青海省高考分数线-快乐的寒假作文

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第九章 压杆稳定 习题解

[习题9-1] 在§9-2中 已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线
形状，导出了临界应力公式
P
cr


2
EI
l
2
。
试分析 当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形
状时，压杆在
F
cr
作用下的 挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得
F
cr
公式又
是否相同。

解： 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
EIw< br>
M(x)
。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：
EIw

M(x)
，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。
临界力 只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的
位置等因素无关。因此， 以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：
P
cr





2
EI
l
2
。

.*
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f
所示杆在 中间支承处不能转动）？



2
EI
解：压杆能承受 的临界压力为：
P
cr

。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，(

.l)
2
它们能承受的压力与

原压相的相当长度

l
的平方成反比，其中，

为与约束情况有关的长
度系数 。
（a）

l155m

（b）

l0.774.9m

（c）

l0.594.5m

（d）

l224m

（e）

l188m

（f）

l0.7 53.5m
（下段）；

l0.552.5m
（上段）
故图e所示杆
F
cr
最小，图f所示杆
F
cr
最大。
[习题9-3] 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
P
cr
？为什么？并由此判断压杆长因数

是否可能大于2。

2
EI
min
(2.l)
2

.*
螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响 ？校核丝杆稳定性时，
把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为
l
的压 杆是否偏于安全？

解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b )的下支座，所以它们的
临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素
2
，其临界
力为：
P
cr


2
EI
min
(2.l)
2
。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自 由的情况，它的长度因素

2
，因此，不能用
P
cr
< br>
2
EI
min
(2.l)
2
来计算临界力。

.*
为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度
C
且无侧向位移，则：
M

20
EI
，
l
EIw

 M(x)F
cr
(

w)

令
F
cr
k
2
，得：
w

k
2
wk
2


EI
微分方程的通解为：
wAsinkxBcoskx



wAkcoskxBksinkx
由边界条件：
x0
，
w0
，
w

'
'
M
F
cr


；
xl
，
w


CC
解得：
A
F
cr

F

，
B

，


cr
sinkl

coskl


CkCk
整理后得到稳定方程：
kltankl
C
20

EIl
用试算法得：
kl1.496

EI
2
EI
故得到压杆的临界力：
F
cr
(1.496 )
。

2
l
(2.1l)
2
因此，长度因素
可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则

值越大。
当
C0
时，


。
螺旋千斤顶的底座与地面不 是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相
对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑 时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能
看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地 面之间无相对滑动，此时，可以
看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具 有一定转动刚度的
弹性支座较合适。这种情况，

2
，算出来的临界力比“ 把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、长度为
l
的压杆”算出来的临界力要 小。譬如，设转动刚度
C
M

20
EI
，
l< br>2.1
2
则：

2
1.1025
，
P< br>cr固端
1.1025P
cr,弹簧
。因此，校核丝杆稳定性时，把它
P
cr弹簧
2
看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为
l
的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为
EI
，长度为
l
的等截面中心受压直杆的临界应力
P
cr
的欧拉 公式。
P
cr固端

.*

[解]：设压杆向右 弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反
力为
P
cr
，水平反力为0，约束 反力偶矩两端相等，用
M
e
表示，
下标
e
表示端部end的 意思。若取下截离体为研究对象，则
M
e
的
转向为逆转。
M(x)P
cr
v(x)M
e

EIv

M(x)M
e
P
cr
v(x)

EIv

P
cr
v(x)M
e

Pcr
M
e
P
cr
k
2
1
2
v v(x)
，令
k
，则

EIEIEI
P
cr
EI

v

k
2
vk
2
M< br>e

P
cr
上述微分方程的通解为：
vAsinkxBcoskx
M
e
…………………………….(a)
P
cr
v
'
AkcoskxBksinkx

边界条件：①
x0
；
v0
：
0Asin0Bc os0
M
e
M
；
B
e
。
P
cr
P
cr
②
x0

v0
：
0Akcos0Bksin0
；
A0
。
把A、B的值代入（a）得：

v

边界条件：③
xL
；
v0
：
0
'
M
e
M
(1coskx)

v
'

e
ksinkx

P
cr
P
cr
M
e
(1coskL)
，
1coskL0

P
cr
M
e
ksinkL

sinkL0

P
cr
④
x0

v0
：
0
'
以上两式均要求：
kL2n

，
(n0,1,3,......)

