三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个 试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在
△ABC
中，< br>C60
，
BC2AC23
.
（1）求证：
△ABC
是直角三角形；
（2）若点
D
在
BC
边上，且
sinBAD






18．（12分）
如图1所示，在梯 形
BCDE
中，
DE

BC
，且
DE
27
，求
CD
．
7
1
BC
，
C90< br>，分别延长两腰交于
2
点
A
，点
F
为线段
C D
上的一点，将
△ADE
沿
DE
折起到
△A
1DE
的位置，使
A
1
FCD
，如图2
所示．

（1）求证：
A
1
FBE
；
（2）若
BC6
，
AC8
，四棱锥
A
1
BCDE
的 体积为
123
，求四棱锥
A
1
BCDE
的表面
积 .

19．（12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时， 可以一次性额外购买
几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付 小费，小费每次
50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次 需支付维修服
务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务， 为此搜集并
整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数
频数
8
10
9
20
10
30
11
30
12
10
记x表示1台机器在三年使用期内的维修 次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），
n
表示购机的同时购买的维修服务次 数.
（1）若
n
=10，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于
n
”的频率不小于0.8，求n的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，< br>分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购
买10次还是11次维修服务？



20．(12分)
已知 抛物线
C:y2px(p0)
，且
Q(q,0)
，
M(,1)
，
N(n,4)
三点中恰有两点在抛物线
C
上，另一点是抛物线C
的焦点．
（1）求证：
Q
、
M
、
N
三点共线；
（ 2）若直线
l
过抛物线
C
的焦点且与抛物线
C
交于
A
、
B
两点，点
A
到
x
轴的距离为
d1
，点
B
42
到
y
轴的距离为
d
2< br>，求
d
1
d
2
的最小值．
2
1
4



21．（12分）
已知函数
f

x

lnxxax
.
2
（1）若
a0
，求函数
f(x)
的极值点；

（2）若
a≥3
，函数
f

x

有两个极值点
x
1
，
x
2
，且
x
1
x
2
，
求证：
f

x
1

f

x
2


3
ln2
.
4



（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任 选一题作答．如果多做，则按所做第一个题
目计分。
22．[选修
44
：坐标系与参数方程]（10分）

xc os

,
在直角坐标系
xOy
下，曲线
C
1
的参数方程为

（

为参数），曲线
C
2
的参数 方程
y1sin

,

为


xt cos

,
π
（
t
为参数，且
t≥0
，< br>0


）．以坐标原点
O
为极点，
x
轴的 非负半轴为极轴
2

ytsin

,
建立极坐标系，曲线
C
3
的极坐标方程为

2rcos

，常数r0
，曲线
C
2
与曲线
C
1
，
C< br>3
的异于
O
的交点分别为
A
，
B
．
（1）求曲线
C
1
和曲线
C
2
的极坐标方程；
（2）若
|OA||OB|
的最大值为6，求
r
的值．




23．[选修
45
：不等式选讲]（10分）
设函数
f(x)|2x1||xa|(a0)
．
（1）当
a2
时,求不等式
f(x)8
的解集；
（2）若
xR
，使得
f(x)≤


3
成立，求实数
a
的取值范围．
2
2018年漳州市高三毕业班质量检查测试
文科数学参考答案及评分细则

评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解 答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考 生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定后继 部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继
部分的解答有较严重的错误，就不再 给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．C 2．A 3．D 4． B 5． C 6． C
7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C
二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共20分。
x
2
y
2
π
1
15．
7xy40
16．②④ 13． 14．169
4
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
17．解：（1）在
△ABC
中，
C60
，
B C23
，
AC3
，
由余弦定理，得
AB
2
 AC
2
BC
2
2ACBCcosC9
·························· 2分
所以
AB3
，· ·················································· ··································· 3分
所以
A B
2
AC
2
BC
2
，所以
ABAC
， ·············································· 5分
所以
A90
，所以
△ABC
是直角三角形． ··············································· 6分
（2）设
BAD

，则
sin


2 7
，
DAC90

，
0

90< br>，
7
21
， ········································ 8分
7< br>在
△ACD
中，
ADC180DACC180(90< br>
)60

