发车时间间隔
t
（单位：分钟）满足：
2t20
，
tN
. 经测算 ，地铁载客量
p(t)
2


120010

1 0t

,2t10，
与发车时间间隔
t
满足：
p(t )

其中
tN
.
1200,10t20，


（1）请你说明
p

5

的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为
Q
6p(t)3360
360
（元），问当发车时间间隔
t
为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.




19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我国古代数学名著《九章 算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指
底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；堑堵指底面是 直角三角形，且侧棱
垂直于底面的的三棱柱.
（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵
的体积； （2）在堑堵
ABCA
1
B
1
C
1
中，如图 2，
ACBC
，若
A
1
AAB2
，当阳马
B AA
1
C
1
C

的体积最大时，求二面角
CA
1
BC
1
的大小.

图1

图2

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7
4

分）
x
2
y
2
已知椭圆
:1
的左右两焦点分别为
F
1
,F
2
.
43
（1）若矩形
ABCD
的边
AB
在
y
轴上，点
C,D
均在

上，求该矩形绕
y
轴旋转
一周所得
圆柱侧面积
S
的取值范围；
（2）设斜率为
k
的直线l
与

交于
P,Q
两点，线段
PQ
的中点为< br>M(1,m)(m0)
，
1
求证：
k
；
2
（3）过

上一动点
E

x
0
,y
0

作直线
l:
x
0
xy
0
y
1
，其中
y
0
0
，过
E
作直线
43
l

的垂线交
x
轴于点
R
. 问是否存在实数

，使得
EF
1
RF
2


E F
2
RF
1
恒成立？
若存在，求出

的值；若不 存在，说明理由.


21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9
分）
1
2
已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
1,a
n1
a
n
m
，其中
n N
*
,mR
.
8
（1）若
a
1
,m ,a
2
成等差数列，求
m
的值；
（2）若
m0
，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
；
（3） 若对任意正整数
n
，都有
a
n
4
，求
m
的最大值.





5

杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研

数学学科试卷评分标准
2019.4.

考生注意：
1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.

2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟
．
一、填空题（本大题共有
12
题，满分
54
分，第
1
～
6
题每题
4
分，第
7
～
12
题每题
5
分）
考生应在 答题纸的相应位置直接填写结果
.

131



1. 2.


25

3. 3 4. 4 5. 5 6.
2

4

7.
[
2a

1

24
11. 12. 155
,2]
8. 9.
1
10.
|1

2
|
22235
二、选择题（本题共有
4
题，满分
20
分，每题
5
分）每题有且只有一个正确选项 ，考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
.
13.C 14.A 15.A 16.D
三、解答题（本大题共有
5
题，满分
76
分）解答下列各 题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤
.
17
.
（本题满分< br>14
分，第
1
小题满分
6
分，第
2
小题满分
8
分）

解：（
1
）因为函数
ytanx
的定义域为
{x|xk


所以函数
f

x< br>
的定义域为
{x|xk


6


2
,
kZ
}

……2分


2
,
kZ
}

……6分

（2）
f(x)(1
sinx
)2sin
x
cos
x

cosx

2sinxcosx2sin
2
x


sin2x1cos2x


12sin(2 x
令
f(x)2
，即
sin(2x
由
x(0,
)
得，
2x
故
2x

4
)，

……10分

4
)
2

2

4
(

7
,

)
，

……12分
44

4


4
或
3



，即
x
或
（舍）.

……14分
442
18.
（本题满分
14
分，第
1
小题满分
7
分，第
2
小题满分
7
分）

解：（
1
）
p(5)12001025950
，

……
3
分

p(5)
的实际意义是：当地铁的发车时间隔为
5
分钟时，地铁载客量为
950
；

……7分


720060(10t)
2
33603 6
（
2
）当
2t10
时，
Q36060(t
)

840
，

tt

-6012840120


……10分

等号成立当且仅当
t6
；
当
10 t20
时，
Q


6120033603840
360
360

tt
3840
-36024

10
等号成立当且仅当
t10

……1
3
分

故当发车时间间隔为
6
分钟时，该线 路每分钟的净收益最大，最大净收益为
120
元
.

……14分


19.
（本题满分
14
分，第1
小题满分
6
分，第
2
小题满分
8
分）

解：

（
1
）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且 斜边长为
2
，相应的高为
1
棱柱的侧棱长为
2
……4分

