太原人事考试-上海中招网

2020
年广东省梅州市高考一模
3
月

数学（理）试卷

一、选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分）

1
．已知集合
A=
{
x
|
x
2
﹣
1
＜
0
}，
B=
{
x
|
x
＞0
}，则集合（∁
R
A
）∪
B=
（ ）

A
．（
0
，
1
]
B
．[
1
，+∞）
C
．（﹣∞，﹣
1
]∪[
1
，+∞）

2
．设
i
是虚数单位，如果复数
A
．
B
．
C
．
3 D
．﹣
3

D
．（﹣∞，﹣
1
]∪（
0
，+∞）

的实部与虚部是互为相反数，那么实数
a
的值为（ ）


3
．已知
α
，
β
是两个不同的平面，
m
，
n
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A
．若
m
∥
α
，
α
∩
β=n
，则
m
∥
n B
．若
m
⊥
α
，
m
⊥
n
，则n
∥
α

C
．若
m
⊥
α
，< br>n
⊥
β
，
α
⊥
β
，则
m
⊥
n
4
．已知命题
p
：∀
x
∈
R
，
2
x
+
为真命题的是（ ）

A
．￢
p
∧￢
q B
．￢
p
∧
q C
．
p
∧￢
q D
．
p
∧
q
< br>D
．若
α
⊥
β
，
α
∩
β=n
，
m
⊥
n
，则
m
⊥
β

]，使
sinx
+
cosx=
，则下列命题中＞
2
，命题
q
：∃
x
∈[
0
，
5
．箱中装有标号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
且大小相同的
6
个球，从箱中一次摸出两个球，记下号
码并放回，如果两球号 码之积是
4
的倍数，则获奖，现有
4
人参与摸奖，恰好有
3
人获奖的概
率是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

6
．设椭圆（
m
＞
0
，
n
＞
0
）的右焦点与抛物线
y
2
=8 x
的焦点相同，离心率为，则此
椭圆的方程为（ ）

A
．
B
．

C
．
D
．

7
．我国古代名著《九章算术》用
“
更相减损术”
求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，
这个伟大创举与古老的算法﹣﹣
“
辗转相除法
”
实质一样，如图的程序框图源于
“
辗转相除
法
”
．当输入
a=6102
，
b=2016
时，输出的a=
（ ）

A
．
6 B
．
9 C
．
12 D
．
18

，且||
=2
，||
=1
，则与+
2
的夹角为（ ）


8
．若向量，的夹角为
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．已知函数
f
（
x
）
=cos
（
2x
+）﹣
cos2x
，其中
x
∈
R
，给出下列四个结论

①函数
f< br>（
x
）是最小正周期为
π
的奇函数；

②函数
f
（
x
）图象的一条对称轴是
x=
③函数
f
（< br>x
）图象的一个对称中心为（
④函数
f
（
x
）的递增 区间为[
kπ
+
则正确结论的个数是（ ）

A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个

10
．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

，
kπ
+

，
0
）

]，
k
∈
Z
．


A
．
4 B
．
8 C
．
D
．
﹣

11
．已知双曲线
C
：
=1（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分 别为
F
1
，
F
2
，
O
为坐标原点，
P

是双曲线在第一象限上的点，直线
PO
，
PF
2
分别交双曲线
C
左、右支于另一点
M
，
N
，
|
PF
1
|
=2
|
PF
2
|，且∠MF
2
N=60°
，则双曲线
C
的离心率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
12
．设函数
y=f
（
x
）在区间（
a
，b
）上的导函数为
f′
（
x
），
f′
（
x
）在区间（
a
，
b
）上的导函数
为
f″
（
x
），如果在区间（
a
，
b
）上恒有
f″（
x
）＜
0
，则称函数
f
（
x
）是区 间（
a
，
b
）上的
“
凸
函数
”
， 若
f
（
x
）
=

x
4
﹣
mx
3
﹣
x
2
，当|
m
|≤
2
时 是区间（
a
，
b
）上的凸函数，则
b
﹣
a
的最大值为（ ）

A
．
4


二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分）

B
．
3 C
．
2 D
．
1

13
．设
x
，
y
满足约束条件，则
z=2x
﹣
y
的最小值为 ．

14
．在二项式（﹣）
8
的展开式中，第四项的系数为 ．
15
．已知△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a= 1
，
2cosC
+
c=2b
，则△
ABC
的
周长的取值范围是 ．

16
．函数
f
（
x
） 的定义域为实数集
R
，
f
（
x
）
=
对于任 意的
x
∈
R
都有
f
（
x
+
2）
=f
（
x
﹣
2
）．若在区间[﹣
5
，
3
]上函数
g
（
x
）
=f
（
x
）﹣
mx
+
m
恰有三个不同的零点，则
实数
m的取值范围是 ．



三、解答题

17
．已知数列{
a
n
}中，
a
1
=3
，且
a
n
=2a
n
﹣
1
+
2
n
﹣
1
（
n
≥
2
且
n
∈
N
*
）

（
Ⅰ
）证明：数列{}为等差数列；

（
Ⅱ
）求数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
．

18
．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面
AEFG
所截后得到的，其中∠
BAE=
∠

