2019年数学高考第一次模拟试卷(含答案)
广西师大附中-公司董事长职责
2019年数学高考第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1.
某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化
学相邻,数学与物
理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是
A
.24
B
.16
C
.8
D
.12
2.已知在
VABC
中,
sinA:sinB:sinC3:2:4
,那么
cosC
的值为( )
A
.
1
4
B
.
1
4
C
.
2
3
D
.
2
3
e
x
e
x
3.
f
x
2
的部分图象大致是
( )
xx2
A
.
B
.
C
.
D
.
4.
(x
A
.
80
2
2
5
)
展开式中的常数项为(
)
3
x
B
.
-80
C
.
40
D
.
-40
5.设
0p1
,随机变量
的分布列如图,则当
p
在
0,1
内增大时,(
)
P
0
1
1
2
2
p
2
1p
2
A
.
D
减小
C
.
D
先减小后增大
B
.
D
增大
D
.
D
先增大后减小
x
2
y
2
6.已知
F
1
,
F
2分别是椭圆
C
:
2
2
1
(
a<
br>>
b
>0)的左、右焦点,若椭圆
C
上存在点
P
,<
br>ab
使得线段
PF
1
的中垂线恰好经过焦点
F
2
,则椭圆
C
离心率的取值范围是( )
2
A
.
,1
3
12
B
.
,
32
n
C
.
,1
1
3
D
.
0,<
br>
3
1
1
7.在二项式
x
的展开式,前三项的系数成等差数列,把展开
式中所有的项重
4
2x
新排成一列,有理项都互不相邻的概率为(
)
A
.
1
6
B
.
1
4
C
.
5
12
D
.
1
3
8.函数
f(x)x
3
3x
2
1
的单调减区间为
A
.
(2,)
B
.
(,2)
C
.
(,0)
D
.
(0,2)
9.如图,
AB
是圆的直径,
P
A
垂直于圆所在的平面,
C
是圆上一点(不同于
A
、
B)且
PA
=
AC
,则二面角
P
-
BC
-
A
的大小为( )
A
.
60
B
.
30°
C
.
45
D
.
15
10.在正方体
ABCDA
1
B<
br>1
C
1
D
1
中,
E
为棱
CC
1
的中点,则异面直线
AE
与
CD
所成角的
正切值为
A
.
2
2
B
.
3
2
C
.
5
2
D
.
7
2
x
2
y
2
11.已知双曲线
C
:
2
2
1
a0,b0
的焦距为
2c
,焦点到双曲线
C
的渐近线的
ab
距离为
3
c
,则双曲线的渐近线方程为()
2
B
.
y2x
C
.
yx
D
.
y2x
A
.
y3x
uu
uruuur
12.在△
ABC
中,
AB=2
,
AC=3<
br>,
ABBC1
则
BC=______
A
.
3
B
.
7
C
.
2
D
.
23
二、填空题
13.曲线
yx
2
1
在点(1,2)处的切线方程为
____
__________
.
x
14.在平行四边形
ABCD
中,
A
3
uuuuvuuuv
BMCN
uuuuvu
uuv
v
uuuv
,则
AMAN
的取值范围是
_________
.
边
BC
,
CD
上的点,
且满足
uuu
BCCD
,边
AB
,
AD的长分别为
2
和
1
,若
M
,
N
分别是
32
15.已知
x0
,
y0
,
z
0
,且
x3yz6
,则
xy3z
的最小值为
_________
.
16.已知样本数据,,,的均值,则样本数据,,,
的均值为 .
17
.
(x)
的展开式中
x
5
的系数是
.
(用数字填写答案)
18
.
sin5013tan10
o
3
1
x
7
o
____
____________
.
1
4
,
tan(
)
,则
cos
_____<
br>.
5
3
19
.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1
:
2
,则它们的面积比为
1
:
4
,类似地,
在
空间内,若两个正四面体的棱长的比为
1
:
2
,则它们的体积比为
▲
20.已知
,
均为锐角,
c
os
三、解答题
21.已知数列
a
n
满足
a
1
2,a
n1
2a
n
2
n1
.
(1)设
b
n
a
n
,求数列
b
n
的通项公式;
2
n
(2)求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
;
(3)记
c
n
1
n
n
2
4n22
n
a
n
a
n1
,求数列
c
n
的前
n
项和
T
n
.
