面积公式求出面积比即可．

【解答】解：圆锥的母线
l=
V
1
=a
3
，
S
1
=6a
2
，
V
2
=
=
，
S
2
=
π
rl=
r
．

π
r
2
．

∵
==
，∴
a=r
．

∴
==
．

故答案为：


．

11
．已知函数
f
（
x
）
=x
3
+
2x
，若
f
（
1
）+
f
（
lo g
范围是 （
0
，
1
）
∪
（
3
， +
∞
） ．

【考点】函数的值．

3
）＞
0
（
a
＞
0
且
a
≠
1
），则实 数
a
的取值
=x
3
+
2x
是奇函数，【分析】可判 断函数
f
（
x
）且在
R
上是增函数，从而化简
f< br>（
1
）+
f
（
log
3
）＞
0为
log3
＞﹣
1
；从而解得．

【解答】解：∵函数
f
（
x
）
=x
3
+
2x
是奇函数 ，且在
R
上是增函数，

∵
f
（
1
）+< br>f
（
log
∴
f
（
log
∴
log
3
）＞
0
，

3
）＞﹣
f
（1
）
=f
（﹣
1
），

3
＞﹣
1
；

∴＞
1
或
3
＜
a
；

即
a
∈（
0
，
1
）
∪
（
3
，+∞
）；

故答案为：（
0
，
1
）
∪< br>（
3
，+
∞
）．



12
．
S
m
=0
，设公差为
d
（
d
为奇数， 且
d
＞
1
）的等差数列{
a
n
}的前
n< br>项和为
S
n
，若
S
m
﹣
1
=
﹣
9
，
其中
m
＞
3
，且
m
∈< br>N
*
，则
a
n
=

3n
﹣
12
．

【考点】等差数列的前
n
项和．

第8页（共23页）

【分析】
S
m
﹣
1
=
﹣
9
，
S
m
=0
，其中
m
＞
3
，可得 ：（
m
﹣
1
）
a
1
+
ma
1+
d=0
，化为：
d=
d=
﹣
9
，
． 由于
m
＞
3
，且
m
∈
N
*
，d
为奇数，且
d
＞
1
，通过分
类讨论验证即可得出．< br>
【解答】解：∵
S
m
﹣
1
=
﹣
9
，
S
m
=0
，其中
m
＞
3
，
∴（
m
﹣
1
）
a
1
+
ma
1
+
可得：
d=
d=0
，

．

d=
﹣
9
，

∵
m
＞
3
，且
m
∈
N
*
，
d
为奇数，且
d
＞
1
，

∴
d=3
，
m=7
．

∴
a
1
=
﹣
9
．

∴
a
n
=
﹣
9
+
3
（
n
﹣
1
）
=3n
﹣
12
．

故答案为：
3n
﹣
12
．



13
．已知函数
f
（
x
）
=x
|
x
2
﹣
a
|，若存在
x
∈[
1
，
2
]，使得
f
（
x
）＜
2
，则实数
a
的取 值范围
是 （﹣
1
，
5
） ．

【考点】分段函数的应用．

【分析】由题意可得
f
（
x< br>）＜
2
可得﹣
2
＜
x
3
﹣
ax＜
2
，即为﹣
x
2
﹣＜﹣
a
＜﹣
x< br>2
+，等价
为（﹣
x
2
﹣）
min
＜﹣a
＜（﹣
x
2
+）
max
，分别判断不等式左右两边函 数的单调性，求得
最值，解不等式即可得到
a
的范围．