GAD=45°
，
AB=2AD=2
，∠
BAD=60°
．

（
Ⅰ
）求证：
BD
⊥平面
ADG
；
（
Ⅱ
）求平面
AEFG
与平面
ABCD
所成锐二面角的 余弦值．


19
．中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地 区随机初步勘探了部分几口井，
取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全 面勘探．由于勘探一
口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料 ，不必打
这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：

井号
I

1

2

3

4

5

6


（
2
，

（
4
，

（
5
，

（
6
，

（
8
，

（
1
，
y
）

y
）
30
）
40
）
60
）
50< br>）
70
）坐标（
x
，（
km
）

钻探深度（
km
）
2

40

4

70

5

110

6

90

8

160

10

205

出油量（
L
）

（
Ⅰ
）
1
～
6
号旧井位置线性分布，借助前
5
组数据求得回归直线 方程为
y=6.5x
+
a
，求
a
，并估
计
y
的预报值；

（
Ⅱ
）现准备勘探新井
7
（
1
，
25
），若通过
1
、
3
、
5
、
7
号井计算出的，的值（，精确到
0.01
）与（
I
） 中
b
，
a
的值差不超过
10%
，则使用位置最接近的已有旧 井
6
（
1
，
y
），否则在新
位置打开，请判断可否 使用旧井？（参考公式和计算结果：
=
，
=
﹣，
=94
，
=945
）

（
Ⅲ
）设出油量与勘探深 度的比值
k
不低于
20
的勘探井称为优质井，那么在原有
6
口井中任
意勘探
4
口井，求勘探优质井数
X
的分布列与数学期望．< br>
20
．已知动圆
C
过点
F
（
1
，
0
），且与直线
x=
﹣
1
相切．

（
Ⅰ
）求动圆圆心
C
的轨迹方程；并求当圆
C
的面 积最小时的圆
C
1
的方程；

（
Ⅱ
）设动圆圆心< br>C
的轨迹曲线
E
，直线
y=x
+
b
与圆C
1
和曲线
E
交于四个不同点，从左到右
B
，
C
，
D
，
D
是直线与曲线
E
的交点，
DF
的倾斜角互补，依次为
A
，且
B
，若直线
BF
，求 |
AB
|+|
CD
|
的值．

21
．已知 函数
f
（
x
）
=alnx
﹣
x
﹣+
2a
（其中
a
为常数，
a
∈
R
）．

（
Ⅰ
）求函数
f
（
x
）的单调区间；
< br>（
Ⅱ
）当
a
＞
0
时，是否存在实数
a
，使得当
x
∈[
1
，
e
]时，不等式
f
（
x
）＞
0
恒成立？如果存
在，求
a
的取值范围； 如果不存在，说明理由（其中
e
是自然对数的底数，
e=2.71828…
）



四、选修题

22
．已知曲线
C< br>1
的参数方程是（
θ
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正 半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程是
ρ=4sin θ
．

（
Ⅰ
）求曲线
C
1
与
C< br>2
交点的平面直角坐标；

（
Ⅱ
）
A
，B
两点分别在曲线
C
1
与
C
2
上，当|
AB
|最大时，求△
OAB
的面积（
O
为坐标原点）．



五、选修题

23
．设函数
f
（x
）
=
|
x
+|+|
x
﹣
2m
|（
m
＞
0
）．

（
Ⅰ
）求证：
f
（
x
）≥
8
恒成立；

（
Ⅱ
）求使得不等式
f
（
1
）＞
10
成立的实数
m的取值范围．

2020
年广东省梅州市高考一模
3
月

数学（理）试卷答案

一、选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分）

1
．已知集合
A=
{
x
|
x
2
﹣
1
＜
0
}，
B=
{
x
|
x
＞0
}，则集合（∁
R
A
）∪
B=
（ ）

A
．（
0
，
1
]
B
．[
1
，+∞）
C
．（﹣∞，﹣
1
]∪[
1
，+∞）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】解不等式求出集合
A
，根据补集与并集的定义写出集合（∁
R
A
）∪
B
即可．

【解答】解：集合
A=
{
x
|
x
2
﹣1
＜
0
}
=
{
x
|﹣
1
＜< br>x
＜
1
}，

B=
{
x
|
x
＞
0
}，

则集合∁
R
A=
{
x
|
x
≤﹣
1
或
x
≥
1
}，

所以集合（∁
R
A）∪
B=
{
x
|
x
≤﹣
1
或
x
＞
0
}

=
（﹣∞，﹣
1
]∪（
0
，+∞）．

故选：
D
．



2
．设
i
是虚数单位，如果复数
A
．
B
．
C
．
3 D
．﹣
3

的实部与虚部是互为相反数，那么实数
a
的值为（ ）

D
．（﹣∞，﹣
1
]∪（
0
，+∞）

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数
答案．

【解答】解：
∵复数
∴
故选：
C
．




3
．已知
α
，
β
是两个不同的平面，
m
，
n
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
，再由已知条件列出方程，求解即可得
==
，

