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2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3
x
＜1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜0}
D．A∩B=∅
B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}
2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正 方形内切圆中的黑色部
分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自 黑色部分
的概率是（ ）

A． B． C． D．
3．（5分）设有下面四个命题
p
1
：若复数z满足∈R，则z∈R；
p
2
：若复数z满足z
2
∈R，则z∈R；
p
3
：若复数z
1
，z
2
满足z
1
z
2
∈R，则z
1
=；
p
4
：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4

4．（5分）记S
n
为等差数列 {a
n
}的前n项和．若a
4
+a
5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1 ）=﹣1，则满足﹣1≤f
（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
6．（5分）（1+）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（5分）某多面体的三视 图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形
组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰 直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，
这些梯形的面积之和为（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16
8．（5分） 如图程序框图是为了求出满足3
n
﹣2
n
＞1000的最小偶数n，那么在和 两个空白框
中，可以分别填入（ ）

A．A＞1000和n=n+1
C．A≤1000和n=n+1






B．A＞1000和n=n+2
D．A≤1000和n=n+2
9．（5分）已知 曲线C
1
：y=cosx，C
2
：y=sin（2x+），则下面结论正确的 是（ ）
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 曲线向右平移个单位
长度，得到曲线C
2

B．把C
1
上各 点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
长度，得到曲线C
2

C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲 线向右平移个单位长
度，得到曲线C
2

D．把C
1
上各点 的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长
度，得到曲线C
2< br>
10．（5分）已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直 的直线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，直线l
2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（5分）设x、y、z为正数，且2
x< br>=3
y
=5
z
，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（5分）几位大学 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学
的兴趣，他们推出了“解数学题获取 软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题

的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是
2
0
，接下 来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，2
1
，2
2
，依此类推．求满足如下条件的
最小整数N：N＞100且该数列 的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．
15．（ 5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作
圆A，圆A与 双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
16．（ 5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心
为O．D、E、 F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等
腰三角形．沿虚 线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、
E、F重合， 得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值
为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为 必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽
取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常
状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ
2
）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一 天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之
外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期 望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9
5
10.
26
10.
12
9.9
1
9.9
6
10.
13
9.9
6
10.
02
10.
01
9.2
2
9.9
2
10.
04
9.9
8
10.
05
10.
04
9.9
5
经计算得= =9.97，s==≈0.212，其中x
i
为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，1 6．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到
0.01 ）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ
2
），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3 σ）=0.9974，0.9974
16
≈0.9592，
≈0.09．
2 0．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P
1
（1，1），P
2（0，1），P
3
（﹣1，），P
4
（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点 ．若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为
﹣1，证明：l过定点．
21．（12分）已知函数f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣ x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数 方程为（θ为参数），直线l的参数方程
为 （t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣x
2
+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一 项是符合题目要求的．
1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜1}，B={x |3
x
＜1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅
【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3
x
＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．
故选：A．
【点评】本题考查交集和 并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集
定义的合理运用．
2．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形
内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则
此点取自黑 色部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【 解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形
的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==，
故选：B
【点评】本题主 要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本
题的关键．

3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）设有下面四个命题
p
1
：若复数z满足∈R，则z∈R；
p
2
：若复数z满足z
2
∈R，则z∈R；
p
3
：若复数z
1
，z
2
满足z
1
z
2
∈R，则z
1
=；
p
4
：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4

【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p
1
为真命题；
p2
：复数z=i满足z
2
=﹣1∈R，则z∉R，故命题p
2
为 假命题；
p
3
：若复数z
1
=i，z
2
=2i满 足z
1
z
2
∈R，但z
1
≠，故命题p
3
为假命题；
p
4
：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p
4
为真命题．
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类， 复数的运
算性质，难度不大，属于基础题．

4．（5分）（2017•新课标Ⅰ ）记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a5
=24，S
6
=48，则{a
n
}
的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组 ，求出首项和公差，由此能求出
{a
n
}的公差．
【解答】解：∵S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，a
4
+a
5
=24，S
6
=48，
∴，
解得a
1
=﹣2，d=4，
∴{a
n
}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列 的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等
差数列的性质的合理运用．