【解答】解 ：当
x
∈[
1
，
2
]时，
f
（
x
）
=
|
x
3
﹣
ax
|，

由
f
（
x
）＜
2
可得﹣
2
＜
x
3
﹣
ax
＜
2
，

即为﹣
x2
﹣＜﹣
a
＜﹣
x
2
+，

设
g
（
x
）
=
﹣
x
2
﹣，导数为
g
′
（
x
）
=
﹣
2x
+
当
x
∈[
1
，
2
]时，
g
′
（
x
）≤
0
，

即
g
（
x
）递减，可 得
g
（
x
）
min
=
﹣
4
﹣1=
﹣
5
，

即有﹣
a
＞﹣
5
，即
a
＜
5
；

设
h
（
x）
=
﹣
x
2
+，导数为
g
′
（
x
）
=
﹣
2x
﹣
当
x
∈[
1< br>，
2
]时，
h
′
（
x
）＜
0
，

即
h
（
x
）递减，可得
h
（
x
）
max
=
﹣
1
+
2=1
．

即有﹣
a
＜
1
，即
a
＞﹣
1
．< br>
综上可得，
a
的范围是﹣
1
＜
a
＜
5
．

故答案为：（﹣
1
，
5
）．



，

，

第9页（共23页）
< /p>

14
．在平面直角坐标系
xOy
中，设点
A
（
1
，
0
），
B
（
0
，
1
），
C
（
a
，
b
），
D
（
c，
d
），若不
等式
2
≥（
m
﹣
2）
•
+
m
（
•
）
•
（
•）对任何实数
a
，
b
，
c
，
d
都成立 ，则
实数
m
的最大值是 ﹣
1
．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据条件可以求出向量
坐标运算 便可求出
的坐标，从而进行向量数量积的
的值，这样将这些值代入
并整理便可得出c
2
+
a
2
+
d
2
+
b2
≥
m
（
ac
+
bd
+
bc
）．

【解答】解：根据条件，

，，
并整理得：

c
2
+
a
2
+
d
2
+
b
2
≥
m
（
ac
+
bd
+
bc
） ，

即
c
2
+
a
2
+
d
2
+
b
2
﹣
m
（
ac
+
bd+
bc
）≥
0
恒成立，配方得：

（
a
﹣）
2
+（
d
﹣）
2
+（
c
2
+
b
2
﹣
bc
）≥
0
恒成立，

，代入
有（
a
﹣）
2
≥
0
，（
d
﹣）
2
≥
0
满足，

则要：（
c
2
+
b
2
﹣
bc
）≥
0
恒成立，

则有：，

解得﹣
2
≤
m
≤﹣
1
，

所以
m
最大值为﹣
1
．



二 、解答题：本大题共
6
小题，共计
90
分．请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．

15
．在△
ABC中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，已知向量
=
（
cosB
，
cosC
），
=
（
4a
﹣
b
，
c
），且∥．

（
1
）求
cosC
的值；

（
2
）若
c=
，△
ABC
的面积
S=
， 求
a
，
b
的值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

第10页（共23页）

【分析】（
1
）利用向量 平行的坐标表示，正弦定理可得
sinCcosB=
（
4sinA
﹣
sinB
）
cosC
，利
用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得< br>sinA=4sinAcosC
，结合
sinA
＞
0
，即可解
得
cosC
的值．

（
2
）由（
1
）结合同角三角函数基本关系式可求
sinC
的值，利用三角形面积公式
可解得ab=2
，结合余弦定理可求
a
2
+
b
2
=4
，从而解得
a
，
b
的值．

【解答】（本题满分为
14
分）

解：（
1
）∵
m
∥
n
，

∴ccosB=
（
4a
﹣
b
）
cosC
，
…

由正弦定理，得
sinCcosB=
（
4sinA
﹣
sinB
）
cosC
，

化简，得
sin
（
B
+
C
）
=4sinAcosC
﹒
…

∵
A
+
B
+
C=
π
，

∴
sinA=sin
（
B
+
C
）﹒

又∵
A
∈（
0
，
π
），

∵
sinA
＞
0
，

∴．

…

，

．

，

（
2
）∵
C
∈（
0
，
π
），
∴
∵∴
ab=2
﹒
①…

∵，由余弦定理得，

∴
a
2
+
b
2
=4
，
②…

由
①②
，得
a
4
﹣
4a
2
+
4 =0
，从而
a
2
=2
，（舍负），

∴，

∴．

…



16
．在直三棱柱< br>ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
CA=CB
，
AA
1
=AB
，
D
是
AB
的中点