的实部与虚部是互为相反数，

，即
a=3
．

A
．若
m
∥
α
，
α
∩
β=n
，则< br>m
∥
n B
．若
m
⊥
α
，
m
⊥
n
，则
n
∥
α

C
．若
m< br>⊥
α
，
n
⊥
β
，
α
⊥
β< br>，则
m
⊥
n D
．若
α
⊥
β
，α
∩
β=n
，
m
⊥
n
，则
m
⊥
β

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案．

【解 答】解：对于
A
，如图，
m
∥
α
，
α
∩< br>β=n
，此时
m
，
n
异面，故
A
错误；
对于
B
，若
m
⊥
α
，
m
⊥
n
，则
n
∥
α
或
n
⊂
α
，故
B
错误；

对于
C
，若
n
⊥
β
，
α
⊥
β
，则
n
∥
α
或
n
⊂
α
，又
m
⊥
α
，∴则
m
⊥
n
，故
C
正确；

对于
D
，若
α
⊥
β
，
α
∩
β=n
，
m
⊥
n
，则
m
可能与
β
相交，也可能与
β
平行，也可 能在
β
内，故
D
错误．

∴正确的选项为
C
．

故选：
C
．




4
．已知命题
p
：∀
x
∈
R
，
2
x
+
为真命题的是（ ）

A
．￢
p
∧￢
q B
．￢
p
∧
q C
．
p
∧￢
q D
．
p
∧
q
< br>＞
2
，命题
q
：∃
x
∈[
0
，]， 使
sinx
+
cosx=
，则下列命题中
【考点】命题的真假判断与 应用；复合命题的真假．

【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可．

【解答】解 ：命题
p
：∀
x
∈
R
，
2
x
+< br>￢
p
是真命题；

命题
q
：∀
x
∈ [
0
，]，使
sinx
+
cosx=
不正确；

则￢
q
是真命题，所以￢
p
∧￢
q
．

故选：
A
．



5
．箱中装有标号为< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
，< br>6
且大小相同的
6
个球，从箱中一次摸出两个球，记下号
码并放回，如 果两球号码之积是
4
的倍数，则获奖，现有
4
人参与摸奖，恰好有
3
人获奖的概
sin
（
x
+）∈[
1
，]，所以∃< br>x
∈[
0
，]，使
sinx
+
cosx=
，
＞
2
，当
x=0
时，命题不成立．所以命题
p
是假 命题，则

率是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】首先做出摸一次中奖的 概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果
数和列举出符合条件的结果数，得到概率，
4
个人摸奖．相当于发生
4
次试验，根据每一次发
生的概率，利用独 立重复试验的公式得到结果．

【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，

从
6
个球中摸出
2
个，共有
C
6
2
=15
种结果，

两个球的号码之积是
4
的倍数，
共有（
1
，
4
）（
3
，
4
），（2
，
4
）（
2
，
6
）（
4
，
5
）（
4
，
6
），

∴摸一次中奖的概率是
=
，

4
个人摸奖．相当于发生
4
次试验，且每一次发生的概率是，
∴有
4
人参与摸奖，恰好有
3
人获奖的概率是
故选：
B
．



6
．设椭圆（
m
＞
0< br>，
n
＞
0
）的右焦点与抛物线
y
2
=8x< br>的焦点相同，离心率为，则此
×（）
3
×
=
，

椭圆的方程为（ ）

A
．
B
．

C
．
D
．

【考点】椭圆的标准方程．


【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在
x
轴，然后对选项进行验 证即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线的焦点为（
2
，
0
），椭圆 焦点在
x
轴上，排除
A
、
C
，

由排除
D
，

故选
B

7
．我国古代名著《九章算术》用
“
更相减损术
”
求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，
这个伟大创举与古老的算法﹣﹣
“
辗 转相除法
”
实质一样，如图的程序框图源于
“
辗转相除
法
”
．当输入
a=6102
，
b=2016
时，输出的
a=（ ）


A
．
6 B
．
9 C
．
12 D
．
18

【考点】程序框图．


【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可 ．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；

a=6102
，
b=2016
，

执行循环体，
r =54
，
a=2016
，
b=54
，

不满足退出 循环的条件，执行循环体，
r=18
，
a=54
，
b=18
，

不满足退出循环的条件，执行循环体，
r=0
，
a=18
，
b=0
，

满足退出循环的条件
r=0
，退出循环，输 出
a
的值为
18
．

故选：
D
．



8
．若向量，的夹角为
A
．
B
．
C
．
，且||
=2
，||
=1
，则 与+
2
的夹角为（ ）


D
．
【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．

【解答】解：∵向量，的 夹角为
∴
∴
=
=
=
，且||
=2
，||< br>=1
，

=1
．

==
．
=2
2
+
2
×
1=6
，

∴∴与+
2
的夹角为
故选：
A
．



=
．

==
，

9
．已知函数
f
（
x
）
=cos
（
2x
+）﹣
cos2x
，其中
x
∈
R
，给出下列四个结论

①函数
f
（
x
）是最小正周期为
π
的奇函数；

②函数
f
（
x
）图象的一条对称轴是
x=
③函数
f
（
x
）图象的一个对称中心为（
④函数
f
（
x
） 的递增区间为[
kπ
+
则正确结论的个数是（ ）

