分手后的签名-班干部会议

第42课 三角形中的最值问题
考点提要
1．掌握三角形的概念与基本性质．
2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．
基础自测
1．（1）△ABC中，
cosA33sinA
，则A的值为 30° 或90° ；
（2）△ABC中，当A=

BC
3
时，
cosA2cos
取得最大值 ．
3
2
2
1
．
2
2．在△ABC中，
s inA:sinB:sinCm:(m1):2m
，则
m
的取值范围是
m
解 由
sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m
，
令
amk,b(m1)k,c2mk
，由
abc,acb
， 得
m
3．锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是 30º＜B＜45º ．
4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则
1
．
2
r
的最大值为
21
．
R
5．在△ABC中， 内角A，B，C所对边的边长分别是
a,b,c
，若
b
2
3ac< br>，则B的取
值范围是 0°＜B≤120° ．
6．在△ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．
①
sinA
>
sinB
； ②
cosA
<
cosB
； ③
sin2A
>
sin2B
； ④
cos2A
<
cos2B
．
解 A>B

a
>
b
2RsinA
>
2RsinB

sinA< br>>
sinB
，故①正确；


cosA
<
cosB

sin(A)
<
sin(B)

A>B，故 ②正确（或由余弦函
22
数在
(0,

)
上的单调性知②正 确）；
由
cos2A
<
cos2B

12sinA<
12sinB

sinA
>
sinB

A >B，故④
正确．
22
知识梳理
1．直角△ABC中，内角A，B，C所 对边的边长分别是
a,b,c
，C=90°，若内切圆的半
径为r，则
r< br>abc
．
2
2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起 到工具性的作用．它们在处
理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等 问题中

有着广泛的应用．
例题解析
例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．




















点评

例2 已知△ABC中，
a1,b2
．
（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围．


12c,

解 （1）由三角形三边关系得第三边c满 足

2c1,
解得
1c3
，故最小内角为A．

1c2,

b
2
c
2
a
2
c
2
313133
(c)≥2c
又
cosA（当且仅当
2bc4c4c4c2
c3
时等号成立），所以A≤30°，即最小 内角的最大值为30°．
（2）因为△ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以
A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．

1c
2
4
01,


0
2c
由B，C为锐角 得

即

解得
3c5
．
2
0
0
14c
1,

4< br>点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外
要注意变 形的等价性，如“内角A为锐角
0”．

例3 （2008江苏）求满足条件
AB2,AC
解 设BC＝
x
，则AC＝
2x
．
根据面积公式得
S
ABC
=
2BC
的△ABC的面积的最大值．
1
ABBCsinBx1cos
2
B
，
2
AB
2
BC
2
AC
2
4x
2
2x
2
4x
2


根据余弦定理得
cosB
，
2ABBC4x
4x
4x
2
2
128(x2
12)
2
代入上式得
S
ABC
=
x1 (
，
)
4x16


2xx2,
由三角形 三边关系有

解得
222x222
，

x22x,
2
故当
x12,x23
时
S
AB C
取最大值
128
22
．
16
点评

例4 如图，已知∠A=30°，P，Q分别在∠A的两边上，PQ=2． 当P，Q处于什么位置
时，△APQ的面积最大？并求出△APQ的最大面积．










点评 表示 三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基
本不等式，解法二运用了正弦 定理和基本不等式建立目标函数．

例5 已知△ABC的周长为6，
|BC|,|CA|,|AB|
成等比数列，求：
（1）△ABC的面积S的最大值； （2）
BABC
的取值范围．
解

设
|BC|,|CA|,|AB|
依次为a，b，c，则a+b+c=6，b
2
=ac．
ac6b
得
0b≤2
（当且仅当a=c时，等号成立），

22
a
2
c
2
b
2
a
2c
2
ac2acac1
≥
（当且仅当又由余弦定理得
cosB
2ac2ac2ac2
由
bac≤
3
11
2< br>1
2

（1）
SacsinBbsinB≤2sin 3
，即
S
max
3
（当且仅当
2223
a=b= c时，等号成立）；
a=c时，等号成立），故有
0B≤

，
a
2
c
2
b
2
(ac)
2
2ac b
2

（2）
BABCaccosB

22
(6b)
2
3b
2
(b3)
2
27< br>．

2
0b≤2,

2≤BABC18
．
点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）
为函数问题．

方法总结
1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该 角余弦的范围，根据
余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意
锐角三角形的角的关系．
2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．
3．三角形中面积的最 值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函
数，要注意自变量的范围．


练习42 三角形的最值问题
班级 姓名 学号
1．若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是
(
2．在锐角△ABC中，若
C2B
，则
2+1m)
．
AB
的取值范围是 （
2
，
3
） ．

