介绍自己-元宵节看花灯

素质能力检测（四）

一、选择题（每小题6分，共60分）
1.（2004年辽宁，1）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由sin2θ＜0得2sinθcosθ＜0.又cosθ＞0，∴sinθ＜0.∴角θ的终边 在第
四象限.
答案：D
2.要得到函数y=sin2x的图象可由函数y=cos2x的图象
A.向左平移
C.向左平移
π
个单位
2
π
个单位
4








B.向右平移
D.向右平移
π
个单位
2
π
个单位
4
解析：y=sin2x=cos（
答案：D
ππ
－2x）=cos［2（x－）］.
24
4π
π
1< br>时，取得最大值，当x=时，
929
3.已知函数y=Asin（ωx+
）在同一周期内，当x=
取得最小值－
1
，则该函数的解析式为
2
x
π
－）
36








B.y=
D.y=
A.y=2sin（< br>C.y=
1
π
sin（3x+）
26
1x
π
sin（－）
236
1
π
sin（3x－）
26
解析：A=
即y=
2π
1T
ππ
1
π
，=，ω==3，易知第一个零点 为（－，0），则y=sin［3（x+）］，
223T18218
1
π
si n（3x+）.
26
答案：B
4.设集合M={y|y=sinx}，N={y|y=cosxtanx}，则M、N的关系是
C.M=N
解析：M={y|－1≤y≤1}，N={y|－1＜y＜1}，选A.
答案：A
5.y=
3sinx
的值域是
2cosx
D.M∩N=


A.［－1，1］









B.［－
3
，
3
］
D.［－1，
3
］ C.［－
3
，1］
解析：原式可化为
3
sinx+ycosx=2y，

3y
2
sin（x+

）=2y（tan

=
sin（ x+

）=
2y
3y
2
y
3
），
∈［－1，1］，
解得y∈［－1，1］.
答案：A
6.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
tanAtanB
=－tanC.∵tanA·tanB＞1，∴tanA＞0，
1tanAtanB
ta nB＞0.1－tanA·tanB＜0，∴－tanC＜＞0，∴△ABC为锐角三角形.故选B.
答案：B
7.方程cosx=lgx的实根个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
解析：当x=10时，lgx=1，在同一坐标系中画出y=cosx和 y=lgx的图象，可知有3个交
点，选C.
答案：C
解析：tan（A+B）=－tanC，得
arcsin
8.
A.－3
31
arccos（）
22
的值是
arctan（3）
B.2 C.－
π

3
D.
π

3
解析：原式=－3，选A.
答案：A
9.已知f（sinx）=sin3x，则f（cosx）等于
A.－cos3x 3x
解析：f（cosx）=f［sin（
答案：A
10.函数f（x）=sin2x+5sin（
A.－3
3x D.－sin3x
ππ
－x）］=sin3（－x）=－cos3x，选A.
22
π
+x）+3的最小值是
4
C.B.－6
9

8
D.－1
解析：f（x）=2sinxcosx+< br>y=（t+
52
（sinx+cosx）+3.令t=sinx+cosx，t∈［－< br>2
，
2
］，则
2
52
2
9
）－.则 当t=－
2
时，y
min
=－1，选D.
4
8
答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分）
11.已知 角α的终边上一点P（
3
，－1），则sec
2
α+csc
2
α+cot
2
α=_________.

解析：secα=
答案：
2
3
，cscα=－2，cotα=－
3
，代入得
25
.
3
25

3
12.（2005年春季上海，11） 函数y=sinx+arcsinx的值域是____________.
解析：该函数的定义域为［－1，1］.
∵y=sinx与y=arcsinx都是［－1，1］上的增函数，
∴当x=－1时，y< br>min
=sin（－1）+arcsin（－1）=－
当x=1时，y
max< br>=sin1+arcsin1=
∴值域为［－
答案：［－
π
－sin1 ，
2
π
+sin1，
2
ππ
－sin1，+sin1］.
22
ππ
－sin1，+sin1］
22
35
，cosB=，则cosC=_______.
513
1 3.△ABC中，若sinA=
解析：由cosB=
=
51234
，得sin B=＞=sinA.A是锐角，cosA=，cosC=cos（π－A－B）
131355
1 6
.
65
16

65
14.若f（x）=asin
3
x+btanx+1且f（3）=5，则f（－3）=_______.
解析：令g（x）=asin
3
x+btanx，则g（－x）=－g（x）.
f（3）=g（3）+1=5，g（3）=4.
f（－3）=g（－3）+1=－g（3）+1=－4+1=－3.
答案：－3
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
答案：
15.（12分）（2005年黄 冈市调研题）已知sin