A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个

【考点】 函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的图象变换．
< br>【分析】展开两角和的余弦公式后合并同类项，然后化积化简
f
（
x
） 的解析式．

①由周期公式求周期，再由
f
（
0
）≠
0
说明命题错误；

②③直接代值验证说明命题正确；

④由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确．

【解答】解：∵
f
=
．

∴
但
∵
∴函数
f
（
x
）图象的一条对称轴是
x=
∵
，即函 数
f
（
x
）的最小正周期为
π
，

，函数
f
（
x
）不是奇函数．命题①错误；

，

．命题②正确；

，

（
x
）
=cos
（
=
2x
+）﹣
=
﹣
，
kπ
+

，
0
）

]，
k
∈
Z
．

cos2x=

∴函数
f
（
x
）图象的一个对称中心为（
由
．

∴函数
f
（
x
）的递增区间为[
kπ
+
∴ 正确结论的个数是
3
个．

故选：
C
．



，
kπ
+
，得：

，
0
）．命题③正确；

]，
k
∈
Z
．命题④正确．

10
．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）


A
．
4 B
．
8 C
．
D
．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个 四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几
何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：


该几何体是一个四棱锥
A
﹣
CDEF
和一个三棱锥组
F
﹣< br>ABC
成的组合体，

四棱锥
A
﹣
CDEF
的底面面积为
4
，高为
4
，故体积为：，

三棱锥组
F
﹣
ABC
的底面面积为
2
，高为
2
，故体积为 ：，

故这个几何体的体积
V=
，

故选：
C
．



11
． 已知双曲线
C
：﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
O
为坐标原点，
P
是双曲线在第一象限上的点，直线
P O
，
PF
2
分别交双曲线
C
左、右支于另一点
M< br>，
N
，
|
PF
1
|
=2
|
PF
2
|，且∠
MF
2
N=60°
，则双曲线
C< br>的离心率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】双曲线的简单性质．

【分 析】由题意，|
PF
1
|
=2
|
PF
2
| ，|
PF
1
|﹣|
PF
2
|
=2a
，可得 |
PF
1
|
=4a
，|
PF
2
|
=2a
，由∠
MF
2
N=60°
，
可得∠
F
1
PF
2
=60°
，由余弦定理可得
4c
2
=1 6a
2
+
4a
2
﹣
2•4a•2a•cos60°
，即可求出双曲线
C
的离心
率．

【解答】解：由题意，|
PF
1
|
=2
|
PF
2
|，|
PF
1
|﹣|
PF
2
|
=2a
，

∴|PF
1
|
=4a
，|
PF
2
|
=2a
，

∵∠
MF
2
N=60°
，∴∠
F1
PF
2
=60°
，

由余弦定理可得
4c< br>2
=16a
2
+
4a
2
﹣
2•4a•2a• cos60°
，

∴
c=a
，

．

∴
e==
故选：
B
．



12
．设函数
y=f
（
x
）在区间（
a
，
b< br>）上的导函数为
f′
（
x
），
f′
（
x）在区间（
a
，
b
）上的导函数
为
f″
（x
），如果在区间（
a
，
b
）上恒有
f″
（< br>x
）＜
0
，则称函数
f
（
x
）是区间（a
，
b
）上的
“
凸
函数
”
，若
f
（
x
）
=

x
4
﹣
mx3
﹣
x
2
，当|
m
|≤
2
时是区间（
a
，
b
）上的凸函数，则
b
﹣
a
的最大值 为（ ）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1

【考点】函数的单调性与导数的关系．

【分析】 先求
f″
（
x
）
=x
2
﹣
mx
﹣
3
，从而由凸函数的定义知|
m
|≤
2
时，
x2
﹣
mx
﹣
3
＜
0
在（
a
，
b
）上恒成立，并且可以得到
mx
＞
x
2
﹣
3
恒成立，讨论
x
的取值：
x=0
时，容易判断上面不等
式成立；
x
＞
0
时，会得到，从而得到﹣
2
，解该不等式< br>0
＜
x
＜
1
；同样的方法
x

＜
0
时，会得到﹣
1
＜
x
＜
0
，最后即得 到﹣
1
＜
x
＜
1
，从而得出
b
﹣
a
的最大值
2
．

【解答】解：根据已知，|
m
| ≤
2
时，
f″
（
x
）
=x
2
﹣< br>mx
﹣
3
＜
0
在（
a
，
b
）上恒成立；

∴
mx
＞
x
2
﹣
3
恒成立；
< br>（
1
）当
x=0
时，
f″
（
x
）< br>=
﹣
3
＜
0
显然成立；

（
2）当
x
＞
0
时，
∵
m
的最小值为﹣
2
；

；

解得
0
＜
x
＜
1
；

（
3
）当
x
＜
0
时，
m
∵
m
的最大 值为
2
；

∴；

；

；

解得﹣
1
＜
x
＜
0
；

综上可得﹣
1
＜
x
＜
1
；

∴< br>b
﹣
a
的最大值为
1
﹣（﹣
1
）
= 2
．

故选
C
．



二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分）

1 3
．设
x
，
y
满足约束条件
【考点】简单线性规划．

，则
z=2x
﹣
y
的最小值为 ﹣
2
．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数
z =2x
﹣
y
的最
小值．