30
，
所以
sinDAC sin(90

)cos


sinADCsin(< br>
30)
sin

cos30cos

s in30

273211321

， ·········································· 10分
727214
CDAC
由正弦定理得，，

sinDACsin ADC

所以
CD
ACsinDAC23

·· ·················································· ········ 12分
sinADC3

18．（1）证明：因为∠C＝ 90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，
所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA
1
， ··············· ······································ 2分
A
1
又因为DC∩DA＝D，
1
所以DE⊥平面A
1
DC. ································3分
因为A
1
F⊂平面A
1
DC，
所以DE⊥A
1
F. ·········································4分
又因为A
1
F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A
1
F⊥平面BCDE， ····························5分
又因为BE ⊂平面BCDE，
B

C
F
E
D
所以A
1
F⊥BE． ···························· ·················································· ······· 6分
1
（2）解：由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，
2
在Rt△ABC中，
AB6810
，则A
1
E＝EB＝5 ，A
1
D＝DC＝4，
1
则梯形BCDE的面积S
1
＝×(6＋3)×4＝18， ················································· 7分
2
1
四棱锥A
1
—BCDE的体积为V＝×18×A
1
F＝123，即A
1
F＝23， ···················· 8分
3
在Rt△A
1
DF中，
DF
所以A
1< br>C＝A
1
D＝4，
因为DE∥BC，DE⊥平面A
1
DC，
所以BC⊥平面A
1DC，所以BC⊥A
1
C，所以
A
1
B6
2
4
2
213
，
在等腰△A
1
BE中，底边A
1
B上的高为
5(13)23
， ························ 10分
所以四棱锥A
1
—BCDE的表面积为
S＝S
1
＋
S
△A
1
DE
＋
S
△A
1
DC
＋
S
△A
1
BC
＋
S
△A
1
BE

1111
＝18＋×3×4＋×4×23＋×6×4＋×213×23＝36＋43＋239． ··············· 12分
2222





22
22
4
2
(23)
2
2
，即F是CD的中点，

19．解：（1）
y

即
y


2001050x,x≤10,

250105 00(x10),x10,


50x2000,x≤10,
···· ·················································· · 4分
xN
． ·

500x2500,x10,
102030
········ 5分
0.60.8
， ·
100
（2）因为 “维修次数不大于< br>10
”的频率
=
“维修次数不大于
11
”的频率=
1 0203030
······················· 6分
0.9≥0.8
，
100
所以若要求“维修次数不大于
n
”的频率不小于0.8，则n的最小值为11． ······· 7分
（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：
维修次数x
频数
费用y
8
10
2400
9
20
2450
10
30
2500
11
30
3000
12
10
3500
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y
1

2400 10245020250030300030350010
······· 9分

2730（元） ·
100
维修次数x
频数
费用y
8
10
2600
9
20
2650
10
30
2700
11
30
2750
12
10
3250
若每台都购买11次维修服务，则有下表：
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y
2

2600 10265020270030275030325010
······ 11分

2750（元） ·
100
因为
y
1
y
2
，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务． ······················ 12分
20．（1）证明：由条件，可知
M(,1)
，
N(n,4)
在抛物线
C
上，
Q(q,0)
是抛物线
C
的焦点．
1
4
1

2
(1)2p,


p2,
4


2
所以

42pn,
解得

q1,
·················································· ······ 3分

n4,

p


q,

2

所以
Q(1,0)
，
M(,1)
，
N(4,4)
，
所以
k
QM
1
4
4 04104
····················· 5分

，所以
k
QM
k
QN
， ·
，
k
QN

1
413
3
1
4

所以
Q
、
M
、
N
三点共线． ···· ·················································· ·············· 6分

