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【走向高考】2020年高考数学总复习 4-7正弦定理和余弦定理课后作
业 北师大版

一、选择题
1．(文)在△
ABC
中，
AB
＝3，
A
＝45°，
C
＝75°，则
BC
等于( )
A．3－3
C．2
[答案] A
[解析] 由
B.2
D．3＋3
AB
sin
C
sin
A< br>＝
BC
得
BC
＝3－3.
(理)(教材改编题)已知△ABC
中，
a
＝2，
b
＝3，
B
＝60°，那 么角
A
等于( )
A．135°
C．45°
[答案] C
[解析] 由正弦定理
B．45°或30°
D．30°
a
sin
A
sin
B
＝
b
，得
232
＝，解得sin
A
＝.
sin
A
2
3
2
又
a
＝2<
b
＝3，所以
A
<B
，所以
A
＝45°.
2．(教材改编题)△
ABC
的边分别为
a
、
b
、
c
，且
a
＝1，c
＝42，
B
＝45°，则△
ABC
的面积为( )
A．43
C．2
[答案] C
11
[解析]
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝×1×42×si n45°＝2.
22
3．(2020·四川理，6)在△
ABC
中，sin
A
≤sin
B
＋sin
C
－sin
B
si n
C
，则
A
的取值范围是( )
π
A．(0，]
6
π
C．(0，]
3
[答案] C
[解析] 本题 主要考查正余弦定理，∵sin
A
≤sin
B
＋sin
C
－ sin
B
sin
C
，∴由正弦定理得：
a
≤
b22222
222
B．5
D．62
π
B．[，π)
6
π
D．[，π)
3
b
2
＋
c
2
－
a
2
bc
1π
＋
c
－
bc< br>，即
b
＋
c
－
a
≥
bc
，由余弦定 理得：cos
A
＝≥＝，∴0<
A
≤，故选C.
2
bc< br>2
bc
23
2222

b
＋
c
2
A
4．在△
ABC
中，cos＝，则△
ABC
的形状为( )
22
c
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
[答案] A
b
＋
c
1＋cos
Ab
＋
c
2
A
[解析] ∵cos＝，∴＝，
22
c
22
c
即cos
A
＝，又由余弦定理知，
b
c
b
2
＋
c
2
－
a
2
b
2
＋
c
2
－
a
2
b
c os
A
＝，∴＝，
2
bc
2
bcc
∴
a
＋
b
＝
c
，∴△
ABC
为直角三角形．
5．(文)(2020·德州模拟)在△
ABC
中，
A
＝120°，
AB
＝5，
BC
＝7，则
8
A.
5
5
C.
3
[答案] D
5
B.
8
3
D.
5
sin
B
的值为( )
sin
C
222
b
2
＋
c
2
－
a
2
[解析] 由余弦定理，得cos
A
＝，
2
bc
1
b
＋5－7
2
即－＝，∴
b
＋5
b
－ 24＝0，
22·
b
·5
∴
b
＝3或
b
＝－8(舍去)，
∴由正弦定理，得
sin
Bb
3
＝＝，故选D.
sin
Cc
5
222
(理)△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是内角
A
，
B
，
C
的对边，且cos2
B
＋3cos(
A
＋
C)＋2＝0，
b
＝3，
则
c
:sin
C
等于( )
A．3:1
C.2:1
[答案] D
[解析] ∵cos2
B
＋3cos(
A
＋
C
)＋2＝0，
∴2cos
B
－1－3cos
B
＋2＝0，
即2cos
B
－3cos
B
＋1＝0，
2
2
B.3:1
D．2:1

1
∴cos
B
＝或cos
B
＝1(舍去)，
2
∴sin
B
＝1－cos
B
＝
∴
23
，
2
c
sin
C
sin
B
＝b
＝
3
3
2
＝2:1，故选D.
6．锐角三角形ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是三内角
A
、
B
、
C
的对边，设
B
＝2
A
，则的取值范围是( )
A．(－2,2)
C．(2，2)
[答案] D


B
＝2
A
<90°
b
sinB
sin2
A
[解析] ∵＝＝＝2cos
A
，又△
A BC
是锐角三角形，∴

a
sin
A
sin
A
A
＋2
A
>90°

b
a
B．(0 ,2)
D．(2，3)