.*
P
cr
2


2
2
其最小解是：kL2

，或
k
。故有：
k
，因此：

2
L
EI
(0.5L)
P
cr

2
EI
(0.5L)
2
。
[习题9-5] 长
5m< br>的10号工字钢，在温度为
0C
时安装在两个固定支座之间，这时杆不受
70 1
力。已知钢的线膨胀系数

l
12510(C)
，
E210GPa
。试问当温度升高至多少
0
度时，杆将丧失稳定性？
解：





[习题9-6] 两根直径为
d
的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如 图所示。
试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力
P
cr
的
算式。


解：在总压力
F
作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：
（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

.*


（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。



（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳




故面外失稳时
P
cr
最 小：
P
cr


3
Ed
4
128l
2
。
[习题9-7] 图示结构ABCD由三根直径均为
d
的圆截面钢杆 组成，在B点铰支，而在A点和
C点固定，D为铰接点，
l
10

。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能
d
力，试确定作用于结点D处的荷载 F的临界值。
解：杆
DB
为两端铰支

，杆
DA
及
DC
为一端铰
支一端固定，选取
。此结构为超静定结构，
当杆
DB
失稳时结构仍能继续承载，直到杆
AD
及
DC
也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

.*




36.024
EI
l
2

[习题9-8] 图示铰接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆
件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试 确定荷载F为最大时的

角（假设
0


解：要使设计合 理，必使AB杆与BC杆同时失稳，
即：

2
）。
P< br>cr,AB


2
EI
l
AB
2
 Fcos


P
cr,BC


2
EI< br>l
BC
2
Fsin


l
Fsin

tan

(
AB
)
2
cot
2


Fcos

l
BC

arctan (cot
2

)

[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长
l4m
的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所
示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，
强度许用应力
[

] 170MPa
，试求压杆的许可荷载。
解：查型钢表得：



m

.*


[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成：
（1）比例极限

P220MPa
，弹性模量
E190GPa
的钢；
（2）

P
490MPa
，
E215GPa
，含镍3.5%的镍钢； < br>（3）

P
20MPa
，
E11GPa
的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
解：（1）


（2）


（3）


[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm×150mm的正方形， 长度
l3.5m

，强度许用应力
[

]10MPa
。试求木柱的许可荷载。
解：


由公式（9-12a）：

.*
[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆 BC组成。已知结构所有的连
接均为铰连接，在B点处承受竖直荷载
F1.3kN
， 木材的强度许用应力
[

]10MPa
。
试校核BC杆的稳定性。
解：把BC杆切断，代之以轴力N，则

M
A
0

1.31NcosC1NsinC10

N
1.3
sinCcosC

sinC
2
2
2
1.5
2
0.8

cosC
1.5
2
2
1.5
2
0.6

N
1.3
0.80.6
0.929(kN)

b h
3
I
12

1
12
4040
3< br>213333(mm
4
)

i
I

21 3333
A4040
11.547(mm)



< br>l12.510
3
i

11.547
216.591

由公式（9—12b）得：


28002800
< br>2

216.5
2
0.0597

[
< br>]
st


[

]0.0597100.59 7MPa



N
A

929N
404 0mm
2
0.581MPa

因为

[

]
st
，所以压杆BC稳定。

A

.*
[习题9-13] 一支柱由4根
80 mm80mm6mm
的角钢组成（如图），并符合钢结构设计
规范中实腹式b类截面中心受 压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长
l6m
，压力为
若材料为Q235钢，强度许 用应力
[

]170MPa
，试求支柱横截面边长
a
的尺 寸。
450kN
。
解：


（查表：

，

）
，查表得：



m
4

=

mm
[习题9-14] 某桁架的受压弦杆长4 m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b
类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示， 材料为Q235钢，
[

]170MPa
。若按两
端铰支考虑，试 求杆所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得


角钢：

.*

得

查表：

故



[习题9-15] 图示结构中，BC为圆截面杆，其直径
d80mm
；AC边长
a70mm
的正方
形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，< br>弹性模量
E210GPa
，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数n
st
2.5
，
试求所能承受的许可压力。
解：BC段为两端铰支，