【解答】解：由
z=2x
﹣
y
，得
y=2x
﹣
z
，作出不等式对应的可行域 （阴影部分），

平移直线
y=2x
﹣
z
， 由平移可知当直线
y=2x
﹣
z
，

经过点
A时，直线
y=2x
﹣
z
的截距最大，此时
z
取得最小值 ，

由，解得
x=
﹣
1
，
y=0
，

即
A
（﹣
1
，
0
），代入
z=
﹣
2
，

即目标函数
z=2x
﹣
y
的最小值为﹣2
，

故答案为：﹣
2
．



14
．在二项式（﹣）
8
的展开式中，第四项的系数为 ﹣
7
．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】先求得 二项式（﹣）
8
的通项公式，再令
r=3
，即可求得第四项的系数．

【解答】解：∵二项式（﹣）
8
的通项公式为
T
r
+
1
=C
8
r
•
（﹣）
r
•
，

∴第四项的系数为
C
8
3
•
（﹣）
3
=< br>﹣
7
，

故答案为：﹣
7
．



15
．已知△
ABC
中，∠
A
，∠
B< br>，∠
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
， 若
a=1
，
2cosC
+
c=2b
，则△
ABC< br>的
周长的取值范围是 （
2
，
3
] ．

【考点】余弦定理．

2
1=3bc
【分析】由余弦定理求得
cosC
，代入已知等式可得

（
b
+
c
）﹣，利用基本不等式求得
b
+
c

≤
2
，故
a
+
b
+
c
≤
3
．再由三角形任意两边之和大于第三边求得
a
+
b+
c
＞
2
，由此求得△
ABC
的周
长的取值范 围．

【解答】解：△
ABC
中，由余弦定理可得
2cosC=< br>∴
∵
bc
≤
故
a
+
b
+
c
≤
3
．

再由任意两边之和大于第三边可得
b
+
c
＞
a=1
，故有
a
+
b
+
c
＞
2
，故△
ABC
的周长的取值范围是
（2
，
3
]，

故答案为

（
2
，
3
]．



+
c=2b
，化简可得

（
b
+
c
）
2
﹣
1=3bc
．

，∴（
b
+c
）
2
﹣
1
≤
3
×，解得
b
+
c
≤
2
（当且仅当
b=c
时，取等号）．

，∵
a=1
，
2cosC
+
c=2b
，

16
．函数
f
（
x
）的定义域为实数集
R
，
f
（
x
）
=
对于任意的
x
∈
R
都有
f
（
x
+
2
）
=f
（
x
﹣
2
）．若在区间[﹣
5
，
3
]上函数
g
（
x
）
=f
（
x
）﹣
mx
+
m
恰有三个不同的零点，则
实数
m
的取值范围是
【考点】函数零点的判定定理．

【分析】求出
f
（
x）的周期，问题转化为
f
（
x
）和
y=m
（
x
﹣
1
）在[﹣
5
，
3
]上有
3
个 不同的交
点，画出
f
（
x
）的图象，结合图象求出
m
的范围即可．

【解答】解：∵
f
（
x
+
2）
=f
（
x
﹣
2
），∴
f
（
x
）
=f
（
x
+
4
），

f
（
x
）是以
4
为周期的函数，

若在区 间[﹣
5
，
3
]上函数
g
（
x
）
=f
（
x
）﹣
mx
+
m
恰有三个不同的零点，
则
f
（
x
）和
y=m
（
x
﹣
1
）在[﹣
5
，
3
]上有
3
个不同的交 点，

画出函数函数
f
（
x
）在[﹣
5
，
3
]上的图象，如图示：

．

，

由
K
AC
=
﹣，
K< br>BC
=
﹣，结合图象得：

m
∈
故答案为：


三、解答题

17
．已知数列{
a
n
} 中，
a
1
=3
，且
a
n
=2a
n
﹣
1
+
2
n
﹣
1
（
n
≥
2
且
n
∈
N
*
）

（
Ⅰ
）证明：数列{}为等差数列；

，

．

（
Ⅱ
）求数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】（
1
）整理变形a
n
﹣
1=2
（
a
n
﹣
1
﹣
1
）+
2
n
，（
n
≥
2
且
n
∈
N
*
）式两端同除以
2
n
得出：

=1=
常数，运用等差数列的和求解即可．

（
2
）根据数 列的和得出
S
n
=
（
1
×
2
1
+
2
×
2
2
+
3
×
2
3
+
…
+
n
×
2
n
）+
n
，设
T
n
=1
×
2
1
+
2
×
22
+
3
×
2
3
+
…
+
n×
2
n
，运用错位相减法求解即可．得出
T
n
，代入即 可．

