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历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
一、选择题：（每小题5分，计40分）

1．（2008北京文）已知△
ABC
中，
a
=
2
,
b
=
3
,< br>B
=60°,那么角
A
等于（ ）
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°

2.（2007重庆理）在
ABC
中，
AB

3.(2 006山东文、理)在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
,
A
=
（A）1 （B）2 （C）
3
—1 （D）
3


4．(2008福建文)在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若
ac b3ac
，则角B的值为
（ ）
Ａ．

222
题号
答案
12345678
3,
A
45
0
,C
75
0
,
则BC =（ ）
A.
33
B.
2
C.2 D.
33


,
a
=
3
,
b< br>=1，则
c
=( )
3


6
Ｂ．

5

Ｃ．或
6
36
Ｄ．

2

或

3
3
abc
，则△
ABC
是（ ）

cosAcosBcosC
（A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形.


6.（2006全国Ⅰ卷文 、理）
ABC
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比
数列 ，且
c2a
，则
cosB
（ ）
5．（2005春招上海）在△
ABC
中，若
A．

7．（ 2005北京春招文、理）在
ABC
中，已知
2sinAcosBsinC
，那么
ABC
一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形


8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ ABC中，
a
、
b
、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果
a、
b
、c
成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为
A．
13
B．
13
C．
2
2
2
22
13
B． C． D．

43
44
3
，那么
b
=（ ）
2
3
D．
23


二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.（2007重庆文）在△
ABC
中，
AB
=1, B
C
=2,
B
=60°，则
AC
＝


。
10. (2008湖北文)在△
ABC
中，
a，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
所对的边，已知
a
则
A
＝ .

整理范本
3,b3,c30,

.
11.（2006北京理）在
ABC
中，若
sinA:sinB:sinC5 :7:8
，则
B
的大小是___ __.


12.（2007北京文、理) 在
△ABC
中，若
tanA
1< br>o
，
C150
，
BC1
，则
AB
__ ______．
3

13．(2008湖北理)在△ABC中，三个角A，B，C的 对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca
cosB+ab cosC的值为 .


14．（2005上海理）在
ABC
中，若
A 120
，则
ABC
的面积S=_______

AB5
，
BC7
，


三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
o
53
，
cosB
．
135
（Ⅰ）求
sinC
的值； （Ⅱ）设
BC5
，求
△ABC
的面积．
15．(2008全国Ⅱ卷文) 在
△ABC
中，
cosA






















tanC37
． 16.（2007山东文）在
△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，
（1）求
cosC
； （2）若
CB•CA




整理范本
5
，且
ab9
，求
c
．
2

.



















17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△A BC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值 ；（2）求AE。
D

C


E



A



















18.（2006全国Ⅱ卷文）在
ABC中，B45,AC10,cos C
B
25
,求
5
整理范本

.
（1）
BC?
(2)若点
D是AB的中点，求中线CD的长度。































19.（2007全国Ⅰ理）设锐角 三角形
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,
(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求
cosAsinC
的取值范围.















整理范本
a
=2
b
sin
A

.





20.（2003全国文、理，广东）在某海滨 城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于
城市O（如图）的东偏南

(co s


2
)
方向300km的海面P处，并以20kmh的速度向西 偏北
10
45
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以1 0kmh的速度不断增
大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
y


O


海

岸

线


















北
东
x
Q
r(t
45

P

历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计40分）
题号
答案
1
C
2
A
3
B
4
A
5
B
6
B
7
B

二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.
3
； 10. 30° ； .11. __ 60
O
_. 12.
8
B

10
153
61
； 13． ； 14．

2
4
2
整理范本

.
三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
51234
，得
sinA
，由
cosB
，得
sinB
．
131355
16
所以
sinCsin(AB)sinAcosBc osAsinB
．
65
4
5
BCsinB
5

13
．
（Ⅱ）由正弦定理得
AC
12
sinA3
13
1113 168
所以
△ABC
的面积
SBCACsinC5
．
223653
15．解：（Ⅰ）由
cosA


16.解：（1）
QtanC37，

22
sinC
37

cosC
1
．
8
1

QtanC0
，
C
是锐角．
cosC
．
8
51
5
（2）∵
CB•CA
，即abcosC=
，又cosC=
ab20
．
28
2
a
2
2abb
2
81
．
a
2
b
2
41
．
又
Qab9

c
2
a
2
b
2< br>2abcosC36
．
c6
．

又
QsinCcosC1
解得
cosC



17．解：（Ⅰ）因为
∠
BCD9060150
，
CBACCD
，所以
∠CBE15
．
oooo
所以
cos∠CBEcos(4530)
（Ⅱ）在
△ABE
中，
AB2< br>，
oo
62
．
4
D
C
E
AE2
由正弦定理．

ooo o
sin(4515)sin(9015)
2sin30
o
故
A E
cos15
o





18．解：（1）由
cosC
2
1
2
62

AB
62
4
255

得sinC
55
2310

sinAsin(180
o
45
o
C)(cosCsinC)
210
整理范本

.
AC10310
sinA32

由正弦 定理知
sinB10
2
2
AC105
ABsinC21
（2），
BDAB1

sinB
2
5
2
2
BC
由余弦定理知
CD

19.解：（Ⅰ）由< br>a2bsinA
，根据正弦定理得
sinA2sinBsinA
，所以sinB
BD
2
BC
2
2BDBCcosB118 2132
2
13

2
1
，
2
π
．
6




（Ⅱ）
cosA

sinC

cosA

sin


A

cosAsin

A




6

13


cosA cosAsinA
3sin

A

．
22
3

由
△ABC
为锐角三角形得
B
由
△AB C
为锐角三角形知，
0A

．
26

2

5

解得
A
所以，
A
32336
1



33
3

所以
sin

A


．由此有
3sin

A

3
，
2
3

223

2

2
，


A


33

所以，
cosAs inC
的取值范围为


2
，

．
2


20.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
由
cos

272
2
，可知
sin

1cos
< br>
，
1010
O
海
岸
线
y
北
东
cos∠OPQ=cos(θ-45
o
)= cosθcos45
o
+ sinθsin45
o

227224


=
1021025
在 △OPQ中，由余弦定理，得

OQOPPQ2OPPQcosOPQ

=
300(20t)230020t
2

x
222
22
4

5
r(t
Q
=
400
t
9600
t
90000

若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
400t9600t90000(10t60)
，
整理，得
t< br>36
t
288

0
，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
2
22
45

P
整理范本

.




















1．正弦定理：
abc

2
R
外

sinAs inBsinC
222
b
2
c
2
a
2
2．余弦定理：
a
=
b
+
c
-2
bccosA,
cosA
；
2bc
3 .射影定理：
a
=
b
cos
C
+
c
cos
B
；
b
=
a
cos
C
+
c
cos
A
；
c
=
a
cos
B
+
b
cos
A
4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
CABCAB
=sin, sin=cos

2222
111
（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
222
cos
5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：
bsinA6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
A
C
b
a
H
c
B
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
7．熟练掌握实际问 题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标
出已知量、未知量，确定解三角形的 方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

整理范本