吉林农大教务处-民间艺术作文

2018高考数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A

x|ylgx

，B

y|ylgx< br>
，C

(x,y)|ylgx

，A、B、C
中元素各表示什么？
2.
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合Ax|x
2
 2x30，B

x|ax1



若BA，则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质：
1


（答：


1，0，

）


3


（1）集合

a
1
，a
2
，……，a
n

的所有子集的个数是2
n
；
，
非 空子集个数是2
n
1,真子集个数是2
n
1,非空真子集个数是2
n
2


4. 你会用补集思想解
决
问题吗？（排除法、间接法）

（∵3M，∴
的取值范围。
a·35
0
2
3 a
∵5M，∴
a·55
0
2
5a

5< br>
a

1，



9，25

）


3


5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和
“非”().


若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。




7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注 意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能
构成映射？ （一对一，多对一，A中元素不可剩余，允许B中有元素剩余。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

u




O 1 2 x

10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域 是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定
义
域是_
（答：

a，a

）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？



12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
如 ：求函数f(x)



x1

x1

（答：f
1
(x)

）



x

x0


1x
2< br>

x

x0

的反函数


x0

13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；



14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u 

(x)，则yf


(x)

（外层）（内 层）




∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间

a，b

内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于< br>
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？


值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2 D. 3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则
大值为3）
a
1，即a3
∴a的最
3
16. 函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义
域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称


若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个 偶函数
与奇函数的乘积是奇函数。






17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）



18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称


f(x)与f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f
1
(x)的图象关于直线yx对称


f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

b(b0)个单位
yf(xa)b

a(a0)个单位
yf(xa)


上移

将yf(x)图象
左移


yf(xa)
下移b(b0)个单位
yf(xa)b
右移a(a0)个 单位
注意如下“翻折”变换：




y

y=log
2
x


O 1 x



(k<0) y

(k>0)
19. 你熟练掌握常用函数的图象和


性质了吗？
y=b

O’(a,b)


O x
（1）一次函数：ykxb

k0



x=a

（2）反比例函数：y
kk

k0

推广为yb

k0
是中心O'(a，b)
的双曲线。
xxa
2
2
b

4acb
2

（3）二次函数yaxbxc

a0

a
图象为抛物线


x



2a

4a


应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程


②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

0

b
2

如：二次方程axbxc0的两根都大于k

k



2a


f(k)0

又如：若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)，
则，f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形）
= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)]
= - f(-x+2b) (恒等变形）
= -f[b+(-x+b)] (恒等变形）
=-f[b-(-x+b)] [ f(b+x)=f(b-x)]
=-f(x)



2a-2b为半周期


由图象记性质！ （注意底数的限定！）


（6）“对勾函数”yx
k

k0


x
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

y



k


O
k


x






log
a



M1
log
a
Mlog
a
N，log
a
nMlog
a
M

Nn

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。



22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：







23. 基本初等函数导数公式：
（
1
）
c

0(c为常数）
；

（
2
）
(x
n
)

nx
n1
(nN

)
,
(x

)



x

1
(

0且

Q）
；
（
3
）
（sinx)

cosx,(cosx)

sinx
；

（
4
）
（a
x)

a
x
lna(a0且a1),(e
x
)
e
x

（
5
）
（log
1
a
x)


xlna
(a0且a1)
，
(l nx)


1
x
；

（
6
）
u(x)v(x)


u

(x)v

(x)
；

（
7
）

u(x)v(x )


u

(x)v(x)u(x)v

(x )
；

（
8
）


u(x)
< br>
u

(x)v(x)u(x)v

(x)
v(x)




v
2
(x)
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，


24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义


又如：求函数 y12cos





2
x
< br>
的定义域和值域。




R

1弧度
O R
半径为R的弧长公式和扇形面式吗？
积
公
y


B











S
T

P

α

O





M
A x




（∵12cos


x

）12sinx0


2


∴sinx
2
，如图：

2

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区
间、对称点、对称轴吗？
y
ytgx




x






O




2
2






y=tanx




< br>
3


ysinx的增区间为

2k， 2k


kZ


减区间为

2k，2k

kZ



22
22



图象的对称点为< br>
k，0

，对称轴为xk


kZ

ycosx的增区间为

2k，2k
< br>
kZ


2



减区间为2k，2k2

kZ


图 象的对称点为


k，0

，对称轴为xk
kZ



2




ytanx的增区间为


k，k

kZ

22


26. 正弦型函数y=Asin
< br>x+

的图象和性质要熟记。或yAcos

x



（1）振幅|A|，周期T
2

若 f

x
0

A，则xx
0
为对称轴。

||

若f

x
0

0， 则

x
0
，0

为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令x依次为0，

，，
3
，2，求出 x与y，依点
（x，y）作图象。
22

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）




解条件组求、值


正切型函数yAtan

x

，T


||
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。


28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？


29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）



如：函数y2sin


2x< br>
1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的
图象？

4






30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？


“k·

、“偶”指k取奇、偶数。
”化为的三角函数——“奇变， 偶不变，符号看象限”，
“奇”
2
7


如：co s
9
tan




sin
21



6

4

又如：函数y
C. 非负值 D. 正值
sintan
，则y的值为
coscot

A. 正值或负值 B. 负值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：





应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分
母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：