5．（5分）（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇 函数．若f（1）
=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【分析】由已知中 函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，
解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．

6．（5分）（2017•新课标Ⅰ）（1+）（1+x）
6
展开式中x
2< br>的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
【解答】解：（1+）（1+x）
6
展开式中：
若（1+）=（1+x2
）提供常数项1，则（1+x）
6
提供含有x
2
的项，可得展 开式中x
2
的系数：
﹣
若（1+）提供x
﹣
2
项 ，则（1+x）
6
提供含有x
4
的项，可得展开式中x
2
的 系数：
由（1+x）
6
通项公式可得．
可知r=2时，可得展开式中x
2
的系数为．
可知r=4时，可得展开式中x
2
的系数为．
（1+）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为：15+15=30．
故选C．
【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．

7．（5分）（2017•新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都 由正方形
和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的 梯形的面，根据梯形
的面积公式计算即可
【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S
梯形
=×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
故选：B

【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3
n
﹣2
n
＞1000的最小偶数n，
那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【分析】通过要求A＞10 00时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，
进而通过偶数的特征确定n =n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，

所以“”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．

9．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C
1
：y=cosx，C
2< br>：y=sin（2x+），则下面结论正确的
是（ ）
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位
长度，得到曲线C2

B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线向左平移个单位
长度，得到曲线C
2

C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长
度，得到曲线C
2

D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的 曲线向右平移个单位长
度，得到曲线C
2

【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，
再把得到的曲线 向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+）的
图象， 即曲线C
2
，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．

10 ．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂 直的直
线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两 点，直线l
2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小
值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x 轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|
最小，根据弦长公式计算即可．
【解答 】解：如图，l
1
⊥l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，
直线l
2
与C交于D、E两点，

要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l
2
过点（1，0），
则直线l
2
的方程为y=x﹣1，
联立方程组，则y
2
﹣4y﹣4=0，
∴y
1
+y
2
=4，y
1
y
2
=﹣4，
∴|DE|=•|y
1
﹣y
2
|=×=8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
故选：A

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档
题．

11．（5分）（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2
x
= 3
y
=5
z
，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【分析】x、y、z为正数， 令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．可得x=，y =，z=．可得3y=，2x=，
5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．
【解答】解：x、y、z为正数，
令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．

则x=，y=，z=．
∴3y=，2x=，5z=．
∵==，＞=．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算
能力 ，属于中档题．

12．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召 ，开发了一款应用软件．为
激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动． 这款软件的激活
码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2 ，4，8，16，…，
其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，2
1
，2
2
，依此类推．求满
足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软 件的激
活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
【分析 】方法一：由数列的性质，求得数列{b
n
}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N< br>+
），
数列{a
n
}的前N项和为数列{b
n
}的前 n项和，即为2
n
﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，
分别判断，即可求得 该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S
n
=2
n+1
﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2
n+1
为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消 去即可，分别分别即可求得N的值．
【解答】解：设该数列为{a
n
}，设b
n
=+…+=2
n
﹣1，（n∈N
+
），则=a
i
，
由题意可设数列{a
n
}的前N项和为S
N
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
，则T
n
=2
1
﹣1+2
2
﹣1+…+2
n
﹣1=2
n
﹣n﹣2，
可知当 N为时（n∈N
+
），数列{a
n
}的前N项和为数列{b
n
}的前n项和，即为2
n
﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由=435，440=435+5，可知S
440
=T
29
+b5
=2
30
﹣29﹣2+2
5
﹣1=2
30
， 故A项符合题意．
B项，仿上可知=325，可知S
330
=T
25
+b
5
=2
26
﹣25﹣2+2
5
﹣1=2
26
+4，显然不为2的整数幂，故
B项不符合题意．
C项，仿上可知=210，可知S
220
=T
20
+b
10
=2
21
﹣20 ﹣2+2
10
﹣1=2
21
+2
10
﹣23，显然不为2的 整