【解答】解：（
1
）∵
a
n
=2a
n
﹣
1
+
2
n
﹣
1
（
n
≥
2
且
n
∈
N
*
）

∴
a
n
﹣
1=2
（
a
n
﹣
1
﹣1
）+
2
n
，（
n
≥
2
且
n
∈
N
*
）

∴等式两端同除以
2
n
得出：
∵
a
1
=3
，

=1=
常数，

∴
==1
，

∴数列{}为等差数列，且首项为
1
，公差为
1
，

（
2
）∵根据（
1
）得出
=1
+（
n
﹣
1
）×
1=n
，
a
n
=n
×
2< br>n
+
1

∴数列{
a
n
}的前
n< br>项和
S
n
=
（
1
×
2
1
+
2
×
2
2
+
3
×
2
3
+
…
+
n
×
2
n
）+
n
，

令
T
n
=1
×
2
1
+
2
×
2
2
+
3
×
2
3
+
…
+
n
×
2
n
，①

2T
n
=1< br>×
2
2
+
2
×
2
3
+
3< br>×
2
4
+
…
+（
n
﹣
1
） ×
2
n
+
n
×
2
n
+
1
，②

①﹣②得出：﹣
T
n
=2
+
2
2< br>+
2
3
+
…
+
2
n
﹣
n< br>×
2
n
+
1
，

∴
T
n< br>=n
×
2
n
+
1
﹣
2
×
2
n
+
2
，

∴
S
n
=n
×
2
n
+
1
﹣
2
n
+
1
+
2
+
n



18
．如图所示的多面体 是由一个直平行六面体被平面
AEFG
所截后得到的，其中∠
BAE=
∠GAD=45°
，
AB=2AD=2
，∠
BAD=60°
．
（
Ⅰ
）求证：
BD
⊥平面
ADG
；

（
Ⅱ
）求平面
AEFG
与平面
ABCD
所成锐二面 角的余弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（
Ⅰ
）由余弦定理得
BD=
面
ABCD
， 得
BD
⊥平面
ADG
．

（
Ⅱ
）如图以< br>D
为原点建立空间直角坐标系
D
﹣
xyz
，求出法向量，利用 公式求解．

【解答】解：（
Ⅰ
）证明：在△
BAD
中，∵
AB=2AD=2
，∠
BAD=60°
．

由余弦定理得< br>BD=
，满足
AB
2
=AD
2
+
DB
2
，∴
AD
⊥
DB

，满足
AB
2=AD
2
+
DB
2
，得
AD
⊥
DB< br>，直平行六面体中
GD
⊥

直平行六面体中
GD
⊥面
ABCD
，
DB
⊂面
ABCD
，∴
GD
⊥
DB
，且
AD
∩
GD=D

∴
BD
⊥平面
ADG
．

（
Ⅱ
） 如图以
D
为原点建立空间直角坐标系
D
﹣
xyz
，

∵∠
BAE=
∠
GAD=45°
，
AB=2AD=2
，∴
A
（
1
，
0
，
0
），
B< br>（
0
，
．

，

设平面
AEFG
的法向量，

，
z=1


，
0
），
E
（
0
，，
2
），C
（﹣
1
，
，令
x=1
，得
y=
∴< br>∴
，而平面
ABCD
的法向量为
．


∴平面
AEFG
与平面
ABCD
所成锐二面角的余弦值为



19
．中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初 步勘探了部分几口井，
取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探． 由于勘探一
口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打
这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：

井号
I

1

2

3

4

5

6


（
2
，

（
4
，

（
5
，

（
6
，

（
8
，

（
1
，
y
）

y
）
30
）
40
）
60
）
50
）
70
）坐标（x
，（
km
）

钻探深度（
km
）
2

40

4

70

5

110

6

90

8

160

10

205

出油量（
L
）

（
Ⅰ
）
1
～
6
号旧井位置线性分布，借助前
5
组数 据求得回归直线方程为
y=6.5x
+
a
，求
a
，并估计
y
的预报值；

（
Ⅱ
）现准备勘探新井
7< br>（
1
，
25
），若通过
1
、
3
、< br>5
、
7
号井计算出的，的值（，精确到
0.01
）与（
I
）中
b
，
a
的值差不超过
10%
，则使用位置 最接近的已有旧井
6
（
1
，
y
），否则在新
位置打 开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：
=
，
=
﹣，
=94
，
=945
）

（
Ⅲ
）设出油量与勘探深 度的比值
k
不低于
20
的勘探井称为优质井，那么在原有
6
口井中任
意勘探
4
口井，求勘探优质井数
X
的分布列与数学期望．< br>
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分 析】（
Ⅰ
）利用前
5
组数据与平均数的计算公式可得
=5
，
=50
，代入
y=6.5x
+
a
，可得
a
，
进而定点
y
的预报值．

（
Ⅱ
）根据计算公式可得，，
=
≈
6.83
，
=18.93
，
=6.83
，计算可
得并且判断出结论．

（
Ⅲ
）由题意，
1
、
3
、
5
、
6
这
4
口 井是优质井，
2
，
4
这两口井是非优质井，勘察优质井数
X
的可能取值为
2
，
3
，
4
，
P
（
X=k
）
=
，可得
X
的分布列及其数学期望．


【解答】解：（
Ⅰ
）利用前
5
组数据得到
=
（2
+
4
+
5
+
6
+
8
）=5
，
=
（
30
+
40
+
60+
50
+
70
）
=50
，
∵
y=6. 5x
+
a
，