1
xt
2
22.在平面直角坐标系
xOy
中,已知
直线
l
的参数方程为
(
t
为参数).在以
y
3
t1
2
坐标原点
O
为极
点,
x
轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲
线
C
的极坐标方程是
22sin
.
4
(1)求直线
l
的普通方程与曲线
C
的直角坐标方程;
(2)设点
P
0,1
.若直
l
与曲线
C
相交于两
点
A,B
,求
PAPB
的值.
23.十九大以来,某贫
困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农
村地区人民群众脱贫奔小康
.
经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民收入也
逐年增加
.
为了
更好的制定
2019
年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该
地扶贫办
统计了
2018
年
50
位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
附:参考数据与公式
6.922.63
,若
X~N
,
,则①
2
P
(
X„
)0.6827
;②
P(
2
X„
2
)0.9545
;③
P(
3
X„
3
)0.9973
.
(
1)根据频率分布直方图估计
50
位农民的年平均收入
x
(单位:千元)(
同一组数据用
该组数据区间的中点值表示);
(
2
)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入
X
服从正态分布
N
,
2
,其
中
近似为年平均收入
x,
2
近似为样本方差
s
2
,经计算得:
s
2
6.92
,利用该正态分
布,求:
<
br>(
i
)在
2019
年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的
84.14%
的农民的年收入
高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为
多少千元
?
(
ii
)为了调研
“
精准扶贫,不落
一人
”
的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了
1000
位农
民.
若每个农民的年收入相互独立,问:这
1000
位农民中的年收入不少于
12.14
千元的人数
最有可能是多少
?
24.选修4-5:不等式选讲
设函数
f(x)|x2||x1|
.
(1)求
f(x)
的最小值及取得最小值时
x
的取值范围;
(2)若集合
{x|f(x)ax10}R
,求实数
a
的取
值范围.
25.在直角坐标平面内,以原点
O
为极点,x轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.已知点
π
22,
,
A
,
B<
br>的极坐标分别为
4,
,曲线
C
的方程为
r
(
r0
).
2
4
(1)求直线
AB
的直角坐标方程;
<
br>(2)若直线
AB
和曲线
C
有且只有一个公共点,求
r
的值.
5π
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.B
解析:
B
【解析】
【分析】
根据题意,可分三步进行分析:(
1
)要求语文与化学相
邻,将语文与化学看成一个整体,
考虑其顺序;(
2
)将这个整体与英语全排列,排好
后,有
3
个空位;(
3
)数学课不排第
一行,有
2
个空位可选,在剩下的
2
个空位中任选
1
个,得数学、物理的安排方法,最后
利用分步计数原理,即可求解。
【详解】
根据题意,可分三步进行分析:
2
(
1
)要求语文与化学
相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有
A
2
2
种情
况
;
2
(
2
)将这个整体与英语全排列,有
A
2<
br>2
中顺序,排好后,有
3
个空位;
(
3
)数学课不排第一行,有
2
个空位可选,在剩下的
2
个空位中任选
1
个,
安排物理,有
2
中情况,则数学、物理的安排方法有
224
种,
所以不同的排课方法的种数是
22416
种
,故选
B
。
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合
应用,其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻
问题的处理方法是解答的关键,着重考查了分析问
题和解答问题的能力,属于中档试题。
2.A
解析:
A
【解析】
【分析】
【详解】
a:b:csinA:sinB:sinC3:2:4
,不妨设
a3k,b2k,c4k
,
,
3k
2k
4k
<
br>则
cosC
23k2k
3.A
解析:
A
【解析】
【分析】
222
1
,选
A.
4
根据函数的奇偶性,排除
D
;根据函
数解析式可知定义域为
xx1
,
所以
y
轴右侧虚线
部分
为
x=1
,利用特殊值
x=0.01
和
x=1.001
代入
即可排除错误选项.
【详解】
e
x
e<
br>x
e
x
e
x
f
x
=
由函数解析式
f
x
2
,易知
f
x
2
xx2
xx2
e
x
e
x
所以函数
f
x
2
为奇函数,排除
D
选项
xx
2
根据解析式分母不为
0
可知
,
定义域为
x
x1
,
所以
y
轴右侧虚线部分为
x=1
,
<
br>当
x=0.01
时,代入
f
x
可得f
x
0
,排除
C
选项
当
x=1.001
时,代入
f
x
可得
f
x
0
,排除
B
选项
所以选
A
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数
的图象,依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等,注
意图中坐标的位置及特殊直线,属于中档题.