（
1
）求证：
BC
1
∥平面A
1
CD
；

（
2
）若点
P
在线段
BB
1
上，且
BP=BB
1
，求证：
AP< br>⊥平面
A
1
CD
．

第11页（共23页）

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（
1< br>）连接
AC
1
，设与
CA
1

交于
O
点，连接
OD
，由
O
为
AC
1

的中点，
D
是
AB
的中点，可得
OD
∥
BC1
，即可证明
BC
1
∥平面
A
1
CD
．

（
2
）由题意，取
A
1
B
1

的中点
O
，连接
OC
1
，
OD
，分别以< br>OC
1
，
OA
1
，
OD
为
x
，
y
，
z
轴
OC
1
=b
，建立空间直角 坐标系，设
OA
1
=a
，由题意可得各点坐标，可求
=
（< br>0
．﹣
a
，
2
），
=
（
0
，﹣
2a
，﹣），由
•
=0
，
=2
（
b< br>，﹣
a
，

•
），
=0
，即可
证明
AP
⊥平面
A
1
CD
．

【解答】证明： （
1
）如图，连接
AC
1
，设与
CA
1

交于
O
点，连接
OD
，

∴直三棱柱
AB C
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
O
为
AC
1

的中点，

∵
D
是
AB
的中点，

∴△
ABC
1
中，
OD
∥
BC
1
，

又∵
OD
⊂平面
A
1
CD
，

∴
BC
1
∥平面
A
1
CD
．

（
2
）由题意，取
A
1
B
1

的 中点
O
，连接
OC
1
，
OD
，分别以
OC
1
，
OA
1
，
OD
为
x
，
y
，
z
轴
建立空间直角坐标系，设
OA
1
=a< br>，
OC
1
=b
，

则：由题意可得各点坐标为：A
1
（
0
，
a
，
0
），
C< br>（
b
，
0
，
2a
），
D
（
0
，
0
，
2
），
P
（
0
，
﹣
a
，
可得：
所以：由
），
A
（
0，
a
，
2
=
（
b
，﹣
a
，
2
•
），
），
=
（
0
．﹣
a
，
2
•
） ，
=
（
0
，﹣
2a
，﹣），

=0
，可得：
AP
⊥
A
1
C
，由
=0
，可得 ：
AP
⊥
A
1
D
，

又：
A
1
C
∩
A
1
D=A
1
，

所以：
AP
⊥平面
A
1
CD
．

第12页（共23页）

17
．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的
利润为
x
（单位：元，
x
＞
0
）时，销售量
q（
x
）（单位：百台）与
x
的关系满足：若
x
不超过
20
，则
q
（
x
）
=
；若
x
大于或等于
180
，则销售为零；当
20
≤
x
≤
180
时．
q
（
x
）
=a
﹣
b< br>（
a
，
b
为实常数）．

（
1
）求函数
q
（
x
）的表达式；
（
2
）当
x
为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值 ．

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

【 分析】（
1
）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到
a
，
b < br>（
2
）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为 分
段函数的最大值．

【解答】解：（
1
）由
x=20和
x=180
时可以解得
a
，
b

∴
a=90
，
b=3
第13页（共23页）

∴
q
（
x
）
=
（
2
）设总利润为
W
（
x
）

则
W
（
x
）
=
①
当
x
∈（
0
，
20
]时，
W
（
x
）
= 1260
﹣
②
当
x
∈[
20
，
180]时，
W
（
x
）
=90x
﹣
3x
为单 调递增，最大值为
1200
，此时
x=20
，（
W
（
x
））
′
=90
﹣
< br>此时
x
∈[
20
，
80
]时，
W
（
x
）单调递增．
x
∈[
80
，
180
]时 ，
W
（
x
）单调递减

∴在
x=80
时取得最大为
240000
综上所述：
x=80
时，总利润最大为
240000
元．



18
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左，右焦点分别是
F
1
，
F
2
，右顶点、上顶点分别为
A
，
B
，原点
O
到直线
AB
的距离等于
ab
﹒

（
1
）若椭圆
C
的离心率等于，求椭圆
C
的方程；

（
2
）若过点（
0
，
1
）的直线
l
与椭圆有且只有一个公共点
P
，且
P
在第二象限，直线
PF
2
交
y
轴于点
Q
﹒试判断以
PQ
为直 径的圆与点
F
1
的位置关系，并说明理由﹒