（2）解：由条件可知
k
l
0
，可设
l:xmy1
，
代入
C:y4x
，得
y4my40
， ········· ··········································· 7分
2
2
16m
2
160
，解得
mR
．
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
y
2
4< br>， ············································· ······ 8分
44
y
2
(4)
4
4
y< br>2
所以
dd
yxy
·················· ·· 10分
≥2y
1
28
， ·
161616
4
1
2
2
4
1
2
2
4
1
4

y
2

y
1
2

y
1
2
42
当且仅当
y
，即

或

时，
(d
1
d
2
)
min
8
············ 12分
16


y
2
2 2


y
2
22
4
1
2x
2< br>ax1
21．解：（1）
f(x)
的定义域为
(0,)
，
f'

x


， ·························· 1分
x
①若
0a≤2 2
，则
a
2
8≤0
，
2x
2
ax1
≥0
， 所以当
x0
时，f'

x


x
所以
f(x)
在(0,)
上单调递增，
所以
f(x)
无极值点． ······· ·················································· ······················ 3分
②若
a22
，则
0
，
aa
2
 8aa
2
8
由
f'

x

0
得
x
1

，
x
2

.
44< br>当
x
的值变化时，
f'

x

，
f

x

的值的变化情况如下：









x

f'(x)

f(x)


(0,x
1
)

+

x
1

0
(x
1
,x
2
)

-

x
2

0
极小值
(x
2
,)

+

极大值
a a
2
8aa
2
8
所以
f(x)
有极大值点< br>x
1

，极小值点
x
2

． ············ 6分
44
（2）由（1）及条件可知

21
aa
2
82
≤
， ·
0 x
1

···························· 7分 < br>2
2
2
4
338
aa8
且
x
1
x
2

11
a1
,
x
1
x
2

,即
x
2

,
a2x
1< br>
，··································· 8分
2x
1
x
1
22
1
,
2
4x< br>1
22
2
所以
f

x
1

f

x
2

lnx
1
x
1
ax
1
lnx
2
x
2
ax
2
2 lnx
1
ln2x
1

················· ·················································· ····································· 10分
记
g

x

2lnxln2x
2

1

1

x
,

0,

，
2
4x

2

21
因为当
x

0 ,

时，
g'

x

2x

3
2
x
2x


1


< br>2x
2
1

2x
3
2
0
， < br>所以
g

x

在

0,

上单调递减， ·········································· ·················· 11分
2


1

因为
0x
1
≤
1
，
2
1
2
3
3
························· 12分
ln2
，即
f

x
1

f

x
2

≥ln2
. ·
44
所以
g
< br>x
1

≥g()

xcos

,
22
22．解：（1）由

得
x(y1)1
，

y1sin

,
即
xy2y0
，所以

2

sin

0
，
所以曲线
C1
的极坐标方程为

2sin

． ··········· ········································ 3分
曲线
C
2
的极坐标方程为



． ·· ·················································· ············ 5分
（2）由条件，有
|OA|2sin
< br>，
|OB|2rcos

， ····································· 6分
所以
|OA||OB|
2sin

2rcos

21r2
sin(



)
，
其中
tan

r0
，

(0,)
． ·················································· ············· 8分
因为

(0,
222
π2

2
)
，所以



(

,
π


)
，
2
所以当
< br>


π
时，
(|OA||OB|)
max
21r
2
． ································· 9分
2
2
因为
|OA||OB|
的最大值为6，所以
2 1r6
，

又
r0
，所以
r22
． ·················································· ····················· 10分




23．
解：
（1）当
a2
时，
f(x)8


|2x1||x2|8

1

1

x≥2,

x2,

x≤,
或
< br>2
或

································ ··········· 3分


2
·
3x18,



3x18

x38,
7
x 3
或
x
或
x

3
7
x3
或
x
，
3
7
所以原不等式解集为
(,)U(3,)
． ·················································· 5分
3
（2）因为
xR
，使得
f(x)≤
33
成立，所以
f(x)
min
≤
， ························ 6分
22


3x 1a,x≥a,

1

因为
f(x)

x a1,xa,

2

1

3x1a,x≤ ,

2
所以
f(x)
在
(,)
上单调递减 ，在
(,)
上单调递增， ························ 8分
所以
f(x)
min
f()
1
2
1
2
11
13
a
，所以
a≤
，所以
a≤1
，
22
22
又
a0
，所以实数
a
的取值范围
(0,1]
． ··································· ················· 10分
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