4.C
解析:
C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项,然后求出常数项的值
【详解】
(x
2
2
r
2
5
r25r
:
)
TC(x)()
,化简得
T
r1
(2)r
C
5
r
x
105r
,展开式的通项公式为
r15
3
3
x
x
22
令
105r0
,即
r=2
,故展开式中的常数项为
T
3
(2)C
5<
br>40
.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用,熟练运用公式来解题是关键
.
5.D
解析:
D
【解析】
【分析】
先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性
.
【详解】
QE(
)0
D(
)
1p1p1
12p
,
2222
1p1
11p11
(0p)
2
(1p)
2
(2p)
2
p
2
p
,
2222224
1
Q(0,1)
,∴
D(
)
先增后减,因此选
D.
2
【点睛】
E(
)
xi
p
i
,D(
)
(x
i
E(
))p
i
x
i
2
p
i
E
2
(
).
2
i1i1i1
nnn
6
.
C
解析:
C
【解析】
如图所示,
∵线段PF
1
的中垂线经过F
2
,
∴
PF
2
=
F
1
F
2
=2c,即椭圆上存在一点P,
使得PF
2
=2c.
∴a-c≤2c≤a+c.∴e=
c1
[,1)
.选C.
a3
【点睛】求离心率范围时,常转化为x,y的范围,焦半径的范围,从而求出离心率的范
围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等,建立焦半径与
a,b,c
的关系,从而由焦<
br>半径的范围求出离心率的范围。
7.C
解析:
C
【解析】
【分析】
先根据前三项的系数成等差数列求n,再根据古典概型概率公式求结果
【详解】
n
n(n1)
1
1
1<
br>2
1
12
1
1,C,CC1Cn1
因为<
br>
x
前三项的系数为
nnnn
4
24
48
2x
3r
1
16
Qn1n8T
r1
C
r
x
4
,r0,1,2L,8
,
2
r
8
63
A
6
A
7
5
,
选
C.
当
r0,4,8
时,为有理项,从
而概率为
9
A
9
12
【点睛】
本题考查二项式定理以及古典概型概率,考查综合分析求解能力,属中档题
.
8.D
解析:
D
【解析】
【分析】
对函数求导,让函数的导函数小于零,解不等式,即可得到原函数的单调减区间
.
【详解】
Qf(x)x
3
3x
2
1f<
br>'
(x)3x
2
6x3x(x2)00x2
,所以函
数的单调
减区间为
(0,2)
,故本题选
D.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题,正确求出导函数是解题的关键
.
9.C
解析:
C
【解析】
由
条件得:
PA
⊥
BC
,
AC
⊥
BC
又PA
∩
AC
=
C
,
∴
BC
⊥平面
PAC
,∴∠
PCA
为二面角
P
-
BC-
A
的平面角.在Rt△
PAC
中,由
PA
=
AC
得
∠
PCA
=45°,故选C.
点睛:二面角的寻找
主要利用线面垂直,根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平
面角所在平面
.
10.C
解析:
C
【解析】
【分析】
利用正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,
CDAB
,将问题转化为求共面直线
AB
与
AE
所成角
的正切值,在
ABE
中进行计算即可
.
【详解】
在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,
CDAB
,所以异面直
线
AE
与
CD
所成角为
EAB
,
设正
方体边长为
2a
,则由
E
为棱
CC
1
的中点,可得
CEa
,所以
BE
则
tanEAB
5a
,
BE5a5
.
故选
C.
AB2a2
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法:
(
1
)几何法:①平移两
直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或
构造)所求角所在的三角形;③求出三
边或三边比例关系,用余弦定理求角;
(
2
)向量法:①求两直线的方向向
量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,
所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦
值
.
11.A
解析:
A
【解析】
【分析】
x
2
y
2
3
利用双曲线
C
:
2
2
1
a0,b0
<
br>的焦点到渐近线的距离为
c
,求出
a
,
b
的
ab
2
关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
x
2
y
2
3
双
曲线
C
:
2
2
1
a0,b0<
br>
的焦点
c,0
到渐近线
bxay0
的距离为
c
,
ab
2
可得:
bc<
br>a
2
b
2
3
b3
b
c
,可得
,
3
,则
C
的渐近线方程为
y3x
.
a
2
c2
故选
A
.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出
a,b
的关系
是解题的关键,考查计算能力,属
于中档题
.
12
.
