课外活动-我的家人

微专题一——三角形的各心
【四心的概念介绍】
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：
角平分线上的任意点到角两边的距离相等
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：
外心到三角形各顶点的距离相等
【四心与向量的结合】
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)

x
OAOBOC0

)(x
1
x
2


(x
1
x
2
x)(x
3< br>x)0



x
x
3
3
< br>
O

(y

1
y)(y
2
 y)(y
3
y)0

yy

2
y
是
ABC
的重
3

y
1
3
心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD

O
E
A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
BDC
是
ABC
的重心

（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
A BC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

A
OBAC


E
同理
OABC
，
OCAB

O

O
为
ABC
的垂心

BDC

（3）设
a
,
b
,
c
是 三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：
AB
c
、
AC
b
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，

ABAC
c

b
平分
BAC
, AO

(
ABAC
c

b
)，令


bc
abc


AO
bc
a bc
（
ABAC
c

b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0


（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

已知
O
是
△ABC
所在平面上一点，若
OA
2
OB

2


OC

2
，则
O
是
△ABC
的外心．

C



A
B


O



【解析】 若

OA

2
< br>
OB

2


OC

2
，则

OA

2


OB

2


OC

2
，∴
OA



OB



OC

，则
O
是
△ABC
的外
心，如图。
【典型例题】
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平 面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)< br>，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的________
分析：如图 所示
ABC
，
D、E
分别为边
BC、AC
的中点.
A
ABAC2AD


OPOA2

AD

E
OPOAAP

BDC
AP2

AD

AP

AD


点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心

例2：（03全国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的 三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
AB< br>
AC
AC
)
，



0,< br>
，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的________
分析：

AB
、
AC
分别为
AB、AC
方 向上的单位向量，
ABAC

ABAC
平分
BAC
,
AB

AC

点
P
的轨迹一定通过
AB C
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平面上一定点 ，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA< br>
(
AB
，
ABcoBs

AC
ACcoC s
)



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的________

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB

AC

ACco sC
)
BC
E
=
ABBC
AB

AC BC

cosBACcosC
B
D
C
ABBCcosB
=
ABcosB

ACBCcosC
ACcosC

=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心
例
4：O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足


O

P

O

A

(
AB
|

A

B|
< br>
A

|A

C
C
)
|


[0,
则
).
P的轨迹一定通过△ABC的_____ ___
分析：
已知等式即

AP




(
AB

AC



AB




|
 
AB

|

|

AC

|
)
，设
AE
|

AB

|
A
,
F
AC
|AC

|

，显然< br>AE,AF
都是单位向量，
以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故
A P
为
ABC
的平分线，故通过三角形的内心。


练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P，满足
PAPBPC0
，若实数

满足：
ABAC< br>
AP
，则

的值为________
2．若
A BC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC0
，则
OAOB 
________
3．点
O
在
ABC
内部且满足OA2OB2OC0
，则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是
________
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的________
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个 点，若
OA
2
BC
2
OB
2

CA
2
OC
2
AB
2
，则
O
是
 ABC
的________
6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的 高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，
则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量AB
→
与AC
→
满足(
AB
→
|AB
→
|
+
AC
→
|AC
→
|
)·BC
→
=0且
AB
→→
|AB
→
|
·
AC
|AC
→
|
=
1
2
, 则△ABC为________
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C，若
AB
2
ABACABCBBCCA
，则
AB C
为________
微专题二——构造法（待定系数法）求数列的通项公式
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如
a
n1
ca
n
d,(c0
,其中
a
1
a
)型
（1）若c=1时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
c1
且d
0
时，数列{
a
n
}为线性递推数列，其通项 可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设
a
n1


c(a
n


)
,
得
a
n 1
ca
n
(c1)

,与题设
a
n1< br>ca
n
d,
比较系数得
(c1)

d

d
c1
,(c0)a
dd
,所以所以有：n

c1
c(a
n1

c1
)



a
n

d
< br>因此数列

c1


a
d
构成以
1
c1
为首项，以c为公比的等比数列，
a
n1
所以 n

d
c1
(a
ddd
1

c 1
)c
n1
a
即：
n
(a
1
) c

c1c1
.
规律：将递推关系
a
a
d
n1
ca
n
d
化为
c1
c(a
dd
n1

n

c1
){a
,构造成公比为 c的等比数列
n

c1
}
a
d
c
n 1
(a
d
从而求得通项公式
n1

1c
1
c1
)

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系
a< br>n1
ca
n
d
中把n换成n-1有
a
n
ca
n1
d
,两式相减有
a
n1
a
n
c(a
n
a
n1
)
从而化为公比为c的等比数列{a
n1
a
n
}
,进而求得通项公式.
a
n1
a
n
c
n
(a
2
a
1)
,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例1已知数列{a
n
}
中，
a
1
1,a
n
2a
n1
1(n2)
，求数列

a
n

的通项公式。
解法一：
a
n
2a
n1
1(n2),


a
n
12(a
n1
1)