1


I

d
4
64

1
3.1480
4
20 09600(mm
4
)

64
3.14
2
210 10
3
Nmm
2
2009600mm
4

< br>22
2000mm
P
cr


2
EI
l
2

1040227N1040.227kN

[F]
BC

P
cr
1040.227
416(kN)

n
st
2.5
AB杆为一端固定，一端铰支，

0. 7

a
4
1
I70
4
2000833(m m
4
)

1212

2
EI3.14
2< br>21010
3
Nmm
2
2000833mm
4
P
cr
939400.621N939.4kN
222
(

l)2100mm

[F]
AC

P
cr939.4
375.76376(kN)

n
st
2.5
故
[F]376kN

[习题9-16] 图示一简单托架，其撑杆
AB
为圆截面木杆，强度等级为TC15 。若架上受集度
为

的均布荷载作用，
AB
两端为柱形铰，材料的强度许用应力

试求撑杆所需的直径
d
。

，

.*
解：取
mm
以上部分为分离体，由

，有


设



，


m
则

求出的

与所设

基本相符，故撑杆直径选用


m。
mm，

[习题9-17] 图示结构中杆
AC
与
CD
均由Q235钢制成，
C
，
D
两处均为球铰。已知

mm，

因数

mm；

，

，

；强度安全
，稳定安全因数

。试确定该结构的许可荷载。
解：（1）杆
CD
受压力
F
CD

F

3
2F

3
梁
BC
中最大弯矩
M
B

（2）梁
BC
中

.*
（3）杆
CD

（Q235钢的

P
100)


=



（由梁力矩平衡得）



故，由（2）、（3）可知，
[F]15.5kN

[习题9-18] 图示结构中，钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根
6 3mm63mm5mm
角钢组成，杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆
的要求。均布荷载集度
q48kNm
。梁及柱的材料均为Q235钢，
[

]170MPa
，
E210GPa
。试验算梁和立柱是否安全。
解：（1）求多余约束力
F
CD

把CD杆去掉，代之以约束反力
F
CD
。由变形协调条件可知，
w
C
l
CD

w
Cq
w
cF
CD
l
CD

3
F
CD
l
AB
Fl
5ql
AB
< br>CDCD

384EI48EIEA
3
F
CD
lAB
Fl
5ql
AB

CDCD

384I 48IA
4
4
查型钢表得：16号工字钢的
I
z
1130 cm
，
W
z
141cm

43
I
z23.17cm
4
，
i
z
1.94cm

A6.143cm
2
，
63mm63mm5mm
L形角钢的面积：

.*
548kN100cm400
4
cm
4
F
CD
400
3
cm
3
F
CD
20 0cm


442
3841130cm481130cm12.286 cm
548kN100400
4
F
CD
400
3F
CD
200


384113048113012. 286
141592.92031179.941F
CD
16.279F
CD

F
CD
118.367(kN)

（2）梁的强度校核


M
A
0

1
484
2
0

2

R
B
4118.3672

R
B
36.8165(kN)
（↑）

R< br>A
48436.8165118.36736.8165(kN)

AC段：
Q(x)36.816548x
；
M(x)36.8165x24x

令
Q(x)36.816548x0
，得：当
x0.767m
时，
2

M
max
36.81650.767 240.76714.119(kNm)

2
CB段：
M(x)36.8165x118.367(x2)24x

x
M







0
0.000
0.767
14.119
1 2 3 3.233 4
2
12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000
-25.000
-20.000
-15.000
-10.00 0
-5.000
0.000
5.000
10.000
15.000< br>M(kNm)
0123
x(m)
4
弯矩图

.*

|M|
max
22.367kNm

|M|
max
22.36710
6
Nmm
因为

max
158.631MPa[

]170MP a

33
W
z
14110mm
所以 符合正应力强度条件，即安全。
（3）立桩的稳定性校核
由柔度


l
i
z

1200cm
103
查表得稳定因素

0.536

1.94cm
因为< br>

F
N
118367N
96.343MPa
，
22
A
12.28610mm

[
< br>]
st


[

]0.53617091.1 2MPa



[

]
st< br>，而且，
96.34391.12
5.73%5%

91.12
所以压杆会失稳。不安全。