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（
1
）求得
A
，
B
的坐标，可得
AB
的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，< br>解方程可得
a
，
b
，进而得到椭圆方程；

（
2
）点
F
1
在以
PQ
为直径的圆上﹒由题意可得直线l
与椭圆相切且
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为：
y =kx
+
1
，代入椭圆方程，运用判别式为
0
，解得
k的值，可得
P
（﹣
a
2
，
b
2
），从
而可得直线
PF
2
的方程，求得
Q
的坐标，可得向量
可得到结论．

【解答】解：（
1
）由题意得点
A
（a
，
0
），
B
（
0
，
b
），

直线
AB
的方程为，即
ax
+
by
﹣< br>ab=0
﹒

，的坐标，求出数量积为
0
，即
由题设 ，得
化简，得
a
2
+
b
2
=1
﹒
①
，

由，即为
，

，即
a
2
=3b
2
﹒
②

第14页（共23页）

由
①②
，解得，

可得椭圆
C
的方程为；

（
2
）点
F1
在以
PQ
为直径的圆上﹒

由题设，直线
l
与椭圆相切且
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为：
y=kx
+
1
，

由，得（
b
2
+
a
2< br>k
2
）
x
2
+
2ka
2
x
+
a
2
﹣
a
2
b
2
=0
，（*
）

则△
=
（
2ka
2
）
2
﹣
4
（
b
2
+
a
2
k
2
）（
a
2
﹣
a
2
b
2
）
=0
，

化简，得
1
﹣
b
2
﹣
a
2
k
2
=0
，所以，

由点
P
在第二象限，可得
k=1
，

把
k =1
代入方程（
*
），得
x
2
+
2a
2< br>x
+
a
4
=0
，

解得
x=
﹣
a
2
，从而
y=b
2
，所以
P
（﹣< br>a
2
，
b
2
）﹒

从而直线
PF
2
的方程为：，

令
x=0
，得，所以点﹒

从而，，

从而

=
又
a
2
+
b
2
=1
，
a
2
=b
2
+
c
2
，
∴﹒

，

所以点
F
1
在以
PQ
为直径的圆上﹒



19
．已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=3
，且对任意的正整数
n< br>，都有
S
n+1
=
λ
S
n
+
3n+1
，其中
常数
λ
＞
0
．设
b
n< br>=
（
n
∈
N
*
）﹒

（
1
）若
λ
=3
，求数列{
b
n
}的通项公式；

第15页（共23页）

（
2
）若
λ
≠
1
且
λ
≠
3
，设
c
n
=a
n
+（
n
∈
N
*
），证明数列{
c< br>n
}是等比数列；

（
3
）若对任意的正整数
n，都有
b
n
≤
3
，求实数
λ
的取值范围．
【考点】数列递推式；等比关系的确定．

【分析】（
1
）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．

（
2
）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；

（
3
）通过对
λ
分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．< br>
【解答】（
1
）解：∵
∴当
n
≥
2
时，
从而
又在
∴
当
λ
=3
时，
，

，
n
≥
2
，
n
∈
N
*
﹒

中，令
n=1
，可得
，
n
∈
N*
﹒

，
n
∈
N
*
，

，满足上式，

，
n
∈
N
*
，

从而，即，

又
b
1
=1
，所以数列{
b
n
}是首项为
1
，公差为的等差数列，

∴．
< br>（
2
）证明：当
λ
＞
0
且
λ
≠3
且
λ
≠
1
时，

=
又
∴{
c
n
}是首项为
，

，公比为
λ
的等比数列，﹒

．

，
< br>（
3
）解：在（
2
）中，若
λ
=1
，则c
n
=0
也适合，∴当
λ
≠
3
时，
从 而由（
1
）和（
2
）可知：
a
n
=
．
当
λ
=3
时，，显然不满足条件，故
λ
≠
3
．

第16页（共23页）

当
λ
≠
3
时，
若
λ
＞
3
时，
若
0< br>＜
λ
＜
1
时，
∴只须
．

，
b
n
＜
b
n+1
，
n
∈
N
*< br>，
b
n
∈[
1
，+
∞
），不符合，舍去．< br>
，，
b
n
＞
b
n+1
，
n
∈
N
*
，且
b
n
＞
0
．
即可，显然成立．故
0
＜
λ
＜
1
符合条件；

