都哦 哦哦来了看看
x
2
y
2
b
【解析】双曲线
2

2
1
的渐近线方程为
yx
，以
F
1，
F
2
为直径的圆的方程为
ab
a
x
2
y
2
c
2
，将直线
y
b
x
代入圆 的方程，可得：
x
a
ac
ab
22
a
（负的 舍去），
yb
，
即有
M

a，b

，又
A

a，0

，
MAB30
，则直线AM
的斜率
k
3
b
，又
k
，
3< br>2a
则
3b
2
4a
2
3c
2
 a
2
，即有
3c
2
7a
2
，则离心率
e 

c21

，故选B．
a3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
2ccosB2ab
，则
C
______ ___．
【答案】
120

a
2
c
2
b
2
2ab
，即
a
2
b
2
c
2
ab
， 【解析】∵
2ccosB2ab
，∴
2 c
2ac
a
2
b
2
c
2
1

，∴
C120
． ∴
cosC
2ab2
14．阅 读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．

【答案】
13

8
【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序 可知：当
x1
，
y1
时，
zxy220
，x1
，
y2
，运算程序依次继续：
zxy320
，
x2
，
y3
；
zxy520
，
x3
，
y5
；
zxy820
，
x5
，y8
；
zxy1320
，

都哦哦哦来了看看< br>x8
，
y13
；
zxy2120
，
y1 3
1313

运算程序结束，输出，应填答案．
x8
88
CACB1
，15．在
△ABC
中，若
COxCAyCB
，
CA2CB2
，
O
是
△ABC
的外心，
则< br>xy
______________．
【答案】
13

6
【解析】由题意可得：
CAB120
，
CA2
，
CB1
，则：
COCAxCAyCBCAxCAyCBCA4xy
，
COCBxCAyCBCBxCACByCBxy
，
如图所示，作
OEBCE
，
ODACD
，
则COCA
2
1
2
11
CA2
，
COC BCB
，
222

2

2
5

x

4xy2

13


6
综上有：

，求解方程组可得：，故．
xy

1
4
6
xy

y

2


3


16．已知函数
f

x

满足
f

x

f

2x

，且当
x1,2

时
f

x

lnx
．若在 区间
1,4

内，
函数
g

x

f

x

2ax
有两个不同零点，则
a
的范围 为__________．
【答案】

0,


ln2




8

x

x

f

x

f

2x

，
f

x

f

，当
x

2,4

时，


1,2

；
2
2

【解析】

2

x

lnx,x

1，

x

f

x

f

lnlnxln2
，故函数
f

x



，
2
4


2


lnxln2,x

2，

都 哦哦哦来了看看
作函数
f

x

与
y2ax的图象如下，

过点

4,ln2

时，
2 a
ln2ln21lnxln21
，
a
，
ylnxln 2
，
y


；故

，故
48xxx

ln2

x2e>4
，故实数
a
的取值范围是

0,

．
8

三、解答题：解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考 生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．已知在
△AB C
中，
2BAC
，且
c2a
．
（1）求角
A
，
B
，
C
的大小；
（2） 设数列

a
n

满足
a
n
2cosnC
，前
n
项和为
S
n
，若
S
n
2 0
，求
n
的值．
n
【答案】（1）
A
πππ< br>，
B
，
C
；（2）
n4
或
n5．
632
π
．又由
c2a
，
3
【解析】 （1）由已知
2BAC
，又
ABCπ
，所以
B
π
3a
2
，所以
c
2
a
2
b
2
，
3
ππππ
所以
△ABC
为直角三角形，
C
，
A
．
2236
所以
ba4a2aa cos
222
（2）
a
n
2cosnC2cos
nn< br>n
π


0,n为奇数


n
．
2


2,n为偶数
42k
所以
S
nS
2k1
S
2k
020202
2< br>
412
2k
14


2
2k2< br>4
3
，
kN
，
*
2
2k2
4
20
，得
2
2k2
64
，所以
2k2 6
，所以
k2
，所以
n4
或
n5
． 由< br>S
n

3
18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试 成绩中随机抽取50名考生的数学
成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：