2
－cos

2
=
10
π
，α∈（，π），
5
2
tan（π－β）=
解：∵sin
1
，求tan（α－2β）的值.
2
－cos
10
，
5
22
23
∴1－sinα=.∴sinα=.
55

=
又∵α∈（
∴tanα=－
π
4
，π），∴cosα=－
1sin
2

=－.
25
3
.
4
1
，
2
由条件知tanβ=－

∴tan 2β=
2tan

tan
2

=－
4
.
3
∴tan（α－2β）=
tan

tan2
7
=.
tan

tan2

24
16 .（12分）已知2cos2α－cos2β=1，求
1
2
sin2α+sin
2
β+2cos
4
α的值.
2
1
sin
22α
2
解：由2cos2α－cos2β=1，即2cos2α=1+cos2β，得co s2α=cos
2
β.因此
+sin
2
β+2cos
4α=
1
2
1osc2

2
sin2α+sin
2
β+2·（）=1+cos2α+sin
2
β=1+cos
2
β +sin
2
β=2.
2
17.（12分）（2004年浙江，理17）在 △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
1
且cosA=.
3
（1）求sin
2
BC
+cos2A的值；
2
（2）若a=
3
，求bc的最大值.
11
解：（1）s in
2
BC
+cos2A=［1－cos（B+C）］+（2cos
2A－1）=（1+cosA）+（2cos
2
A
22
2
121< br>1
－1）=（1+）+（－1）=－.
299
3
b
2
c
2
a
2
1
（2）∵=cosA=，
2bc
3
∴
2
bc=b
2
+c
2
－a
2
≥2bc－a
2
.
3
3
2
a.
4
9
.
4
∴bc≤
又∵a=
3
，∴bc ≤
当且仅当b=c=
399
时，bc=.故bc的最大值是.
244
1
，a
n+1
=a
n
cosx－sinnx，求a
2、a
3
、a
4
，推测a
n
并证明.
tanx
18.（12分）已知a
1
=
cos
2
xsin
2
x
cos2xcos3xcos4x
解：a
2
=a
1cosx－sinx==，a
3
=a
2
cosx－sin2x=，a4
=.
sinx
sinxsinxsinx
cosnx
可推测 a
n
=，数学归纳法可证之.（读者自己完成）
sinx
19.（12分） 设A、B、C是三角形的内角，且lgsinA=0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x
2
－2（
3
+1）x+k=0的两个根，求实数k的值.
解：由lgsi nA=0，得sinA=1，A=
ππ
，B+C=，sinC=cosB.
22


31
sinBsinC，


2
又



sinBsinC
k
，

4


31
sinBcosB，


2
∴


k

sinBcosB.

4

31
2
1k1
［（sinB+cosB）
2
－1］，得 =［（）－1］，解得k=
3
.
2
242
20.（14分）已知F （θ）=cos
2
θ+cos
2
（θ+α）+cos
2
（θ +β），问是否存在满足0≤
α＜β≤π的α、β，使得F（θ）的值不随θ的变化而变化?如果存在， 求出α、β的值；
如果不存在，请说明理由.
由sinBcosB=
解：F（θ）=
cos2θ－
3131
+［cos2θ+cos（2θ+2α）+cos（2θ+2β ）］=+（1+cos2α+cos2β）
2222
1
（sin2α+sin2β）s in2θ.
2
F（θ）的值不随θ变化的充要条件是

1cos2

cos2

0，



sin2

sin2

0，
得（cos2 α+1）
2
+sin
2
2α=1，
11
.同理，cos2β=－.
22
又0≤α＜β≤π，
cos2α=－
故存在α、β满足条件，其值分别为α=
●意犹未尽
相信自己是一只雄鹰
一个人在高山之巅的鹰巢里，抓到了一只幼鹰，他把幼鹰带回家，养在鸡 笼里.这只幼
鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息.它以为自己是一只鸡.这只鹰渐渐长大，羽翼丰满了，主人 想
把它训练成猎鹰，可是由于终日和鸡混在一起，它已经变得和鸡完全一样，根本没有飞的愿
望 了.主人试了各种办法，都毫无效果，最后把它带到山顶上，一把将它扔了出去.这只鹰像
块石头似的， 直掉下去，慌乱之中它拼命地扑打翅膀，就这样，它终于飞了起来！
一语中的：磨炼召唤成功的力量.

2π
π
，β=.
33