若
λ
=1
时，
b
n
=1
，满足条件．故< br>λ
=1
符合条件；

若
1
＜
λ
＜< br>3
时，
∵
b
1
=1
＞
0
．故
于是．

．

，，从而
b
n
＜
b
n+1
，
n
∈
N
*
，

，要使
b
n
≤
3
成立，只须即可．

综上所述，所求实数
λ
的范围是


20
．已知函 数
f
（
x
）
=a
•
e
x
+
x
2
﹣
bx
（
a
，
b
∈
R，
e=2.71828
…
是自然对数的底数），其导函数为
y=f
′
（
x
）．

（
1
）设
a=
﹣
1
，若函数
y=f
（
x
）在
R
上是单调减 函数，求
b
的取值范围；

（
2
）设
b=0
，若函数
y=f
（
x
）在
R
上有且只有一个零点，求a
的取值范围；

（
3
）设
b=2
，且
a
≠
0
，点（
m
，
n
）（
m
，
n
∈
R
）是曲线
y=f
（
x
）上的一个定 点，是否存在
实数
x
0
（
x
0
≠
m
），使得
f
（
x
0
）
=f
′
（）（x
0
﹣
m
）+
n
成立？证明你的结论．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【分析】（
1
）求得
f
（
x
）的导数，由题意可得
f
′
（
x
）≤
0
恒成立，即为﹣
b
≤
e
x
﹣< br>2x
，令
g
（
x
）
=e
x
﹣
2x
，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到
b
的范围；

（
2
）求得
f
（
x
）的解析式，令
f
（
x
）
=0
，可得﹣
a=
，设
h
（
x
）
=
，求得
h
（
x
）的导
数 和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到
a
的范围；

（
3
）假设存在实数
x
0
（
x
0
≠
m），使得
f
（
x
0
）
=f
′
（）（< br>x
0
﹣
m
）+
n
成立．求得
f
（< br>x
）
的导数，化简整理可得
=e
，考虑函数
y=e
x
的图象与
y=lnx
的图象关于直线
y=x
对称，上式可转化为=
，设
t=
＞
1
，上式即为
lnt=
，令m
（
t
）
=lnt
﹣，
t
＞
1
，求出导数，判断单调性即可判断不存在．

【解答】解：（
1
）函数f
（
x
）
=
﹣
e
x
+
x2
﹣
bx
的导数为
f
′
（
x
）
=
﹣
e
x
+
2x
﹣
b
，
函数
y=f
（
x
）在
R
上是单调减函数，可得
f
′
（
x
）≤
0
恒成立，

第17页（共23页）

即为﹣
b
≤
e< br>x
﹣
2x
，令
g
（
x
）
=e
x
﹣
2x
，

g
′
（
x
）=e
x
﹣
2
，当
x
＞
ln2
时，g
′
（
x
）＞
0
，
g
（
x< br>）递增；

当
x
＜
ln2
时，
g
′
（
x
）＜
0
，
g
（
x
）递减．< br>
则
g
（
x
）在
x=ln2
处取得极小值， 且为最小值
2
﹣
2ln2
，

即有﹣
b
≤
2
﹣
2ln2
，即
b
≥
2ln2
﹣
2
，

则
b
的取值范围是[
2ln2
﹣
2
，+
∞
）；

（
2
）由
b=0
，可得
f
（
x
）
=a
•
e
x
+< br>x
2
，

令
f
（
x
）
=0
，即有﹣
a=
，

设
h
（
x
）< br>=
，
h
′
（
x
）
=
，
< br>当
0
＜
x
＜
2
时，
h
′
（
x
）＜
0
，
h
（
x
）在（
0，
2
）递减；