∴30°<
A
<45°，
则＝ 2cos
A
∈(2，3)，故选D.
二、填空题
π
7．(202 0·北京理，9)在△
ABC
中，若
b
＝5，∠
B
＝，ta n
A
＝2，则sin
A
＝________；
a
＝____ ____.
4
[答案]
25
；210
5
b
a
[解析] 本题主要考查了解斜三角形及正弦定理．
依题意 ：0<
A
<π，tan
A
＝2，∴sin
A
＝
由正 弦定理得：
a
＝
225
.
5
5
＝
2
5
＝210.
2
b
s in
B
·sin
A
＝5×2×
8．(2020·东营模拟)在△ABC
中，
BC
＝
a
，
AC
＝
b，
a
、
b
是方程
x
－23
x
＋2＝0 的两根，且2cos(
A
＋
B
)＝1，则
AB
＝_____ ___.
[答案] 10
[解析] 设
AB
＝
c
， < br>a
＋
b
＝23，


ab
＝2，
∵

1
cos
A
＋
B
＝，

2

1
∴cos
C
＝－.
2
a
2< br>＋
b
2
－
c
2
a
＋
b
2< br>－2
ab
－
c
2
又∵cos
C
＝＝
2
ab
2
ab

8－
c
1
＝＝－，
42
∴
c
＝10，∴
c
＝10，即
AB
＝ 10.
三、解答题
9．(2020·江西文，17)在△
ABC
中，角< br>A
、
B
、
C
的对边是
a
、
b
、
c
，已知3
a
cos
A
＝
c
cos< br>B
＋
b
cos
C
.
2
2
(1)求cos
A
的值；
(2)若
a
＝1，cos
B
＋cos
C
＝
23
3
，求边c
的值．
[解析] (1)由余弦定理
b
2
＝
a2
＋
c
2
－2
ac
cos
B
，
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－2
ab< br>cos
C
，有
c
cos
B
＋
b
co s
C
＝
a
，
代入已知条件得3
a
cos
A
＝
a
，即cos
A
＝
1
3

(2 )由cos
A
＝
122
3
得sin
A
＝
3

则cos
B
＝－cos(
A
＋
C
)＝－
1
3
cos
C
＋
22
3
sin
C
，
代入cos
B
＋cos
C
＝
23
3< br>得cos
C
＋2sin
C
＝3，
从而得sin(
C
＋
φ
)＝1，其中sin
φ
＝
3
3
，co s
φ
＝
6
3

0<
φ
<
π
2
，则
C
＋
φ
＝
π
2
，于是sinC
＝
6
3
，
由正弦定理得
c
＝
a< br>sin
C
sin
A
＝
3
2
.

一、选择题
1．(2020·天津理，6)

如图，在△
ABC
中，
D
是边
AC
上的点，且
AB
＝
AD,
2
AB
＝3
BD
，
BC
＝2
BD
，则sin
C
的值为(
A.
3
3
B.
3
6

)

C.
6

3
D.
6

6
[答案] D
[解析]

本题主要考查正余弦定理知识，如图，根据条件，设
BD
＝2
在△
ABC
中，由正弦定理：
34
＝
sin
C
sin
A
在△
ABD
中，由余弦定理：cos
A
＝
22

3
3×
22
3
266
＝＝，故选D.
4126
1
＝，
2×3×3
3
3＋3－4
∴si n
A
＝
∴sin
C
＝
3sin
A
＝
4
2．(文)已知△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a
＝
c
＝6＋2且∠
A
＝75°，
则
b
＝ ( )
A．2
C．4－23
[答案] A
[解析] 考查正弦定理与两角和的正弦公式．
sin
A
＝sin75°＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝
2＋6
，
4
B．4＋23
D.6－2
由
a
＝
c
＝6＋2及
A
＝75°可知，∠
C
＝75°，
1
所以∠
B
＝30°，sin
B
＝，
2
由正弦定理得
b
＝
a
sin
A
·sin
B
＝
2＋61
×＝2，故选A.
2＋6
2
4

(理)

