二本大学排行榜-入团申请书

教学内容




等腰三角形分类讨论综合

1.理解等腰三角形的性质和判定定理；
2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；
3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；
4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；
5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。


。


例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3，AC=4，AD是BC边 上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的
动点，且∠EDF= 90°．（1）求DE︰DF的值；
（2）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的 长；若不能，
请说明理由。（★★★★★）

A A
A

E


F

C
D

B
例1题图


【满分解答】：（1）∵∠BAC= 90° ∴∠B +∠C ＝90°，
∵AD是BC边上的高 ∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B =∠DAC

又∵∠EDF= 90°
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°
∴∠BDE =∠ADF
DEBD


DFAD
3
BDAB3
∵
cotB
∴DE︰DF =
4
ADAC4
∴△BED
∽
△AFD ∴

（2）若△EFG为等腰三角形，根据点
G
的不同位置分两大类讨论：
1 14

A
E
F
B
D
G
C

（图1）
①当点
G
在射线
AB
上时，如图1。因为
FEGCA BAFE＞90
o

所以
FEG
为钝角，则△EFG为等腰三角形时，
EGEF

∵
EGEF
，
EDDF

∴
D
为
GF
中点
则，在直角
AGF
中 ，
GF2AD
又∵
G=EFGC

24
，
5
DGAGAC4


EGGFBC5
96
54
可求得
AG

,EG3
。 所以：
BE
25
25
另解：由△EFG 为等腰三角形可得
AED≌GBD
，所以
BDDE
，再过点
D
作
BE
垂线，利用三角比可求得
54
。
BE
2 5
∴
cosG=cosC
，则
②当点
G
在射线
BA
上时，如图2。因为
FEGCABAEF＞90
o

所以
EFG
为钝角，则△EFG为等腰三角形时，
FGEF

∵
FGEF
，
AFAE

∴
A
为
EG
中点
∴
AEG=G

又∵
B=FED

∴
BDE=AEFADF

∴
ADFG

∴
AEAGAD
所以：
BE
12

5
3
。
5
3
54
或
BE
。
5
25
综上可得，当△EFG为等腰三角形时，
BE


例2.如图，在
D
重
B
当
G

B

A
E
（
D
不与
A
、
AB C
中，
ABAC5,BC6
，
D
、
E
分别是 边
AB
、
AC
上的两个动点
合），且保持
DE∥BC
，以
DE
为边，在点
A
的异侧作正方形
DEFG
，
（★★★★★）
BDG
是等腰三角形时，请直接写出
AD
的长。
C
2 14
F

【满分解答】：过点
A
作
AQBC
，垂足为点
Q
。
∵
ABAC5,BC6
，则
BQ3、AQ4
，
cosQAB
设
ADx
，则
BD5x
，DEDG
4
；
5
6
x
。
5
当
BDG
是等腰三角形时，根据点
G
的位置，分以下情况讨论：
（ 1）当点
G
在
ABC
内部时：因为
DGB＞90
o，所以该情况下只可能
DGBG
。
但该情况下不能直接求解出，则画底边上的 高（点
G
作
GHAB
）。（如图1）
5x
4
125
则：
HDGQAB
，所以
cosHDGcosQAB，即
2

，解得：
x
；
6x
73
5
5
（2）当点
G
在
ABC
外面时：分以下情况讨论
25
6x
①当
DBDG
时：则；
5x
，解 得：
x
11
5
②当
DBDG
时：（如图2）设
BC
与
DG
交点为
M
，则可得：
BMDG
且点< br>M
为
DG
中点，
3x
4
20
所以：
cosHDGcosQAB
，即：
5

，解得：
x
；
7
5x5
③当
DGBG
，不成立。
12525 20
综合上可得：当
BDG
是等腰三角形时
AD,,
。
73117
A
D
H
B
G
Q
F
C
E


（图1） 1.已知在梯形
ABCD
中，
ABDC
，
AD2PD
，
PC2PB
，
ADPPCD
，
PDPC4
， 如图1。（本
题满分14分）（★★★★★）
（1）求证：
PDBC
； < br>（2）若点
Q
在线段
PB
上运动，与点
P
不重合，联 结
CQ
并延长交
DP
的延长线于点
O
，
3 14

如图2，设
PQx
，
DOy
， 求
y
与
x
的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）若点
M
在线段
PA
上运动，与点
P
不重合，联结
CM
交
DP
于点
N
，当△
PNM
是等腰三角形时，求
PM
的
值．