当
x
＞
2
或
x
＜
0
时，
h
′
（
x
）＞
0，
h
（
x
）在（﹣
∞
，
0
），（2
，+
∞
）递增．

可得
h
（
x
）在
x=2
处取得极大值，

且
h
（
x
）＞
0
，
x
→
+
∞
，
h
（
x
）
→
0
，

由题意函数
y=f
（
x
）在
R
上有且只有一个零点 ，

则﹣
a=0
或﹣
a
＞
即为
a=0或
a
＜﹣
，

，即
a
的取值范围是{
0
}
∪
（﹣
∞
，﹣）；

（
3
） 假设存在实数
x
0
（
x
0
≠
m
），使得< br>f
（
x
0
）
=f
′
（
函数
f
（
x
）
=a
•
e
x
+
x
2
﹣
bx
的导数为
f
′
（
x
）
=ae
x
+
2x
﹣
b
，

可得
a
•
e
x0
+
x
0
2
﹣
bx
0
=
（
ae
）（
x
0
﹣
m
）+
n
成立．

+
x
0
+
m
﹣
b
）（
x
0
﹣
m
）+
a
•
e< br>m
+
m
2
﹣
bm
，

化简可得（< br>x
0
﹣
m
）（+
x
0
+
m
﹣
b
）
=
（
ae
+
x
0
+
m
﹣
b
）（
x
0
﹣
m
），
< br>由
a
≠
0
，
x
0
≠
m
，可 得
=e
，

上式的几何意义为函数
y=e
x
图象上 两点的斜率等于中点处的切线的斜率，

考虑函数
y=e
x
的图象与
y=lnx
的图象关于直线
y=x
对称，

上式可转化为
=
，

设
x
0
＞
m
＞
0
，即有
lnx
0
﹣
lnm=
，即ln=
，

第18页（共23页）

设
t=
＞
1
，上式即为
lnt=
，

令
m
（
t
）
=lnt
﹣，
t
＞
1
，则
m
′
（
t
）
=
﹣
=
＞
0
，

则
m
（
t
）在（
1
，+∞
）递增，

即有
m
（
t
）＞
m（
1
）
=0
，则方程
lnt=
无实数解．

即有
=
不成立，

则
=e
不成立．
故不存在实数
x
0
（
x
0
≠
m
），使 得
f
（
x
0
）
=f
′
（）（
x< br>0
﹣
m
）+
n
成立．



【选做题】在
A
，
B
，
C
，
D
四小题中 只能选做两题，每小题
0
分，共计
20
分．请在答题卡
指定区域内作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
．[选修
4-1
：几何 证明
选讲]

21
．已知△
ABC
内接于⊙
O，
BE
是⊙
O
的直径，
AD
是
BC
边 上的高．求证：
BA
•
AC=BE
•
AD
．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】连结
AE
．证明△
BEA
∽△
ACD
，可得，即可证明
BA
•
AC=BE< br>•
AD
．

【解答】证明：连结
AE
．

∵
BE
是⊙
O
的直径，

∴∠
BAE=90
°
．

…

∴∠
BAE=
∠
ADC
．

…

又∵∠
BEA=
∠
ACD
，

∴△
BEA
∽△
ACD
．

…

∴，

∴
BA
•
AC=BE
•
AD
．

…

第19页（共23页）

B
．[选修
4-2
：矩阵与变换]

22
．已知变换
T
把平面上的点（
3
，﹣
4
），（
5
，
0
）分别变换成（
2
，﹣
1
），（﹣
1
，
2
），试求
变换
T
对应的矩阵
M
．
【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．

【解答】解：设，由题意，得，
…

∴
…

解得．
…

即．

…



C
．[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

23
． 在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
过点
M
（
1< br>，
2
），倾斜角为﹒以坐标原点
O
为极
x
轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，
B
两点，
ρ
=6cos
θ
﹒若直线< br>l
与圆
C
相交于
A
，点，圆
C
：
求
MA
•
MB
的值．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

第20页（共23页）

【分析】直线
l
的参数方程为为参数），圆
C
：
ρ
=6cos
θ
，即
ρ
2
=6
ρ
cos
θ
，把
ρ
2
=x
2
+
y
2
，
x=
ρ
cos
θ
，代入可得直角坐标方程﹒直线
l
的参数 方程代入圆
C
的普通方程，利
用根与系数的关系、参数的意义即可得出．