7

故该堑堵的体积为
1

2

1

2

2
；
……6分
2
21
ACBCAA
1


32
114
222

(ACBC)AB

333
（
2
）
VBAA
1
C
1
C
2V
BAA
1
C
2V
A
1
ABC

等号成立的充要条件是
A CBC2
；

……8分

以
C
为原点，
CB,CA,CC
1
为坐标轴建系，

则
B
(2,0,0),
C
1
(0,0,2),
A< br>1
(0,2,2)
，

则
CB(2,0,0),CA
1
(0,2,2)
，设面
A
1
BC
的法向量为
n
1
(a,b,c)
，



2a0,
故

令
c1
，得
n
1
(0,2,1)，



2b2c0,
同理可得，面
A
1
BC
1
的法向量为
n
2
(2,0,1)
，

……12分

故n
1
与
n
2
的夹角

满足：
cos< br>

1
，

3
1
3
由图可知，所求 二面角为锐角，故所求为
arccos

……14分

20
.
（本题满分
16
分，第1
小题满分
4
分，第
2
小题满分
5
分，第3
小题满分
7
分）

解：（
1
）解法一：不妨 假设
C
在第一象限，令
C(2cos

,3sin

)(0



2
)
，


……2分

则
S2

2cos

2 3sin

43

sin(2

)
，
由
2

(0，

)
，得
S(0,43

]
；

……4分

2
x
0
2
y
0
解法二 ：不妨假设
C

x
0
,y
0

在第一象限 ，则
1

……1分

43
22
xy
00

所以

x
0
y
0
3
……3分

有
< br>12
43
S4

x
0
y
0
4 3


得
S(0,43

]
；

……4分

（
2
）解法一：直线
l
的方程为
ymk(x1)，代入
3
x
2

4
y
2

1 2

0
，


……6分

(4k
2
3)x
2
8k(mk) x4(mk)
2
120
，
8

 64k
2
(mk)
2
4(4k
2
3)[4(mk )
2
12]48[4k
2
(mk)
2
3]0< br>，


……7分

即
4
k
2

(
mk
)
2

3

0
，
又
M
为 中点，故

4k(mk)3

1
m
，得
，< br>k0
，

……8分
2
4k34k
代入
4
k
2

(
m k
)
2

3

0
得，
(2k1)(2k 1)(4k
2
3)0
，

而
(2
k
1)(4
k
2

3)

0
，故
2k1 0
，即
k
解法二：设
P

x
1
,y
1

,Q

x
2
,y
2

，
22
y
1
y
2
3x
1
x
2
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2

则，

1,1
两式相减整理得
xx4y y
4343
1212
1

……9分
2
即
k
3x
1
x
2

4y
1
y
2
x
1
x
2
y
1
y
2
1,m,

22
3

……6分
于是
k
4m
由题意得
3
1
2
m
2
0m
中点
M

1,m

在椭圆内部，则

解得（要说明理由，否则扣2分）
1
2
43
故
k
1


……9分
2
（
3
）当
x
0
0
时，
EF
1
RF
2
EF
2
RF
1
，

所以，存在实数满足条件，则

1
；

……10分

直线
ER
的方程为

则
R(
y
0
x
(xx
0
)
0
(
y y
0
)

0
，

34
x
0
,0)
，

……12分

4
1
(1x
0
)
2
22
22
(x
0
1)y
0
|EF
1
||RF
2
|
2
4


……14分

故


2222
1
|EF< br>2
||RF
1
|(x
0
1)y
0
(1 x)
2
0
4
3
2
(x
0
1)
2
3x
0
(4x
0
)
2
(4x
0
)
2
(4x
0
)
2
4
1
3
2
(4x
0
)
2
(4x
0< br>)
2
(4x
0
)
2
2
(x
01)3x
0
4
所以，

1
。

……16分

9

21.
（本题满分18
分，第
1
小题满分
4
分，第
2
小题满分< br>5
分，第
3
小题满分
9
分）

1
解：（
1
）
a
2
m
，

……2分

8
由
2ma
1
a
2
得，
2m1
所以
m
1
m
，

8
9

……4分

；

8
1
2
（
2）
a
n1
a
n
，

8
显然，
a
n
0
恒成立

……5分

所以，
log
2< br>a
n1
log
2
1
2
a
n
 3log
2
a
n
，

8
即

3

log
2
a
n1

2(

3

log
2
a
n
)
，

……7分

所以，
3log
2
a
n
2
n1
n1
(3log
2a
1
)32
n1
，

……8分

整理得，
a
n
2
332
；

……9分

（
3
）
a
n1
a
n

1
2
1
a
n
a
n
m
(
a
n

4)
2

(
m
2)
m
2

……11分

88
故
a
n

(
a
n
a
n1
)

(
a
n1
a
n2
)< br>
(
a
2
a
1
)
a
1a
1

(
n
1)(
m
2)
，< br>
当
m2
时，令
a
1

(
n< br>1)(
m
2)

4
，即
n
4a
1
1
，

m2
则
a
n
a
1

(
n
1)(
m
2)

4
，与已知矛盾；

……13分

所以，
m2
。

……14分

(
另解：当
m2
时，注意到
n
时
,
(m2)(n1)

因此
,
存在充分大的
n，使得
1(m2)(n1)4
，即
a
n

4< br>，与已知矛盾）

若
m2
，则
a
n1

1
2
a
n

2
，下用数学归纳法证明
0 a
n
4
。

8
1
2
1
a
k
24
2
24
，而
a
k1
0显然成立。

88
n1
时，显然成立，

假设
0
a
k
4
，则
a
k1

故对所有 正整数
n
，都有
a
n
4
。

……16分

所以，
m
的最大值为
2.
……18分


10

（其他解法，可根据标准酌情给分）
11