D
C
D
C




A
B
P
Q
B
A
P

图1
图2
O
【满分解答】：
（1）证明：∵
ABDC

∴
CPBPCD
………………1分
∵
ADPPCD

∴
ADPCPB
………………1分
∵
AD2PD
，
PC2PB

∴
PDAD
………………1分

PBPC
∴△
ADP
∽△
CPB
………1分
∴
APDB

∴
PDBC
…………………1分
（2）解： ∵
ABDC
，
PDBC

∴四边形
PBCD
是平行四边形
∴
PDBC

∵
PDPC4
∴
BC4
……………………1分
∵
PC2PB

∴
PB2

∵
ODBC

∴
POPQ

………………………1分
BCQB
∵
PQx
，
DOy

∴
POy4
，
QB2x

∴
y4x
……………………1分

42x
4 14

∴
y
8
…………………………1分
2x
定义域是：
0x2
………………1分
（3）解：①当
PMPN
时，
∵
PMDC

∴
DCDN
∴
DCDN


PMPN
由（2）知：
PD4
，
DC2

∴
PMPNPDDN2
………………2分
②当
MPMN
时，
∵△
ADP
∽△
CPB
，
PCBC4

易得：
APAD2PD8

易证：
MNAD

即：四边形
AMCD
是平行四边形
∴
DCAM2

∴
PMAPAM6
…………………………2分
（ 注：当
NMNP
时不存在）
D
N
A

M
P
B
A
M
P
B



C
D
N
C

动点产生的直角三角形

6.理解直角三角形的性质；
7.能用直角三角形的性质解决相关问题；
8.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；
9.培养学生分析问题、解决问题的能力。


5 14

练习1.在
ABC
中，
A BAC5
，
BC8
，点
P
、
Q
分别在边CB
、
AC
上（点
P
不与点
C
、点
B
重合），且
保持
APQABC
。
（1）若
BPx
，
CQy
，求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出 函数的定义域；
（2）当
CPQ
为直角三角形时，求点
P
、
B
之间的距离。


【满分解答】：
（1）∵
APQCPQBBAP
，
APQABC
，
∴
BAPCQP
.
又∵
ABAC
，∴
BC
.
∴
QCP
∽
ABP
.
∴
CQCP
.

BPAB
∵
BPx
，
BC8
， ∴
CPBCBP8x
，
y8x18
又∵
CQy
，
AB5
，∴ ，即
yx
2
x
.

x555
18
故所求的函数关系式为
yx
2
x
，
(0x8)
.
55
o
（2）①当
CQP90
时：如图1，
∴
QAPAPQ90，APQC

∴
QAPC90
，则
APBC

∴点
P
为
BC
中点，则
BP4

②当
CPQ90
时：如图2，
∵
BCAPQ

o
o
o
6 14

∴
BAPCPQ90

∴
cosB
o
4AB25
，解的
BP


4
5BP
③当
C90
o
时，不成立。
综上可得，当
CPQ
为直角三角形时，
BP4
或
BP
25
。
4

（图1） （图2）


【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5分钟左右。
动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略：
1.寻找题目中的已知量；
2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解；
3如不能，则利用勾股定理解答；
4.注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。


1.已知△ABC为等边三 角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点
D， 以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上。（满分10分 ，3分
+7分）
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由。
（★★★★★）

【满分解答】：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60º，AB=BC=AC=6.
∵DP⊥AB，BP=x，
∴BD=2x. ...............................................1分
又∵四边形DEFG是正方形，
7 14

∴EF⊥BC，EF=DE=y，
∴
EC
3
y
.
3
3
y6
，... .........................1分
3
∴
2xy
(33)x933
∴
y
................................................1 分
（
633
≤
x
<3） （定义域写错扣0.5分）

（2）△GDP能成为直角三角形.
①∠PGD=90º时，则点
P、G、F
共线，所以
APPF
；
x3yy
，................................1分
6
x(31)[(33)x933]

6
，................................1分
得 到：
x
3063
............................. ....1分
11
②∠GPD=90º时，点
G
在
AB
边 上，则点
A、G、P、B
共线，
所以
AGPGBG6

所以：
4xx
3
y
，.................. ..............1分
2
4xx
3
3)x933]

[(3
，................................1 分
2
得到：
x633
。
................. ...............1分

