给家长的一封信-教师们

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时 ，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂 其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合
A{1, 2,3},B{2,3,4}
，则
A
A.

1，2，3,4


2.
(1i)(2i)

A.
1i
B.
13i
C.
3i
D.
33i

B.

1，2，3


B

D.

13，，4

C.

2，3，4


3.函数
f(x)sin(2x
A.4



3
)
的最小正周期为
C.

D.B.2




2
4.设非零向量
a
，
b
满足
a+b=a-b
则
A.
a
⊥
b
B.
a=b
C.
a
∥
b
D.
ab

x
2
2
5.若
a1
，则双曲线
2
y1
的离心率的取值范围 是
a
（2，+）（2，2）
A.B.
（1，2）
C. D.
（，12）
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几 何体由一平面将一圆柱截去一
部分后所得，则该几何体的体积为
A.90


B.63


C.42


D.36



2x+3y30
7.设
x,y
满足约束条件

2x3y30
。 则
z2xy
的最小值是

y30

A.-15 B.-9
2
C.1 D9
8.函数
f(x)ln(x2x8)
的单调递增区间是
A.(-

,-2) B.(-

,-1) C.(1,+

) D.(4,+

)
9.甲、乙、丙、丁四位同 学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我
现在给甲看乙、丙 的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，
根据以上信息， 则
A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩
10.执行右面的程序框图，如果输入的
a1
，则输出的S=
A.2
B.3
C.4
D.5
11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片 中随机抽取1张，放回后再随
得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
机抽取1张，则抽
1
1
A. B.
5
10
C.
2
3
D.
5
10
2
12.过抛物线
C:y4x
的焦点
F
，且斜率为
3的直线交
C
于点
M
（
M
在
x
轴上方） ，
l
为
C
的准线，点
N
在
l
上且
MNl
，则
M
到直线
NF
的距离为
A.
5
B.
22
C.
23
D.
33

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数
f(x)2cosxsinx
的最大值为.
14.已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，当
x(,0)
时，
f(x) 2xx
，
则
f(2)

15.长方体的长、宽、高分别为3 ，2，1，其顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的表面积为
32

16.
ABC
的内角
A,B,C< br>的对边分别为
a,b,c
，若
2bcosBacosCccosA
，则
B

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1 7至21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，等比数列
{b< br>n
}
的前
n
项和为
T
n
,a
11
，
b
1
1
，
a
2
b
2
2
.
（1）若
a
3
b
3
5< br>，求
{b
n
}
的通项公式；
（2）若
T
3
21
，求
S
3
.
18.(12分)
如图，四棱锥
PABCD
中，侧面
PAD为等边三角
形且垂直于底面
ABCD
，
ABBC
1

AD
，
BADABC90
。
2
（1） 证明：直线
BC
平面
PAD
；

（2） 若
PCD
的面积为
27
，求四棱锥
PABCD
的体积。
19.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机 抽取了100个网箱，测量各箱水
产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：
（1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法
新养殖法
箱产量＜50kg


箱产量≥50kg


（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P（

20.（12分）
）
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
x
2
y
2
1
上，过
M
做
x
轴的垂线，垂足为
N
，点
P
满足设
O
为坐标原点，动点
M
在椭圆
C< br>：
2

NP2NM
.
（1）求点
P
的轨迹方程；
（2）设点
Q
在直线
x3
上，且
OPPQ1
.证明：过点
P
且垂直于
O Q
的直线
l
过
C
的左焦点
F
.
（21）（12分）
设函数
f(x)(1x)e
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）当
x0
时，f(x)ax1
，求
a
的取值范围.
（二）选考题：共10分。请 考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
的极坐标方程
为

cos

4
．
（1）M
为曲线
C
1
上的动点，点
P
在线段
OM上，且满足
|OM||OP|16
,求点
P
的轨迹
C
2
的直角坐标
方程；
（2）设点
A
的极坐标为
(2,< br>2x

3
)
，点
B
在曲线
C
2上，求
OAB
面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
a0,b0,ab2
，证明：
（1）
(ab)(ab)4
；
（2）
ab2
．
55
33

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
文科数学参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B
7.A 8.D 9.D 10.B
二、填空题
13.
5

三、解答题
17.（12分）
解：设的公差为
d
，
n1
的公比为< br>q
，则
a
n
1(n1)d,b
n
q
.由
a
2
b
2
2
得
11.D 12.C
14.12 15.
14π.
16.


3
dq3
.
（1）由
a
3
b
3
5
得
①
2dq
2
6
②

d3,
d1,
联立①和②解得

（舍去），


q0q 2.