如图所示，将平面直 角坐标系中的纵轴绕点
O
顺时针旋转30°(坐标轴的长度单位不变)构成一
个斜坐标 系
xOy
，平面上任一点
P
关于斜坐标系的坐标(
x
，y
)用如下方式定义：过
P
作两坐标轴的平
行线分别交坐标轴
O x
于点
M
，
Oy
于点
N
，则
M
在
Ox
轴上表示的数为
x
，
N
在
Oy
轴上表 示的数为
y
.
在斜坐标系中，若
A
，
B
两点的坐标 分别为(1,2)，(－2,3)，则线段
AB
的长为( )
A.7
C.10
B.13
D．22
[分析] 这是一个知识迁移题，在斜 坐标系中求线段
AB
的长，根据斜坐标系的定义不难发现，
可将线段
AB放在一个三角形中进行求解，这样就转化为利用正余弦定理解三角形的问题．
[答案] A

[解析] 如图，分别过
A
作
x
轴平行线，过
B
作
y
轴的平行线，设两条平行线交于点
C
，根据题
意可得， △
ABC
中，∠
C
＝60°，
AC
＝3，
BC＝1，根据余弦定理有
AB
＝
BC
＋
AC
－2
AC
×
BC
×cos
C
，解
得
AB
＝7.
[点评] 解决此题的关键是理解题意，根据题中对斜坐标系的定义将求距离问题转化为解三角
形问题，这里涉及知识的迁移能力，这也是近几年高考试题中经常考查的内容，体现了数学知识的
灵活应 用．
二、填空题
3．(2020·安徽理，14)已知△
ABC
的一个内 角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，
则△
ABC
的面积为_____ ___．
[答案] 153
[解析] 本题主要考查等差数列的概念，余弦定理的应用与三角形的面积公式．
222

设三角形的三边依次为
a
－4，
a
，
a
＋4，最大角为θ
.
由余弦定理得(
a
＋4)＝
a
＋(
a< br>－4)－2
a
(
a
－4)cos120°，则
a
＝1 0，所以三边长为6,10,14，
222
S
△
ABC
＝×6×10×sin120°＝153. 4．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所 对的边分别为
a
，
b
，
c
.若
a
＝2，< br>b
＝2，sin
B
＋cos
B
＝2，则
角
A
的大小为________．
[答案]
π

6
1
2
[解析] 本题考查了三角恒等变形，给值求角及正弦定理等知识点， 考查学生灵活解三角形的
能力，属中档题，sin
B
＋cos
B
＝2 ⇒
ππππ
2sin(
B
＋)＝2，∴sin(
B
＋)＝1 ，∴
B
＋＝，∴
B
＝
4442
π221π
，又a
＝2，
b
＝2，由正弦定理：＝.解得：sin
A
＝，又a
<
b
，∴
A
<
B
＝，
4sin< br>A
π24
sin
4
π
∴
A
＝为所求．
6
三、解答题
5．(文)(2020·辽宁文，17)△
ABC
的 三个内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，
a
sin
A
sin
B< br>＋
b
cos
2
A
＝2
a
.
(1)求；
(2)若
c
＝
b
＋3
a
，求
B
.
[解析] (1)由正弦定理得，sin
A
sin
B
＋sin
B
cos
A
＝2sin
A
，即sin
B
(sin
A
＋cos
A
)＝2sin
A
.
故sin
B
＝2sin
A
，所以＝2.
(2)由余弦定理 知
c
＝
b
＋3
a
，得cos
B
＝
由(1)知
b
＝2
a
，故
c
＝(2＋3)
a
.
12
2
可得cos
B
＝，又cos
B
>0， 故cos
B
＝，所以
B
＝45°.
22
(理)(2020 ·全国大纲卷文，18)△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
a
sin
A
＋
c
sin
C
－
2
a
s in
C
＝
b
sin
B
.
(1)求
B
；
(2)若
A
＝75°，
b
＝2，求
a
，
c
.
[解析] (1)∵
a
sin
A
＋
c
sin
C
－2
a
sin
C
＝
b
sin
B

∴
a
＋
c
－2
ac
＝
b

222
2222
222
2222
222
b
a
b< br>a
1＋3
a
.
2
c

∴
a< br>＋
c
－
b
＝2
ac

222
a2
＋
c
2
－
b
2
2
ac
2< br>∴cos
B
＝＝＝
2
ac
2
ac
2
∴
B
＝45°
(2)由(1)得
B
＝45°
∴
C
＝180°－
A
－
B
＝180°－75°－45°＝60°
由正弦定理
a
sin
A
sin
B
sin
C
＝
b
＝c

6＋2
4
2
2
3
2
∴
a
＝
b
·sin
A
2×sin75°
＝＝
sinB
sin45°
2×
＝3＋1
c
＝
b
·si n
C
2×sin60°
＝＝
sin
B
sin45°
2×
2
2
＝
6
.