数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知=105，可知S
11 0
=T
14
+b
5
=2
15
﹣14﹣2+2
5
﹣1=2
15
+15，显然不为2的整数幂，
故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知：，，，…，
根据等比数列前n项和公式，求得每项 和分别为：2
1
﹣1，2
2
﹣1，2
3
﹣1，…，2
n
﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=，
所有项数的和为S
n
：2
1
﹣1+2
2
﹣1+2
3
﹣1+…+2
n
﹣1= （2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
）﹣n= ﹣n=2
n+1
﹣2﹣n，
由题意可知：2
n+1
为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2017•新课标Ⅰ ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，
∴=+4•+4
=2
2
+4×2×1×cos60°+4×1
2

=12，
∴|+2|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础
题．

14．（5分）（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3 x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立，解得A（﹣1，1）．
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为< br>圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则
C的离心率为 ．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求 解双曲线
的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，
可得：=，即，可得离心率为：e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简 单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考
查转化思想以及计算能力．

16．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该 纸片上的等边
三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别 是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DB C，△ECA，
△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位：
cm
3
）的最大值为 4cm
3
．

【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，< br>DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S
△ABC
=3，V==，令f（x）=25x< br>4
﹣10x
5
，x∈（0，），f′（x）
=100x
3﹣50x
4
，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，
三棱锥的高h===，
=3，
则V===，
令f（x）=25x
4
﹣10x
5
，x∈（0，），f′（x）=100x
3
﹣50x
4
，
令f′（x）≥0，即x
4
﹣2x
3
≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤=4cm
3
，∴体积最大值为4cm
3
．
故答案为：4cm
3
．

【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值 的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力、空间想象能力，考查
数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个 试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）（2017• 新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
的面积为．
（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2）根据两角余弦公式可得co sA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定
理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S
△ABC
=acsinB=，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，
∴cos（B+C）=﹣，
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=，
∵===2R==2，
∴sinBsinC=•===，
∴bc=8，
∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，
∴b
2
+c
2
﹣bc=9，
∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导 公式和正弦定理余弦定
理，考查了学生的运算能力，属于中档题．

18．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得A B⊥PD，利用线面垂直的
判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则
四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平
面P BC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所
成角的余弦 值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．
∴cos＜＞==．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
< /p>

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间
向量求二面角的平面角，是中档题．

19．（12分）（2017•新课标Ⅰ） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从
该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺 寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认
为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（μ，σ
2
）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其 尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之
外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天 内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生
产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9
5
10.
26
10.
12
9.9
1
9.9
6
10.
13
9.9
6
10.
02
10.
01
9.2
2
9.9
2
10.
04
9.9
8
10.
05
10.
04
9.9
5
经计算得= =9.97，s==≈0.212，其中x
i
为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，1 6．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到
0.01 ）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ
2
），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3 σ）=0.9974，0.9974
16
≈0.9592，
≈0.09．
【 分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望< br>公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件 可知该监控生产过程方法
合理；
（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3 ）=（9.334，10.606），进而需剔
除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得 结论．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，

因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）
0
×0.9974
16
≈0 .9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，
且==9.97，s==≈0.212，
所以﹣3=9.97﹣3×0.212=9.334 ，+3=9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22∉（﹣3+3）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，
则剩下的数据估计μ==10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计 算公式代入计算可知σ
2
≈0.008，
所以σ≈0.09．
【点评】本 题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运
算求解能力，注意解题方 法的积累，属于中档题．

20．（12分）（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0），四点P
1
（1，1），P
2
（0，1），
P
3
（﹣1，），P
4
（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点 ．若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为
﹣1，证明：l过定点．
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P
2
（0，1），P
3
（﹣ 1，），P
4
（1，）三点在椭圆C上．把
P
2
（0，1），P3
（﹣1，）代入椭圆C，求出a
2
=4，b
2
=1，由此能求 出椭圆C的方程．
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1） ，联立，得（1+4k
2
）
x
2
+8kbx+4b
2
﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线
l过定点（2，﹣1 ）．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P
3
（﹣1，），P
4
（1，）两点必在椭圆C上，
又P
4
的横坐标为1，∴椭圆必不过P
1
（1，1），