③当
GDP=90
o
时，不成立。

∴当△GDP为直角三角形时，BP的长 为
3063
或者
x633< br>.....................1分
11





动点产生的相似三角形


1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；
2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题
8 14

策略；
3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；
4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；
5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。




例1.如图，在
Rt
△
ABC
中，
ACB90
，
CE
是斜边
AB
上的中线，
A B10
，
tanA
4
，点
P
是
CE
延 长线
3
上的一动点，过点
P
作
PQCB
，交
CB
延长线于点
Q
，设
EPx
，
BQy
。（★★★ ★）
（1）求
y
关于
x
的函数关系式及定义域；
（2） 过点
B
作
BFAB
交
PQ
于
F
，当BEF
和
QBF
相似时，求
x
的值。


【满分解答】（1）在
Rt
△
ABC
中，
ACB90< br>，
∵
tanA

BC4

，
AB10

AC3
∴
BC8,AC6
．
∵
CE
是斜边
AB
上的中线，∴
CE BE
1
AB5

2
∴
PCBABC,
∵
PQCACB90


∴△
PQC
∽△
ABC

CQBC48y4
,即
；
PCAB55x5
4
∴
yx4
，定义域为
x5
．
5
∴
（2）∵
QACB90,QBFA

∴△
BQF
∽△
ABC


9 14

当△
BEF
和△
QBF相似时，可得△
BEF
和△
ABC
也相似．
分两种情况：
①当
FEBA
时，

在
R t
△
FBE
中，
FBE90
，
BE5
，BF
5
y

3
∴

5

4

4
x4

5
，解得
x10
；
3

5

3
5
y

3
②当
FEBABC
时，
在
Rt
△
FBE
中，
FBE90

,BE5,BF
∴

125
5

4

3

x4

5
，解得
x
16
3
5

4
125
或10．
16
综合①②，
x
我来试一试
！
练习1.已知如图，在等腰梯形ABCD中，
A
M< br>D
E
P
N
C
F
4
AD∥BC，AB=CD， AD=3，BC=9，
tanABC
，
3
直线MN是梯形的对称轴，点 P是线段MN上一个动点
N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB
于点F。（★★★★★）
（1）.设PN
x
，CE
y
，试建立
y
和
x
之间的函数关
出定义域；
（不与M、交射线BP
系式，并求
B
（2）.联结PD，在点P运动过程中，如果
 EFC
和
PDC
相似，求出PN的长。

【满分解答】：过点E 作EG⊥BC，∵
tanABCtanDCB
∴
EG
4

3
43
y,GCy.

55
由题意有EG∥MN
∴
x4.5
PNBN


，即
43
EGBG
y9y
55
15x
(0x3)

x6
（3）（Ⅰ）当
PDCDCF
时，PD∥CF
∴
MDPABC

1.53
3

∴
tanMDPtanABC
，即
4x4
4
∴
x2
∴
y
10 14

（Ⅱ）当
PDC FECDEP
时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O。
则
DHEH
5y

2
∴
ODCDCBDPC

∴
DO
DH5y5


sinODC23
又
MO4
5y54
25241

，即
1.5(4 x)
，
x.

MP3
233
16
因为
2524125241
2
都在定义域内，所以当
x、or
x2
时，
EFC
和
PDC
相似。
1616

例 2.如图，已知梯形
ABCD
中，
AD

BC
，
AB BC
，
AB4
，
ADCD5
，
cotC
3
．
4
点
P
在边
BC
上运动（点
P< br>不与点
B
、点
C
重合），一束光线从点
A
出发，沿< br>AP
的方向射出，经
BC
反射后，反射
光线
PE
交射 线
CD
于点
E
。
联结
PD
，若以点
A、
P
、
D
为顶点的三角形与
PCE
相似，试求
BP
的长度。（★★★
★★）






【满分解答】：∵AD∥BC
∴∠
DAP
＝∠
APB
，


∵∠
APB
＝∠
EPC ∴
∠
DAP
＝∠
EPC
若
△
APD与
△
PCE, 则有如下两种情况：
（ⅰ）
∠
ADP
＝∠
C 时，
推出BP=2时，
△
APD
∽△
PEC；
(ⅱ)
∠
APD
＝∠
C时
（法一）又∵
∠
ADP
＝∠
DPC ∴
△
APD
∽△
DCP
2
∴
PDADPC