6．(2020· 湖北理，16)设△
ABC
的内角
A
、
B
、
C所对的边分别为
a
、
b
、
c
，已知
a
＝1，
b
＝2，
1
cos
C
＝.
4
(1)求△
ABC
的周长；
(2)求cos(
A
－
C
)的值．
1
222
[解析] (1)∵
c
＝
a
＋
b
－2
ab
cos
C
＝1＋4－4×＝4，
4
∴
c
＝2.
∴△
ABC
的周长为
a< br>＋
b
＋
c
＝1＋2＋2＝5.
1
(2)∵cos
C
＝，
4
∴sin
C
＝1－cos
C
＝
2
1－
1
4
2
＝
15
.
4
15
a
sin
C
4
15∴sin
A
＝＝＝.
c
28
∵
a
<
c
，∴
A
<
C
，故
A
为锐角，
∴cos
A
＝1－sin
A
＝
2
1－
15
8
2
7
＝，
8

∴cos(
A
－
C
)＝cos
A
cos
C
＋sin
A
sin
C

71151511
＝×＋×＝.
848416
A
25
→→
7．(文)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且满足 cos＝，
AB
·
AC
＝3.
25
(1)求△
ABC
的面积；
(2)若
b
＋
c
＝6，求
a
的值．
[解析] 本题主要考查正弦、余弦定理、三角公式变换、三角形面积公式及向量运算等基础知
识，同时考查运算求解能力．
A
25
(1)因为cos＝，
25
34
2
A
所以cos
A
＝2cos－1＝，sin
A
＝.
255
→→
又由
AB
·
AC
＝3，得bc
cos
A
＝3，所以
bc
＝5.
1
因此
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝2. 2
(2)由(1)知，
bc
＝5，又
b
＋
c
＝ 6，
所以
b
＝5，
c
＝1或
b
＝1，
c
＝5
由余弦定理，得
a
＝
b
＋
c
－2< br>bc
cos
A
＝20，
所以
a
＝25.
ππ
2
(理)设△
ABC
是锐角三角形，
a
，
b< br>，
c
分别是内角
A
，
B
，
C
所对边 长，并且sin
A
＝sin(＋
B
)sin(
33
－
B
)＋sin
B
.
(1)求角
A
的值；
→→
(2)若
AB
·
AC
＝12，
a
＝27，求
b
，
c
(其中
b
<
c
)．
[解析] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量
的数量积，利用余弦 定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力．
解题思路是：(1)利用三角恒等变形结合同角三 角函数的平方关系式求sin
A
的值，然后确定
A
的值．(2)利用数量积的 定义，余弦定理并结合(1)中的结论再联系韦达定理求解．
(1)因为sin
A
＝ (
所以sin
A
＝±
2
2
222
31313
2
1
2
3
22
cos
B
＋sin
B)(cos
B
－sin
B
)＋sin
B
＝cos
B
－sin
B
＋sin
B
＝，
2222444
3π
，又
A
为锐角，所以
A
＝.①
23
→→
(Ⅱ)由
AB
·
AC
＝12，可得
cb
cos
A
＝12.

π
由(Ⅰ)知
A
＝，所以
cb
＝24.②
3
由余弦定理知
a
＝
c
＋
b
－2
bc
cos
A
，将
a
＝27及①代入，得
c
＋b
＝52，③
③＋②×2，得(
c
＋
b
)＝100， 所以
c
＋
b
＝10.
因此，
c
，
b是一元二次方程
t
－10
t
＋24＝0的两个根．
解此方程并 由
c
>
b
知
c
＝6，
b
＝4.

2
2
22222