因此
n1
的通项公式
b
n
2

（2）由
b
1
1,T
3
21
得
qq 200
.
解得
q5,q4

当
q5
时，由①得
d8
，则
S
3
21
.
当
q4
时，由①得
d1
，则
S
3
6
.
18.(12分)
解：
（1）在平面
ABCD
内，因为
BADABC90
，所以
BCAD
.
又
BC
平面
PAD,AD
平面
PAD
，
故
BC
平面
PAD

（2）取
AD
的中点
M
，连结
PM,CM
.
2

由
ABBC
1
AD
及BCAD
，
ABC90

2
平面
ABCDAD
，
得四边形
ABCM
为正方形，则
CMAD
.
因为侧面< br>PAD
为等边三角形且垂直于底面
ABCD
，平面
PAD
所以
PMAD,PM
底面
ABCD
.
因为
CM
底面
ABCD
，所以
PMCM
. < br>,CD
设
BCx
，则
CMx
，所以
PNPNCD
2,xPM3,xPCPD2
.取
x
CD
的中 点
N
，连结
PN
，则
14
x

2
114
2xx27
，
22
因为
PCD
的面积为
27
，所以
解得
x2
（舍去），
x 2
.
于是
ABBC2,AD4,PM23
.
所以四棱锥
PABCD
的体积
V
19.（12分）
解：
（1）旧养殖法的箱产量低于
50kg
的频率为
因此，事件
A
的概率估计值为0.62
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法
新养殖法
箱产量＜50kg
62
34
箱产量≥50kg
38
66
12(24)
2343

32
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养 殖法
的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养 殖法的箱产量分布
集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖 法.
20.（12分）
解：
（1）设
P(x,y)
，
M(x
0
,y
0
)
，
则
N(x
0
,0),NP(xx
0
,y),NM(0,y
0
)

由
NP2NM
得
x
0
x,y
0

2
y

2
x
2
y
2
1
因为
M(x
0
,y
0
)
在
C
上，所以
22
因此点P
的轨迹方程为
xy2

（2）由题意知
F(1,0)

设
Q(3,t),P(m,n)
，则
22
OQ(3,t),PF(1m,n),OQPF33mtn
，
22
由
OQPQ1
得
3mmtnn1

又由（1）知
mn2
，故
所以
OQPF0
，即
OQPF
.
又过点
P
存在唯一直线垂直于
OQ
，
所以过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F< br>.
（21）（12分）
解：
2x
（1）
f

(x)(12xx)e

2 2
令
f

(x)0
得
x12,x12

当
x(,12)
时，
f

(x)0
；
当
x(12,12)
时，
f

(x)0
；
当
x(12,)
时，
f

(x)0
.
所以
f(x)
在
(,12),(12,)
单调递减 ，在
(12,12)
单调递增.
（2）
f(x)(1x)(1x)e

当
a1
时，
设函数
h(x)(1x)e,h

(x)xe0(x0)
，
因此
h(x)
在
[0,)
单调递减，
xx
x

而
h(0)1
，故
h(x)1
，
所以
f(x)(x1)h(x)x1ax1

当
0a1
时，
设函数
g(x)ex1,g
< br>(x)e10(x0)
，
所以
g(x)
在
[0,)
单调递增，
而
g(0)0
，故
ex1

当
0x1
时，
x
xx
f(x)(1x)(1x )
2
，
(1x)(1x)
2
ax1x(1axx< br>2
）
，
取
x
0

54a1
，
2
2
则
x
0
(0,1),(1x
0
) (1x
0
)ax
0
10
，
故
f(x
0
)ax
0
1

当
a0
时，
取
x
0

51
2
，则
x
0
(0,1),f(x
0
)(1x
0
)(1x
0
)1ax
0
1

2
综上，
a
的取值范围是
[1,)
.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：
（1）设
P< br>的极坐标为
(

,

)(

0)
，
M
的极坐标为
(

1
,

)(

1
0)
.
由题设知
|OP|

,|OM| 

1

4

cos

由
|OM ||OP|16
得
C
2
的极坐标方程

4cos

(

0)

因此
C
2
的直角坐标方程为
(x2)y4(x0)

（2）设点
B
的极坐标为
(

B
,
)(

B
0)
.
由题设知
|OA|2,

B
4cosa
，
于是
OAB
面积
22
23
.

当
a

12
时，
S
取得最大值
23

所以
OAB
面积的最大值为
23

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：
（1）
(ab)(ab)aababb

（2）因为
(ab)a3ab3abb

所以
(ab)8
，因此
ab2
.

3
33223
556556