（1）角的变换：如
< br>

，










……


22

2
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知
sincos2
1，tan

 

，求tan

2

的值。

1cos23

（由已知得：
sincoscos1

1，∴tan
2sin2
2sin
2


21

tantan

1

∴ tan

2

tan







32
）

1tan
< br>

·tan
1
2
·
1
8
32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
在三角形ABC中，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,且角A,B,C范围是
（0，180

）

（应用：已知两
边
一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinA

正弦定理：
a

b< br>
c
2R


b2RsinB

sinAsinBsinC

c2RsinC


（1）求角C；


（（1）由已知式得：1cos

AB

2cos
2
C11



（2）由正弦定理及a
2
b
2

12
c
2
得：


34. 不等式的性质有哪些？





答案：C
35. 利用均值不等式：

a
2
b
2
2ab

a，bR


2
；ab2ab；ab


ab


2


求最值时，你是否注
意到“a，bR

”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：



如：若x0，23x
4
x
的最大值为


当且仅当3x
4
x
，又x0，∴x
233
时，y
max
243）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。


（∵2x
2
2y
22
x2y
22
1
，∴最小 值为22）


11
111111

……22）
223n1nn

37.解分式不等式
f(x)
a

a0

的一般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子 分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
1


例如：解不等式|x3|x11

（解集为

x|x

）

2
41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)x
2
x13，实数a满足|xa|1


证明：



|(xa)(xa 1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1||x||a|1


（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和


43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n1
a
n
d(d 为常数)，a
n
a
1


n1

d< br>
等差中项：x，A，y成等差数列2Axy


前n项和S
n


a
1
a
n

n
na
2
1

n

n1

2
d


性质：

a
n

是等差数列


（2）数列

a
2n1

，

a
2n

，

ka
n
b

仍为等差数列 ；

2S
2n
S
n
)S
n
(S3n
S
2n
)
）
S，SS，SS……仍为等差数列；
(即
（
n2nn3n2n

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；


（5）

a
n

为等差数列S
n
an
2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
0的二次函数）

S
n
的最值可求二次函数S
n
an
2
bn的最值；或者求出
a
n

中的正、负分界
项，即：

a0

当a
1
0，d0，解不等式组

n
可得S
n
达到最大值时的n值。


a
n1
0
a
n
0

当a
1
0，d0，由

可得S
n
达到最小值时的n值 。



a
n1
0

如：等差 数列

a
n

，S
n
18，a
n
a
n1
a
n2
3，S
3
1，则n




44. 等比数列的定义与性质



等比中项：x、G、y成等比数列G
2
xy，或Gxy


na
1
(q1)
n

前n项和：S

（要注意!）

性质：

a
n

是等比数列


a
1
1q
n
(q1)

1q



（2）S
n
，S
2n
S
n，S
3n
S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

（n 1时，a
1
S
1
，n2时，a
n
S
nS
n1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111

如：

a
n

满足a
1

2
a
2
… …
n
a
n
2n5
2
22
解：
1

111

n2时，a
1

2
a
2
……
n1
a
n1< br>2n15
2
22

［练习］

数列

a
n

满足S
n
S
n1


2


S
5
a
n1
，a
1
4，求a
n

（注意到a
n 1
S
n1
S
n
代入得：
n1
4

3
S
n

又S
1
4，∴
< br>S
n

是等比数列，S
n
4
n
< br>n2时，a
n
S
n
S
n1
……3·4< br>n1

（2）叠乘法
例如：数列

a
n

中，a
1
3，
a
n1
n
，求a< br>n

a
n
n1
解：
（3）等差型递推公式

由a
n
a
n1
f( n)，a
1
a
0
，求a
n
，用迭加法

n2时，a
2
a
1
f(2)


aaf (3)

32


两边相加，得：
…………

a
n
a
n1
f(n)



［练习］


数列

a
n

，a
1
1，a
n
3
n1
a
n 1

n2

，求a
n

（4）倒数法
例如：a
1
1，a
n1

2a< br>n
，求a
n

由已知得：
1

an
2

1

1

a
n
2
a
n1
2a
n
2a
n

1

11




为等差数列，1，公差为


a
n

a
1
2

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：

a
n

是公差为d的等差数列，求

1

aa
k1
kk1

n
解：

［练习］

求和：1
111

……
12123
123……n

（2）错位相减法：

若

a
n

为等差 数列，

b
n

为等比数列，求数列

a
n
b
n

（差比数列）前n项

和，可由S
nqS
n
求S
n
，其中q为

b
n

的公比。








（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n
a
1
a
2
……a
n1
a
n



相加

S
n
a
n
a
n1
……a
2
a
1


［练习］

1

x

（由 f(x)f





x

1x< br>2
2
x
2
1
1

222
1 x1x

1

1


x



1



x

2

1



1



1


∴原式f(1)

f(2)f f(3)ff(4)f



2



3



4


49.

复数
abi(a,bR)
，其中
a为实部，b为虚部
。

(1)

可分类为：

①


实数（b 0)

纯虚数（a0且b0)

，


②


虚数（b0)非纯虚数（a0,b0)

（
2
）复数的几何意义

①
用向量
OZ表示复数zabi(a,bR)