A
D
E
A
D
B
P
C
B
(备用图）

A< br>2
D
∵
PD
2
4
2


5x


∴
16

5x

5
8x


2
E
H
k
解得
x
1,2

521
，经检验，均符合题意
2
B
P
C
11 14

故
x1,2

521
时，
△
APD
∽△
PCE；
2
521
时，
△
APD与
△
PCE相似。
2
ABDHBPAH
,

APADAPAD
∴当BP为2，
（法二）过点D作DH⊥AP于点H
∵
∠
DAP
＝∠
APB ∴
∵
AP
∴
DH
4
2
x
2

20
16x
2
2
,AH
5x
16x
5x
16x

2

∴
HP16x
2
∵ cot
∠
C=
HP3
3

∴
cot DPH
DH4
4

5x
2
4

16x 

16x
2

解得
x
1,2


20

3


2
16x

521
经检验，均符合题意
2
故
x
1,2

521
时，
△
APD
∽△
PCE；
2
521
时，
△
APD与
△
PCE相似
2
∴当BP为2，



一．由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：
1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并 找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏
条件）
2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：
3.相似三角形的边如果能直 接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边
形等更特殊的条 件）
4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。


1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意 一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点
12 14

M在线段 AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=
12
．
13
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（4分）
（2）如图2，当 点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写
出 函数的定义域；（4分）
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的 顶点E、N、B对应），求AP的长。（6分）（★
★★★★）

图1 图2 备用图
【解法点拨】：
1.本题综合性很 强，注意抓住题目中的特殊条件和不变的量：
C=APE90
，EM=EN；
2.求解函数关系式，构造基本图形并应用好三角比和勾股定理；
3.当△AME∽△ENB 相似时，对已经对应好，但要分点
E
在
AC
边上和
BC
边上 两大类讨论：
AMME

①.当点
E
在
AC
边上 时：可直接利用比值计算；
ENNB
②.当点
E
在
BC
边 上时：根据外角定理，△ACE∽△EPM。
4.相似三角形分类讨论时，注意点的运动位置和边的对应。
【满分解答】:（1）∵∠ACB
=90°，∴
AC
=
AB
2
BC
2< br>=
50
2
30
2
=40．............... ...1分
0
11
∵
S
=
ABCP
=
ACBC
,.
22
ACBC
4030
∴
CP< br>===24.......................................... ..1分．
50
AB
12
CP12

．........ ..........................1分 在Rt△
CPM
中，∵sin ∠
EMP
=，∴
13
CM13
1313
24
=2 6．............................................1分 ∴
CM
=
CP
=
1212
3
PEAP
PEx


（2）由△
APE
∽△
ACB
，得，即，∴< br>PE
=
x
．.........................1分 4
3040
BCAC
12
PE12

．....... ............1分 在Rt△
MPE
中，∵sin∠
EMP
=， ∴
13
ME13
1313
133
PE
=
x
=
x
． ∴
EM
=
1216
124
5

13

3

22
x
．............ .......1分 ∴
PM
=
PN
=
MEPE
=

x



x

=

16
4

16
∵
AP
+
PN
+
NB
=50，∴
x
+
22
5
x
+
y =50．
16
13 14

21
x50
(0 <
x
< 32)．...................1分
16
（3）第三问：由于给出对应顶 点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题
还可以通过角度之间的关 系转换求解，并从角度入手更加简洁直观方法如下： ①当点
E
在线段
AC
上时，
∴
y
=


13
AMME
x
，
AM
=
xPM
=

．∵
EM
=
EN
，∴
EM
2
AMNB
．设
AP
=
x
，由（2）知
EM
=
16
ENNB
51121
xxx
，NB
=
x50
．...................1分
1 61616
△
AME
∽△
ENB
，
21

13

11
∴

x

x(x50)
...................1分
16

16

1 6
解得
x
1
=22，
x
2
=0（舍去）．即
AP
=22．...................1分
② 当点
E
在线段
BC
上时，
2

550
ACEP12
AC
=．.........1分

．∴
CE
=
123
CEMP5
50
555
设AP
=
x
，易得
BE
=
(50x)
，∴CE
=30
(50x)
．∴30
(50x)
=．... ...1分
3
333
解得
x
=42．即
AP
=4 2．....1分∴
AP
的长为22或42．（若最后答案没有写，则扣1分）
根据外角定理，△
ACE
∽△
EPM
，∴










14 14