【解答】解：直线
l
的参数方程为为参数），

圆
C
：
ρ
=6cos
θ
，即
ρ
2
=6
ρcos
θ
，把
ρ
2
=x
2
+
y
2
，
x=
ρ
cos
θ
，代入可得直角坐标方程为：（x
﹣
3
）
2
y
2
=9
+﹒
直线
l
的参数方程代入圆
C
的普通方程，得，

设该方程两根为
t
1
，
t
2
，则
t
1
•
t
2
=
﹣
1
﹒

∴
MA
•
MB=
|
t
1
•
t
2
|
=1
．



D
．[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．设x
为实数，求证：（
x
2
+
x
+
1
）
2
≤
3
（
x
4
+
x
2
+
1
）﹒

【考点】不等式的证明．

【分析】利用作差法得 出右﹣左
=2x
4
﹣
2x
3
﹣
2x
+2
，只需证明恒大于等于零即可．

【解答】证明：右﹣左
=2x
4
﹣
2x
3
﹣
2x
+
2
=2
（
x
﹣
1
）（
x
3
﹣
1
）
=2
（
x
﹣
1
）
2
（
x
2+
x
+
1
）

=
，

所以（
x
2
+
x
+
1
）
2
≤
3
（
x
4
+
x
2
+
1
）﹒



【必做题】第
22
题、第
23
题，每题
10
分，共计
20
分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明 、证明过程或演算步骤．

25
．一个口袋中装有大小相同的
3
个白 球和
1
个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，
若有
3
次摸到红 球即停止．

（
1
）求恰好摸
4
次停止的概率；

（
2
）记
4
次之内（含
4
次）摸到红球的次数为< br>X
，求随机变量
X
的分布列．

【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．

【分析】（1
）设事件
“
恰好摸
4
次停止
”
的概率为P
，利用
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发
生
k
次的概率计算公式能求出恰好摸
4
次停止的概率．

（
2
）由题意，得
X=0
，
1
，
2
，
3
，分别求出相应的概率，由此能求出
X
的分布列．

【解答】解：（
1
）设事件
“
恰好摸
4
次停止
”
的概率为
P
，

则．

…

（
2
）由 题意，得
X=0
，
1
，
2
，
3
，

，

第21页（共23页）

，

，

，
…

∴
X
的分布列为

X 0 1
P
…



26
．设实数
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
满足
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
=0
，且|
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a
n
|≤
1
（
n
∈< br>N
*
且
n
≥
2
），
令
b
n
=
（
n
∈
N
*
）．求证：|
b
1
+
b
2
+
…
+
b
n
|≤（
n
∈
N
*
）．


2

3

【考点】数学归纳法；数列递推式．

【分析】按照数学归纳法的证题步骤 ：先证明
n=2
时命题成立，再假设当
n=k
时结论成立，
去证明当
n=k
+
1
时，结论也成立，从而得出命题对任意
n
≥2
，
n
∈
N
*
，等式都成立

【解答 】证明：（
1
）当
n=2
时，
a
1
=
﹣< br>a
2
，

∴
2
|
a
1
|< br>=
|
a
1
|+|
a
2
|≤
1
，即
∴
，

，即当
n=2
时，结论成立．
（
2
）假设当
n=k
（
k
∈
N*
且< br>k
≥
2
）时，结论成立，

即当
a
1
+
a
2
+
…
+
a
k
=0
，且|
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a< br>k
|≤
1
时，

有．

则当
n=k
+
1
时，由
a
1
+
a
2
+
…
+
a
k
+
a
k+1
=0
，且|
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a
k+1
|≤
1
，

∵
2
|
a
k+ 1
|
=
|
a
1
+
a
2
+
…
+
a
k
|+|
a
k+1
|≤
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a
k+1
|≤
1
，

∴，

又∵
a
1
+
a
2
+
…
+
a
k
﹣
1
+ （
a
k
+
a
k+1
）
=0
，且|
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a
k
﹣
1
|+|
a
k
+
a
k+1
|≤ |
a
1
|+|
a
2
|+
…
+|
a
k+1
|≤
1
，

由假设可得
∴
=
=
即当
n=k
+
1
时，结论成立．

综上，由（
1
）和（
2
）可知，结论成立．



第22页（共23页）

，

，

，

，

2020
年
8
月
27
日

第23页（共23页）