A
解析:
A
【解析】
【分析】
【详解】
uuuruuur
14BC
2
9
2
22
QABBC|AB||BC|cosB(ABBCAC)1
22
|BC|=3
故选:
A
【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识
.
考查
运算能力,考查数形结合思想、等
价转化思想等数学思想方法
.
二、填空题
13.【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程
是
导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为:设是
曲线上的一点则以为切点的切
线方程是若曲线在点处的切线平行于轴(即
解析:
yx1
【解析】
设
yf(x)
,则
f
(x
)2x
所以曲线
yx
2
1
,所以
f
(1)211
,
2
x
1
在点
(1,2
)
处的切线方程为
y21(x1)
,即
yx1
.
x
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率
,
其求法为:设
P(x
0
,y
0
)
是曲线
yf(x)
上的一点,则以
P
为切点的切线方程是
yy
0
f
(x
0
)(xx
0
)
.若曲线
yf(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切
线平行于
y
轴(即导数不
存在)时,由切线定义知,切线方程为
xx
0
.
14.【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然
后
通过二次函数求出数量积的范围【详解】解:建立如图所示的直角坐标系则设
则所以因为二次函数的对称轴为:所以时故答案为:【点睛】本题考查向量
[2,5]
解析:
【解析】
【分析】
画出图形,建立直
角坐标系,利用比例关系,求出
M
,
N
的坐标,然后通过二次函数求
出数量积的范围.
【详解】
解:建立如图所示的直角坐标系,则
B(2,0)
,
A(0,0)
,
uuuuruuur
<
br>13
|BM||CN|
5
uuur
u
uur
,
0,1
,则
M(2
,
3
)
,
N(2
,
3
),
D
,
,设
22
|BC||CD|
22
22
uuuuruuur<
br>
35353
所以
AMgAN(2
,
)g(
2
,
)54
2
2
2
5
,
2
22244
2
因为
0,1
,二次函数
的对称轴为:
1
,所以
0,1
时,
<
br>
2
5
2,5
.
[2,5]
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的综合应用,平面向量的坐标表示以及数量积的应用,二次函
数的最值问
题,考查计算能力,属于中档题.
15.【解析】【分析】利用已知条件
目标可转化为构造分别求最小值即可【详
解】解:令在上递减在上递增所以当时有最小值:所以的最小值
为故答案为
【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识
解析:
37
4
【解析】
【分析】
<
br>2
33
45
323
利用已知条件目标
可转化为
xy3zx3x
y
,构造
<
br>2
4
33
45
f
x
x
3
3x
,
g
y<
br>
y
4
,分别求最
小值即可.
2
2
【详解】
33
45
32
3
32
解:
xy3z
xy36x3y
x3
x
y
2
4
2
33
45
3
令
f
x
x3x
,
g
y
y
4
,
2
<
br>2
f'
x
3x
2
33
x1
x1
,
x0
,
f
x
在
0,1
上递减,在
1,
上递增,
所以,
f
x
min
f
1
2
当
y
45
33
时,
g
y
有
最小值:
g
y
min
4
2
32
所以,
xy3z
的最小值为
2
4537
44
37
4
【点睛】
故答案
为
本题考查三元函数的最值问题,利用条件减元,构造新函数,借助导数知识与二次知识处
理问
题
.
考查函数与方程思想,减元思想,属于中档题
.
16.11【
解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅
2xn
+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填:11考点:均值的性质
解析:
【解析】
因为样本数据,,,的均值,所以样本数据
,所以答案应填:.
,,,
的均值为
考点:均值的性质.
17
.【
解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点:
1
二项式定理的
展开式应用
解析:
35
【解析】
由题意,二项式
(
x)
展开的通项
T
r1
C
7
(x)
4
得
r4
,则
x
5
的系数是
C
7
35
.
3
1
x
7
r37r
1
r2
14r
()
r
C
7
x
,令
214r5,
x
考点:
1.
二项式定理的展开式应用
.
18
.【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦
以及诱导公式可
计算出结果【详解】原式故答案为:【点睛】本题考查利用三
角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在
计算时要结合角之间的关系选择
解析:
1
【解析】
【分析】
cos10
o
3sin1
0
o
利用弦化切的运算技巧得出
sin5013tan10sin50
,然后
o
cos10
o
o
o
利用辅助
角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果
.