∴
a=50
﹣
6.5
×
5=17.5
，

∴回归直线方程为
y=6.5x
+
17.5
，

当
x=1
时，
y=6.5
+
17.5=24
，

∴
y
的预报值为
24
．

（
Ⅱ
）∵
=4
，
=46.25
，
=94
，
=945
，

∴
==
≈
6.83
，

∴
=46.25
﹣
6.83
×
4=18.93
，

即
=6.83
，
=18.93
，
b=6.5
，< br>a=17.5
，
∴使用位置最接近的已有旧井
6
（
1
，
24
）．

（
Ⅲ
）由题意，
1
、
3
、
5
、
6
这
4
口井是优质井，
2，
4
这两口井是非优质井，

∴勘察优质井数
X
的可能 取值为
2
，
3
，
4
，

P
（X=k
）
=
，可得
P
（
X=2
）
=< br>，
P
（
X=3
）
=
，
P
（
X=4
）
=
．

≈
5%
，≈
8%
，均不超过
10%
，

∴
X
的分布列为：

X

P

EX=2
×+
3
×


20
．已知动圆< br>C
过点
F
（
1
，
0
），且与直线
x =
﹣
1
相切．

（
Ⅰ
）求动圆圆心
C的轨迹方程；并求当圆
C
的面积最小时的圆
C
1
的方程；

（
Ⅱ
）设动圆圆心
C
的轨迹曲线
E
，直线y=x
+
b
与圆
C
1
和曲线
E
交于四 个不同点，从左到右
B
，
C
，
D
，
D
是直 线与曲线
E
的交点，
DF
的倾斜角互补，依次为
A
，且B
，若直线
BF
，求|
AB
|+|
CD
|的值．

【考点】轨迹方程．

【分析】（
Ⅰ
）由题意 圆心为
M
的动圆
M
过点（
1
，
0
），且与 直线
x=
﹣
1
相切，利用抛物线的
定义，可得圆心
M
的轨迹是以（
1
，
0
）为焦点的抛物线；圆心
C
在原点时 ，圆
C
的面积最小，
可得圆
C
1
的方程；

（
Ⅱ
）先求出
b
，再利用韦达定理，结合|
AB
|+|< br>CD
|
=
﹣
x
3
﹣
x
4
） ，可得结论．

【解答】解：（
I
）∵动圆圆心到点
F
（< br>1
，
0
）的距离等于到定直线
x=
﹣
1
的距 离，

（
x
1
﹣
x
3
）+
=（
x
2
﹣
x
4
）（
x
1
+< br>x
2
+
4
×
=
．

2


3


4

∴动圆圆 心的轨迹
C
为以
F
为焦点，以直线
x=
﹣
1
为准线的抛物线，

∴动圆圆心的轨迹方程为
y
2
=4x
．

圆心C
在原点时，圆
C
的面积最小，此时圆
C
1
的方程为< br>x
2
+
y
2
=1
；

（
I I
）
F
（
1
，
9
），设
B
（x
1
，
y
1
），
D
（
x
2< br>，
y
2
），
A
（
x
3
，
y
3
），
C
（
x
4
，
y
4
），

由，得
x
2
+（
4b
﹣
16
）
x
+
4b
2
=0
，△＞
0
，
b
＜
2
，

x
1
+
x
2
=16
﹣
4b
，
x
1
x
2
=4b
2
，

∵直线
BF
，
DF
的倾斜角互补，

∴
k
BF
+
k
DF
=0
，

∵
k
BF
+
k
DF
=
+，
∴
y
2
（
x
1
﹣
1
）+
y< br>1
（
x
2
﹣
1
）
=0
，

∴
x
1
x
2
+（
b
﹣）（
x1
+
x
2
）﹣
2b=0
，

代入解得
b=
，

由，得
5x
2
+
2x
﹣
25=0
，∴
x
3
+
x
4
=
﹣，

∴|
AB
|+|
CD
|
=


（
x
1
﹣
x
3
）+（
x
2
﹣
x
4
）
=
（
x
1
+
x
2
﹣
x
3
﹣
x
4
）
=
．

21
．已知函数
f
（
x
）
=alnx
﹣
x
﹣+
2a
（其中
a
为常数，
a
∈
R）．

（
Ⅰ
）求函数
f
（
x
）的单调区间；
< br>（
Ⅱ
）当
a
＞
0
时，是否存在实数
a
，使得当
x
∈[
1
，
e
]时，不等式
f
（
x
）＞
0
恒成立？如果存
在，求
a
的取值范围； 如果不存在，说明理由（其中
e
是自然对数的底数，
e=2.71828…
）

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（
Ⅰ
）求出函数
f
（
x
）的导数，通过讨论< br>a
的范围，求出函数的单调区间即可；