都哦哦哦来了看看

（1）求
m
的值及这50名同学数学成绩的平均数
x
；
（ 2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在
130,140
的同学中选出3位作为代表进行
座谈，若已知成绩在
130,140
的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参 加座谈的概率．
【答案】（1）
m0.008
，
x121.8
；（2）
P

A




4
．
5
【解析】（1）由题

0.0040.0120.0240.0 40.012m

101
，解得
m0.008
，
x950.004101050.012101150.024101250.04 10

1350.012101450.00810121.8
． < br>（2）由频率分布直方图可知，成绩在
130,140
的同学有
0.0121 0506
（人），
由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生 分别为
x
、
y
，
则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC 、ABD、AB
x
、AB
y
、ACD、AC
x
、AC
y
、AD
x
、AD
y
、
BCD、BC
x
、BC
y
、BD
x
、BD
y
、CD
x
、C D
y
、A
xy
、B
xy
、C
xy
、Dxy
——共20种，其中不含女生的
有4种ABC、ABD、ACD、BCD；
设：至少有一名女生参加座谈为事件
A
，则
P

A

1

44

．
205
19．如图，四棱锥
VABCD
中，底面
ABCD
是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱
长为
5
的等腰三角形，
E
为
AB
的中点．
（1 ）在侧棱
VC
上找一点
F
，使
BF
∥平面
VDE< br>，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥
EBDF
的体积．

都哦哦哦来了看看

【答案】（1）见解析；（2）
V
EBDF

【解析】（1）
F
为
VC
的中点．
取
CD
的中点为
H
，连
BH、HF
，
3
．
6
ABCD
为正方形，
E
为
AB
的中点，
BE
平行且等于
DH
，
BHDE
，
又
FHVD
，

平面
BHF
平面
VDE
，
BF
平面
VDE
．
（2）
F
为
VC< br>的中点，
S
△BDE

1
S
正方形ABCD
，
4
1
V
EBDF
V
FBDE
VVABCD
，
8
VABCD
为正四棱锥，
V
在平面
ABCD
的射影为
AC
的中点
O
，
VA5
，
AO2
，
VO3
，
143
V
VABCD
2
2
3
，
33
V
EBDF

3
．
6
6
x
2
y
2
20．已知椭圆
C
1
：
2
2
1

(ab0)
的离心率为，焦距为
42< br>，抛物线
C
2
：
3
ab
x
2
2p y
(p0)
的焦点
F
是椭圆
C
1
的顶点．
（1）求
C
1
与
C
2
的标准方程；

都哦哦哦来了看看
（2）
C
1
上不同于
F
的两点
P
，
Q
满足
FPFQ0
，且直线
PQ
与
C
2
相切，求
△FPQ
的
面积．
183
x
2
y
2
【答案】（1）（2）．
1
，
x
2
8y
；
5
124
【解析】（1） 设椭圆
C
1
的焦距为
2c
，依题意有
2c42
，
c6

，
a3
x
2
y
2
1
． 解得
a23< br>，
b2
，故椭圆
C
1
的标准方程为
124
2
又抛物线
C
2
：
x2py(p0)
开口向上，故F
是椭圆
C
1
的上顶点，
F