又
a
1
12,

a
n
1
是首项为2，公比为2的等比数列

a
nn
n
12
，即
a
n
21

解法二：
a
n
2a
n1
1(n2),


a
n1
2a
n
1

两式相减得
a
n1
a
n
2(an
a
n1
)(n2)
，故数列

a
n 1
a
n

是首项为2，公比为2的等比数列，再用
累加法的……
2．形如：
a
n1
pa
n
q
n
(其中q是常数，且n

0,1)
①若p=1时，即：
a
n1
a
n
q
n
，累加即可.
n
②若
p 1
时，即：
a
n1
pa
n
q
，
n1
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以
p
.目的是把所求数列构造成等差数列
a
n1
a
n
1
p
n
a
n
n1
q
n

p
(
q
)b
n

n
b
1
p
n1
b
n
(
即：
p
, 令
p
，则
pq
)
n
,然后类型1，累加求通项.
n1
ii.两边同除以
q
. 目的是把所求数列构造成等差数列。
a
n1
a
n
1
n1

p
即：
q
q

q
n

q
,
b
a
n
n

n
b
n1

p
令
q
,则可化为
q
b
1
n

q
.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
n< br>设
a
n1


q
1
p(a
n


p
n
)
.通过比较系数，求出

，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p

q，否则待定系数法会失效。
例2 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
2a
n
43
n1
，a
1
1
，求数列

a
n

的通项公式。
解法一（待定系数法）：设
a
n1< br>

1
3
n


2
(a
n


3
n1
)
，比较系数得

14,

2
2
，
则数列

a
n
43
n1

是首项为
a
1
43
11
5
，公比为2的等比数列，
所以
a
n1n
n
4352
1
，即
a
n1n1
n
 4352

a
n1
解法二（两边同除以
q
n1
）： 两边同时除以
3
n1
得：
3
n1

2
3

a
n
4
3
n

3
2
，下面解法略
a
解法三（两边同除以
p
n1
n1

a
n
43
n
）： 两边同时除以
2
n1
得：
2< br>n1
2
n

3
(
2
)
，下面解 法略
3．形如
a
n1
pa
n
knb
(其中k,b是常数，且
k0
)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：待定系数法
通过凑配可转化为
(a
n
xny) p(a
n1
x(n1)y)
;
解题基本步骤：
1、确定
f(n)
=kn+b
2、设等比数列
b
n
(a
n
xny)
，公比为p
3、列出关系式
(a
n
xny)p(a
n1
x(n1)y)
,即
b
n
pb
n1

4、比较系数求x,y
5、解得数列
(a
n
xny)
的通项公式
6、解得数列

a
n

的通项公式

例3 在数列
{a
n
}
中，
a
1
1,a
n1
3a
n
2n,
求通项
a
n
.（逐项相减法）
解：

，
a
n13a
n
2n,
①

n2
时，
a
n
3a
n1
2(n1)
，
两式相减得
a
n1
a
n
3(a
n
a
n1
)2
.令
b
n
a
n1
 a
n
,则
b
n
3b
n1
2

利用类型5的方法知
b
n
53
n1
2
即
a
n1
a
n
53
n1
1
②
a
5
3
n1
n
1
a
5
n1
1
再由累加法可得
n

22
亦可联立 ① ②解出
n

2
3n
.
2
.
}
a
例4 在数列
{a
中，
1

3,2a
n
a
n
n
2
1
6n3
,求通项
a
n
.（待定系数法）
解：原递推式可化为
2(a
n
xny)a
n1
x(n1)y

比较系数可得 ：x=-6,y=9,上式即为
2b
n
b
n1

b9
1
b
91
所以

b
n

一个等比数列，首项
1
a
是
1
6n9
2
, 公比为
2
.
n

2
(
2
)
n1
即：
a
1
n
6n99(
2
)
n

a
1
n
9()
n
6n
故
2
9
.
2
4．形如
a
n1
pa
n
 anbnc
(其中a,b,c是常数，且
a0
)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例5 已知数列
{a
2
n
}
满足
a
n 1
2a
n
3n4n5，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n1
x(n 1)
2
y(n1)z2(a
2
n
xnynz)
比较系数得
x3,y10,z18
，
所以
a
n1
3(n1)
2
10(n1)182(a
n
3n
2
10n18)

由
a
2
13110118131320
，得
a
2
n
 3n10n180

则
a
n1
3(n1)
2< br>10(n1)18
22
a
2
n18
2
，故 数列
{a
n
3n10n18}
为以
a
1
3 11011813132
为
n
3n10
首项，以2为公比 的等比数列，因此
a
n1
n
3n
2
10n183 22
，则
a
n4
n
23n
2
10n1 8
。
5.形如
a
n2
pa
n1
qa
n

时将
a
n
作为
f(n)
求解
分析：原递推式可化 为
a
n2


a
n1
(p
)(a
n1


a
n
)
的形式，比较系数 可求得

，数列

a
n1


a
n

为等比数列。
例6 已知数列
{a
n
}
满足
a
n2
5a
n1
6a
n
,a
1
1,a
2
2
，求数列
{a
n
}
的 通项公式。
解：设
a
n2


a
n1
(5

)(a
n1


a
n
)< br>
比较系数得

3
或

2
，不妨 取

2
，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则
a< br>n2
2a
n1
3(a
n1
2a
n
)
，则

a
n1
2a
n

是首项为 4，公比为3的等比数列
a
1n1
n1
2a
n
 43
n
，所以
a
n
43
n1
52< br>

附：★数列求和方法（完成5·3习题）
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：
123……+ n=
n(n1)
，1+3+5+……+(2n-1)=
n
2
2

1
2
2
2
3
2
…… +n
2
=
n(n1)(2n
6
，
1)
1
3
2
3
3
3
……+n
3
=

n(n1)

2

2


等.
二、倒序相加法
三、★裂项相消法
常见的拆项公式有：
1
1111
n(nk)

k
(
n
nk
)
，
1
nkn

k
(nkn)
，
1

11

(2n1)n(21
2
)< br>(
2n1

1
2n1
)
，等.
四、★★错位相减法
五、分组求和法

附：三角形四心与向量练习答案
3、

1
2
、1 、
4
3
、垂心、垂心、等边三角形、直角三角形