【详解】
原式ooo
oo
2sin1030sin50
cos103sin1
02sin40
o
cos40
o
o
sin50
co
s10
o
cos10
o
cos10
o
oo
sin8
0
o
sin
9010
cos10
o
1
.
ooo
cos10cos10cos10
故答案为:
1
.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值,在计算时要结合
角之间的关系
选择合适的公式化简计算,考查计算能力,属于中等题
.
19
.
1
:
8
【解析】考查类比的方法所以体积比为
1∶8
解析:
1
:
8
【解析】
1
S
h
V
1
3
11
S
1
h
1
111<
br>===
,所以体积比为
1
∶
8.
考查类比的方
法,
=
V
2
1
Sh
S
2
h
2428
22
3
20
.【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得
的值【详解】由于为
锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关
系式考查两角差的正切公式属于中档题
解析:
910
50
【解析】
【分析】
先求得
tan
的值,然后求得
tan
的值,进而求得
cos
的值
.
【详解】
由于
为锐角,且
cos
43sin
3
2
.
由,故
sin
1cos
,
tan
55cos
4
tan
<
br>
tan
tan
1
,解得
tan
13
,由于
为锐角,
故
9
1tan
tan
3
cos
2
1
910
.
cos
cos
cos
2
sin
2
1tan
2
50
2
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正切公式,属于中档题
.
三、解答题
2
n4
1
<
br>n1
21.(1)
b
n
n
(2)
S
n<
br>
n1
22
(3)
n1
33
n1
2
【解析】
【分析】
【详解】
n1
(1)由
a
n1
2a
n
2
得
b
n1
b
n<
br>1
,得
b
n
n
;
n1
12
n23n1
n
(2)易得
a
n
ng2
,
Sn
1222Ln2,2S
n
1222Ln2,
错位相减得
S
n
22L2n2
所以
其前
n
项和
S
n
n1
2
(3)
c
n
n1
12nn1
12
n
2n2
n1
12
2
;
1
n
n
2
4n22n
1
n
n
2
4
n2
n·2
n
?
n1
2
n1<
br>n?
n1
2
n1
<
br>1
n
n
2
n2
n1
n
n?
n1
2
n1
1
n
2
n1
nn
1
n
11
111
1
n
1
n
n1
nn1
,
n?
2
2
2
n?2
n1
?2
2
n1
?
223nn1<
br>2n
11111
1
1
1
1
1
L
T
n
L
1
223nn1
2
1?22?22?23?2n?2<
br>
n1
?2
2
2
2
21
1
<
br>
36
2
n
1
或写成
2
n4
1
33
n1
?2
n1
n1
?2
n1
n1n1
.
点睛:用错位相减法求和应注意的问题
(1)
要善于识别题目类型,特别是等比
数列公比为负
数的情形;
(2)
在写出“
S
n
”与“
qS
n
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下
一步准确写出“
S
n
qS
n
”的表达式;
(3)
在应用错位相减法求和时
,若等比数列的公比为
参数,应分公比等于
1
和不等于
1
两种情况求
解
.
22.(1)
3xy10
,
(x1)(y
1)2
;(2)
231
.
【解析】
【分析】
(
1
)利用代入法消去参数方程中的参数可求直线
l
的普通方程,极坐标方程展开后,两边
同乘以
,利用
xy,
cos
x,
sin
y
,即可得曲线
C
的直角坐标方程;
222
22(
2
)直线
l
的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程,利
用韦达定理、直线参数方程的几何意
义即可得结果
.
【详解】
(
1
)将直线l的参数方程消去参数t并化简,得
直线l的普通方程为
3xy10
.
2
将曲线C的极
坐标方程化为
22
2
2
sin
cos
.
22
2
2
即
2
sin
2
cos
.
∴
x
2
+y
2
=2y+2x.
故曲线C的直角坐标方程为
x
1
y1
2
.
(
2
)将直线l的参数方程代入
x1
y1
2
中,得
2
1
3
t1t22
.
2
2
2
2
22
化简,得
t123t30
.
∵Δ>0,∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数t
1
,
t<
br>2
.
由根与系数的关系,得
t
1
t
2<
br>231
,
t
1
t
2
3
,即t
1
,
t
2
同正.
由直线方程参数的几何意义知,
2
PAPBt
1
t
2
t
1
t
2
231
.
【点睛】
本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程
的转化以及直线参
数方程的应用,属于中档题
.
消去参数方程中的参数,就可把参数
方程化为普通方程,消去
参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等
式消元
法;极坐标方程化为直角坐标方程,只要将
cos
和
sin
换成
x
和
y
即可
.