0,2

，
p4
，
2
故抛物线
C
2
的标准 方程为
x8y
．
（2）显然，直线
PQ
的斜率存在．设直线PQ
的方程为
ykxm
，设
P

x
1,y
1

，
Q

x
2
,y
2

，
则
FP

x
1
,y
12

，
FQ

x
2
,y
2
2

，
FPFQx
1
x
2
y
1
y
2
2

y
1
y
2
< br>40
，
即
1k
2
x
1
x
2


km2k

x
1
x
2

m
2
4m40

*

，


ykxm

222
联立

x
2y
2
，消去
y
整理得，
3k1x6kmx3m120

**

．
1



124

依题意
x
1
，
x
2
，是方程

**

的两根，
144k
2
12m
2480
，
3m
2
12
6km
，
x< br>1
x
2

，
x
1
x
2
2
2
3k1
3k1
将
x
1
x
2
和
x
1
x
2
代入

*

得
m
2
m20
，
解得
m1
，（
m2
不合题意，应舍去）

ykx1
联立

2
，消去
y
整理得，
x
2
8kx80
，

x8y
令

64k320
，解得
k
2

经检验，
k
2

2
1
．
2
1
，
m1
符合要求．
2

都 哦哦哦来了看看
此时，
x
1
x
2


x
1
x
2

2
4x
1
x
2
72

18

123
，
4
< br>


2555

1183
S
△FPQ
3x
1
x
2

．
25
21．设 函数
f

x


2

xR
< br>．
1x
2
2
（1）求证：
f

x

≥xx1
；
（2）当
x1,0
时，函数
f

x

≥ax2
恒成立，求实数
a
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
a≥1
．

≥0
，设< br>g

x

xxx1
， 【解析】（1）原不等式等价 于
xxx1
43
43
所以
g


x

4x
3
3x
2
1

x1
4x
2
x1
，
当
x

 ,1

时，
g


x

0
，< br>g

x

单调递减；
当
x

1 ,

时，
g


x

0
，
g

x

单调递增．
又因为
g

x

min
g

1

0
，所以g

x

≥0
．所以
f

x

≥xx1
．
2

（2）当
x
1,0

时，
f

x

≥ax2
恒成立，即
a≥
当
x0
时，
2x
恒成立．
2
1x
2x
0
；
1x
2
当x

1,0

时，而
2x22
≤1
，
1
1x
2


x

2
1


x

x
x
所以
a≥1
．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所
做 第一题计分）


xt3
22．在平面直角坐标系
xOy中，直线
l
1
的参数方程为

（
t
为参数）， 直线
l
2
的参数


ykt

x3 m

程为

（
m
为参数），设直线
l
1< br>与
l
2
的交点为
P
，当
k
变化时点
P
的轨迹为曲线
C
1
．
m

y
3k< br>
（1）求出曲线
C
1
的普通方程；

都哦哦 哦来了看看
（2）以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
C
2
的极坐标方程为

sin




42
，点
Q
为曲线
C
1
的动点，求点
Q
到直线
C
2
的距离的最小值．
4

x
2
y
2
1

y0

；【答案】（1）
C
1
的普通方程为（2）
d
的最小值为
32
．
3
【解析】（1）将
l
1
，
l
2
的参数方程转化为普 通方程；


π

l
1
:ykx3
，①
x
2
y
2
1
， ①×②消
k
可得：< br>3

l
2
:y
1
3k

3x
，②

x
2
y
2
1

y 0

． 因为
k0
，所以
y0
，所以
C
1
的普通方程为
3
（2）直线
C
2
的直角坐标方程为：< br>xy80
．
由（1）知曲线
C
1
与直线
C
2
无公共点， 由于
C
1
的参数方程为

所以曲线
C
1
上的点
Q

x3cosa

（
a
为参数，akπ
，
kZ
），


ysina
3 cosa,sina
到直线
xy80
的距离为：

d< br>π

2sina

8
3cosasina83

，

22


π


1
时，
d
的最小值为
32
．
3

1
xa

aR

．
3
所以当
sin

a
23．已知函数
f

x


（1）当
a2
时，解不等式
x
1
f

x

≥1
；
3
（2）设不等式
x
1

11

f

x

≤x
的解集为
M
，若

,

M
，求实数a
的取值范围．
3

32


14

,

．

23

【答案】（1）
{x |x≤0
或
x≥1}
；（2）



都哦哦哦 来了看看
【解析】（1）当
a2
时，原不等式可化为
3x1x2≥3
，
①当
x≤
时，原不等式可化为
3x12x≥3
，解得
x≤0
，所以
x≤0
；
②当
1
3
1
1
，所以
1≤x2
． x2
时，原不等式可化为
3x12x≥3
，解得
x≥
3
③当
x≥2
时，原不等式可化为
3x12x≥3
，解得x≥1
，所以
x≥2
，
综上所述，当
a2
时，不等 式的解集为
{x|x≤0
或
x≥1}
．
（2）不等式
x
1
f

x

≤x
可化为
3x1x a≤3x
，
3

11


依题意不等式
3x1xa≤3x
在

,

恒成立，
32
所以
3x1xa≤3x
，即
xa≤1
，
1

a1≤


3
即
a1
，
≤x≤a1
，所以

1

a1≥

2

解得
≤a≤
1
2
4

14

，故所求实数
a
的取值范围是

,

．
3

23