AC
ABsinCsin2B

AB
解
2cosB
，而
B
，
23
．
ACsinBsinB64AC
2,a1
，则A的取值范围是 0º＜B≤45º ． 3．在△ABC中，若
b
4．若2、3、x分别是锐角三角形的三边长，则x的取值范围是
(5,13)
．
5．若三角形两边之和为16 cm，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是
163
，
周长的最小值是 24 ．
6．已知△ABC中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC的最大值为___
83
___．
7．钝角三角形的三边为
a,a1, a2
，其中最大角不超过120°，则
a
的取值范围是

3
≤a3
．
2
解 由题意钝角三角形中，
a2
为最大边且最大角不超过120°，因此得
a(a1)a2
①，
a
2
(a1)
2
(a2)
2
②，
a
2
(a1)
2
(a2)
2
1
c osA≥
③，
2a(a1)2

由①得
a1，②得
1a3
，③得
a
≤
1
或
a≥
33
，故≤
a3
．
22
8．已知四边形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，若S
△
AOB
=9，S
△
COD< br>=16，则四
边形面积的最小值是 49 ．


















9．（2006全国）用长度分别为2、3、4 、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三
角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形 的最大面积为
610
cm
2
．
解 由题意可围成以下几种三角形．
图（1）中，
cos


115
,sin


，
S415
；
44
210
，
S610
；
7
图（2） 中，
AD210,sin


图（3）中，
cos

13
,sin


，
S103
．比较 < br>22
上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为
610
cm
2< br>．
点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结
论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．

10． 在△ABC中，已知
acos
2
CA3
ccos
2
b< br>．
222
（1）求证：a、b、c成等差数列； （2）求角B的取值范围．
解
















11．如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF=30°，
求△AEF面积的最小值．
解 设△AEF的面积为S，∠BAE=

（15º≤

≤45º），
则由∠EAF=30°得∠DAF=
60

．
∵正方形ABCD的边长为a，
∴在Rt△BAE中，
AE
在Rt△DA F中，
AF
ABa

；
cos

cos

ADa

，
cos(60

)cos(60

)
∴
S
1
AEAFsinEAF

2
1aaa
2
sin30

2cos

cos(60

)4cos

cos(60

)


a
2
13
4cos

(cos

sin

)
22
a
2

< br>2
2cos

23sin

cos

a< br>2

cos2

3sin2

1
a< br>2
13
2(cos2

sin2

)1
22
a
2
13
2(cos2

sin2

)1
22

a
2

cos2

3 sin2

1

a
2
a
2
a
2
≤
．
2sin(2

30)12sin(23030)13


12．（2008四川延考）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是
a,b,c，已知
a
2
c
2
2b
2
．
（1 ）若
B

4
（2）若
b2
，求△ABC面积的最大值．
222
解 （1）由题设及正弦定理，有
sinAsinC2sinB1
．
22
故
sinCcosA
．因A为钝角，所以
sinCcosA
．
5




由
cosAcos(

 C)
，可得
sinCsin(C)
，C=，A=．
8
44< br>8
a
2
c
2
1
22
1
（2）由余 弦定理及条件
b(ac)
，有
cosB
，故
cosB
≥．
4ac
22
2
，且A为钝角，求内角A与C的大小；
由于△ ABC面积

3
11
acsinB
，又
ac
≤(a
2
c
2
)4
，
sinB
≤，
2
22
当
ac
时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大 值为
13
43
．
22

备用题
1．直角△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为
2．在△ABC中，已知sin
2
A + sin
2
B = 5sin
2
C，求证：
sinC≤
21
．
3
．
5
解 等式sin
2
A + sin
2
B = 5sin
2
C立即联想正弦定理，有a
2
+b
2
=5c
2
．
而a
2
+b
2
=5c
2
与余弦定理连起来也无可非议．
∵c
2
= a
2
+b
2
－
2abcosC，
∴5c
2
= c
2
+2abcosC，∴4c
2
=2abcosC．
于是可知cosC＞0，C为锐角，而5c
2
= a
2
+b
2
≥2ab，
故4c
2
=2abcosC≤5c
2
cosC．
∴cosC≥
43
，∴sinC≤．
55
点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过
程中．

3．已知△ABC的内角满足
sinBsinCsinA(cosBcosC)
．
（1）求A； （2）若△ABC的面积为4，求△ABC周长的最小值．









4．如图，边长为
a
的正△ABC的中心为O，过O任意作直线交AB、AC于M、N，
11
的最大值 和最小值．

OM
2
ON
2
1815
答案 最大值
2
、
最小值
2
．

aa
求

5．如图∠A = 90°，∠B =

，AH = h，

，h 为常数，AH⊥BC于H，∠AHE=∠
AHD = x，问当x取何值时，△DEH的面积最大？并求出最大面积．