23.(
1
)
17.4
;(
2
)(
i
)
14.77
千元(
ii
)
978
位
【解析】
【分析】
(
1
)用每个小矩形的面积乘以该组中点值,再求和即可得到平均数;
(
2
)(
i
)根据正态分布可得:
P(X
)0.5
0.6827
0.8414
即可得解;(
ii
)
2
根据正态分布求出每个农民年收入不少于
12.14
千元
的事件概率为
0.9773
,利用独立重复
试验概率计算法则求得概率最大值的
k
的取值即可得解
.
【详解】
(
1
)由频率分布直方图可得:
x120.04140.
12160.28180.36200.1220.06240.0417.4
;
(
2
)(
i
)由题
X~N
17.4,6.92
,
P(X
)0.
5
0.6827
0.8414
,
2
所以
<
br>
17.42.6314.77
满足题意,即最低年收入大约
14.77
千元;
(
ii
)
P(X12.14)P(
X
2
)0.5
0.9545
0.9773<
br>,
2
每个农民年收入不少于
12.14
千元
的事件概率为
0.9773
,
记这
1000
位农民中的年
收入不少于
12.14
千元的人数为
X
,
X:B
1000,0.9773
恰有
k
位农民中的年收入不少于
12.14
千元的概率
k
P
Xk
C1000
0.9973
k
10.9973
100
0k
P
Xk
1001k
0.9773
1
得
k10010.9773978.2773<
br>,
P
Xk1
k
1
0.9773
所以当
0k978
时,
P
X
k1
P
Xk
,当
979k10
00
时,
P
Xk1
P
Xk
,所以这
1000
位农民中的年收入不少于
12.14
千
元的人数最有
可能是
978
位
.
【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数,利用正态分布估计概率,结合独立重复试验计算概率
公式求解具
体问题,综合性强
.
24.(1)
f(x)
min
3<
br>,此时
x
1,2
(2)
1,2
【解析】
【分析】
(
1
)利用绝对值不等式公式进行求解;
(
2
)
集合
xf
x
ax10R
表示
xR<
br>,
f
x
ax1
,令
g
x
ax1
,
根据几何意义可得
yf(
x)
的图像恒在
yg(x)
图像上方,数形结合解决问题
.
【详解】
解(1)因为
x2x1
x2
x1
3
,
当且仅当
x2
x1
0
,即
1x2
时,上式“
”
成立,
故函数
f
x
x2x1
的最小值为3,
且
f
x
取最小值时
x
的取值范围是
1,2
.
(2)因为
xf
x
ax10R
,
所以
xR
,
f
x
ax1
.
2x
1,x1
函数
f
x
x2x1
化为
f
x
3,1x2.
2x1,x2
令
g
x
ax1
,
其图像为过点
P
0
,1
,斜率为
a
的一条直线.
如图,
A
2,3
,
B
1,3
.
则直线
PA
的斜率
k
1
直线
PB
的斜率
k
2
31
1
,
20
31
2
.
10
因为
f
x
g
x
,所以
2a1
,即
1a2
,
所以
a
的范围为
1,2
.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题,不等式恒成立问题往往
可以借助函数
的图像来研究,数形结合可以将抽象的问题变得更为直观,解题时应灵活运用
.<
br>
25.(1)
3xy40
;(
2
)
【解析】
【分析】
210
5
4
,
B
2,2
,问题得解.
(
1
)求
得
A
0,
(
2
)利用直线
AB
和曲线<
br>C
相切的关系可得:圆心到直线A
B
的距离等于圆的半径
r
,
列
方程即可得解.
【详解】
π
5π
B22,<
br>A
0,4
,
B
2,2
,
(1)分别将
A4,
,
24
转化为直角坐标为
所以直线
AB
的直角坐标方程为
3xy40
.
(2)曲线C的方程为
r
(
r0
),其直角坐标方程为
x
2
y
2
r
2
.
又直线A
B
和曲线C有且只有一个公共点,即直线与圆相切,
所以圆心到直线A
B
的距离等于圆的半径
r
.
又圆心到直线A
B
的距离为
【点睛】
本题主要考查了极坐
标与直角坐标互化,还考查了直线与圆相切的几何关系,考查计算能
力及点到直线距离公式,属于中档题
.
4
210
,即
r
的值为
210.
5
3
2
1
2
5