（
Ⅱ
）通 过讨论
a
的范围，根据函数的单调性求出
f
（
x
）的最小值 ，从而确定
a
的范围即可．
【解答】解：（
Ⅰ
）由于
f（
x
）
=alnx
﹣
x
﹣+
2a
，（
x
＞
0
），

f′
（
x
）
=
，

①a
≤
0
时，
f′
（
x
）＜
0
恒成立，

于是
f
（
x
）的递减区间是（
0
，+∞），

②
a
＞
0
时，令
f′
（< br>x
）＞
0
，解得：
0
＜
x
＜，
< br>令
f′
（
x
）＜
0
，解得：
x
＞，

故
f
（
x
）在（
0
，
（
Ⅱ
）
a
＞
0
时，

①若
）递增，在（，+∞）递减；

≤
1
，即
0< br>＜
a
≤，此时
f
（
x
）在[
1
，< br>e
]递减，

f
（
x
）
min
=f
（
e
）
=3a
﹣
e
﹣
=
（
3
﹣）
a
﹣
e
≤（
3
﹣×﹣
e
＜
0
，

f
（
x
）＞
0
恒成立，不合题意，

②若
即＜
a
＜
＞
1
，
时，

）递增，在（，
e
）递减，

＜
e
，
< br>此时
f
（
x
）在（
1
，
要使在[
1
，
e
]恒有
f
（
x
）＞
0
恒成立 ，

则必有
解得：
③若
，则
＜
a
＜；

时，

，

≥
e
，即
a
≥
f
（
x
）在[
1
，
e
]递增，令
f（
x
）
min
=f
（
1
）
=a
﹣
1
＞
0
，

解得：
a
≥，

综上，存在实数
a
∈（


四、选修题

，+∞），使得
f
（
x
）＞
0
恒成立．

22
．已知曲线
C
1
的参数方程是（
θ
为参数）， 以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程是
ρ=4sinθ
．

（
Ⅰ
）求曲线
C
1
与
C
2
交点的平面直角坐标；

（< br>Ⅱ
）
A
，
B
两点分别在曲线
C
1
与
C
2
上，当|
AB
|最大时，求△
OAB
的面积（
O
为坐标原点）．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（
Ⅰ< br>）求出曲线
C
1
，
C
1
的平面直角坐标方程，把两式 作差，得
y=
﹣
x
，代入
x
2
+
y
2
=4y
，
能求出曲线
C
1
与
C
2交点的平面直角坐标．

（
Ⅱ
）作出图形，由平面几何知识求出当|AB
|最大时|
AB
|
=2
此能求出△
OAB
的面积．

【解答】解：（
Ⅰ
）∵曲线
C
1
的参数 方程是
∴曲线
C
1
的平面直角坐标方程为（
x
+
2
）
2
+
y
2
=4
．

又由曲线
C
2
的极坐标方程是
ρ=4sinθ
，

得
ρ
2
=4ρsinθ
，∴
x
2
+
y
2
=4y
，

把两式作差，得
y=
﹣
x
，

代入
x2
+
y
2
=4y
，得
2x
2
+
4x=0
，

解得或，

（
θ
为参数），

，
O
到
AB
的 距离为，由
∴曲线
C
1
与
C
2
交点的平面直角坐标 为（
0
，
0
），（﹣
2
，
2
）．

（
Ⅱ
）如图，由平面几何知识可知：

当
A
，C
1
，
C
2
，
B
依次排列且共线时，

|
AB
|最大，此时|
AB
|
=2
O
到< br>AB
的距离为，

．

，

∴△
OAB
的面积为
S=

五、选修题

23
．设函数
f
（
x
）=
|
x
+|+|
x
﹣
2m
|（
m＞
0
）．

（
Ⅰ
）求证：
f
（
x
）≥
8
恒成立；

（
Ⅱ
）求使得不等式
f
（
1
）＞
10
成立的实数
m
的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（
Ⅰ）利用绝对值三角不等式、基本不等式证得
f
（
x
）≥
8
恒成立．

（
Ⅱ
）当
m
＞时，不等式即

+
2m
＞
10
，即
m
2
﹣
5m
+
4
＞
0
，求得
m
的范围．当
0
＜
m
≤时，
f
（
1
）
=1
++（
1
﹣
2m
）
=2
+﹣
2m
关于变量
m
单调 递减，求得
f
（
1
）的最小值为
17
，可得不
等式
f
（
1
）＞
10
恒成立．综合可得
m
的范 围．

【解答】（
Ⅰ
）证明：函数
f
（
x
）
=
|
x
+|+|
x
﹣
2m
|（
m
＞
0
），

∴
f
（
x
）
=
|
x
+|+|
x
﹣
2m
|≥|
x+﹣（
x
﹣
2m
）|
=
|+
2m
|< br>=
+
2m
≥
2
当且仅当
m=2
时，取等号， 故
f
（
x
）≥
8
恒成立．

（
Ⅱ
）
f
（
1
）
=
|
1
+|+|1
﹣
2m
|，当
m
＞时，
f
（
1）
=1
+﹣（
1
﹣
2m
），不等式即


+
2m
＞
10
，
=8
，
化简为
m
2
﹣
5m
+
4
＞
0
，求得
m
＜
1
，或
m
＞
4
，故此时
m
的范围为（，
1
）∪（
4
，+∞）．

当0
＜
m
≤时，
f
（
1
）
=1
++（
1
﹣
2m
）
=2
+﹣
2m
关于变量
m
单调递减，

故当
m=
时，
f
（
1
）取得最小值为
17
，

故不等式
f
（
1
）＞
10
恒成立．
综上可得，
m
的范围为（
0
，
1
）∪（
4，+∞）．