2013湖北高考数学-郭美美微博

河南省高考数学一诊试卷（理科）



一、选择题：本大题 共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知a∈R，复数z=
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
< br>≤0}，N={x|y=log
3
（﹣6x
2
+11x﹣4）}，则M ∩
，若=z，则a=（ ）

2．（5分）已知集合M={x|
N=（ ）

A．[1，] B．（，3] C．（1，） D．（，2）

3．（5 分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最
高气温（单位：℃）的数据 ，绘制了下面的折线图．


已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系 ，则根据该折线图，下
列结论错误的是（ ）

A．最低气温与最高气温为正相关

B．10月的最高气温不低于5月的最高气温

C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月

D．最低气温低于0℃的月份有4个

4．（5分）在等比数列{a
n
}中，若a
2
=
A． B． C． D．2

5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

，a
3
=，则=（ ）

“今有阳马，广五尺，褒 七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩
形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长， 宽分别为7尺和5尺，高为8
尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面 积为
（ ）

A．128π平方尺 B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺

6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x] ，例如[2.1]=2，（2.1）
=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出 的z=（ ）


A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8

7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣s inx，则函数f（2x）
图象的对称中心为（ ）

A．
∈Z） D．
（k∈Z） B．
（k∈Z）

（k∈Z） C．（k
8．（5分）设x，y满足约束条件
唯一，则实数a的值为（ ）

，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或 D．﹣或2

9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）

A． B． C．
D．

10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）


A．20+12+2 B．20+6+2 C．20+6+2 D．20+12+2

11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，
1）为椭圆E内一点，若椭圆E上 存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离
心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e
2
﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，
若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）

A．﹣


二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）


B．﹣ C．﹣ D．﹣

13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=

6
14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
7
x
7
，a∈R， 若a
0
+a
1
+a
2
+…+a
6
+a7
=0，
则a
3
= ．

15．（5分）已知 S
n
为数列{a
n
}的前n项和，a
1
=1，当n≥2时， 恒有ka
n
=a
n
S
n
﹣
S成立，若S
9 9
=，则k= ．

的左、右焦点，过F
1
16．（5分） 设F
1
，F
2
分别是双曲线
的直线l与双曲线分别交于点A，B，且 A（m，18）在第一象限，若△ABF
2
为等
边三角形，则双曲线的实轴长为 ．



三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算
步骤.）

17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，已知c=4，
b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD =CD，∠BAE=∠CAE．

（1）求线段AD的长；

（2）求△ADE的面积．


18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主 持人请12位同学做一个游戏，第一轮
游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个 不透明的盒子
中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其
余 的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，
每人依次从中取出一张卡 片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘
汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡 片放入一个不透明的盒子中，每
人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余 的淘汰；
第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同

学甲参加了该游戏．

（1）求甲获得奖品的概率；

（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图 ，在三棱台ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别是AB， AC的中点，B
1
E
⊥平面ABC，△AB
1
C是等边三角形，AB =2A
1
B
1
，AC=2BC，∠ACB=90°．

（1）证明：B
1
C∥平面A
1
DE；

（2）求二面角A﹣BB
1
﹣C的正弦值．


20．（1 2分）已知抛物线E：y
2
=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线
l与E交于A，B两点，且
（1）求抛物线E的方程；

（2）设点N（﹣3，0）， 记直线AN，BN的斜率分别为k
1
，k
2
，证明：
为定值．

21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e
ax
（a≠0），且x=是它 的极值点．

（1）求a的值；

（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；

（3）设g（x）=f（x） +2x+3xlnx，证明：对任意x
1
，x
2
∈（0，1），都有|g（x
1
）
﹣g（x
2
）|＜


请考生在22 、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修4-4：坐标系与参数方程]< br>
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l
1
的参数方程为（t为参数 ），
++1．

，其中O为坐标原点．

直线l
2
的参数方程为
p的轨迹为曲线c
1

（m为参数），设l
1
与l
2
的交点为p，当k变化时，
（ Ⅰ）写出C
1
的普通方程及参数方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，设曲线C
2
的极坐标
方程为


[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．

（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；

（2）若∀ x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a
2
﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．



，Q为曲线C
1
上的动点，求点Q到C
2
的距离的最小值．

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12个小题，每小 题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知a∈R，复数z=
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

==+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，

，若=z，则a=（ ）

【解答】解：z=
则=（a﹣1）+（a+1）i，

∵=z，

∴a+1=0，得a=﹣1，

故选：B．



2．（5分）已知集合M={x|
N=（ ）

≤0}，N={x|y=l og
3
（﹣6x
2
+11x﹣4）}，则M∩
A．[1，] B．（，3] C．（1，）
【解答】解：∵集合M={x|
D．（，2）

≤0}={x|1＜x≤3}，

}，

N={x|y=log3
（﹣6x
2
+11x﹣4）}={x|﹣6x
2
+11x﹣4 ＞0}={x|
∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|
故选：C．



}=（1，）．

3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份 至10月份各月最低气温与最
高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图， 下
列结论错误的是（ ）

A．最低气温与最高气温为正相关

B．10月的最高气温不低于5月的最高气温

C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月

D．最低气温低于0℃的月份有4个

【解答】解：由该市2017年1月份至10月 份各月最低气温与最高气温（单位：℃）
的数据的折线图，得：

在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；

在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；

在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；

在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．

故选：D．



4．（5分）在等比数列{a
n
}中，若a
2
=
A． B． C． D．2

【解答】解：∵在等比数列{a
n
}中，若a
2=
∴公比q===，

，a
3
=，

，a
3
=，则=（ ）

∴=，

∴===．

故选：A．



5 ．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有阳马，广五尺， 褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩
形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长 ，宽分别为7尺和5尺，高为8
尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表 面积为
（ ）

A．128π平方尺 B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺

【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面 长，宽
分别为7尺和5尺，高为8尺，

∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，

则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，

∴这个四棱锥的外接球的半径 R=
∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R
2
=
故选：B．



6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[ 2.1]=2，（2.1）
=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（ ）

=（尺），

=138π（平方尺）．

A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8

【解答】解：模拟程序的运行，可得

x=5.8

y=5﹣1.6=3.4

x=5﹣1=4

满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0
< br>满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2

不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．

输出z的值为﹣4.6．

故选：C．



7． （5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）
图 象的对称中心为（ ）

A．
∈Z） D．
（k∈Z） B．
（k∈Z）

（k∈Z） C．（k
【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，

用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，

即 f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；

由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，

∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+

）．

令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，

﹣，0），k∈Z，

故函数f（2x）图象的对称中心为（
故选：D．



8．（5分）设x，y满足约束条件
唯一，则实数a的值为（ ）

，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或 D．﹣或2

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．

由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

若a＞ 0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不
唯一，

则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，

若a＜0，目标函数y =ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不
唯一，

则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，

综上a=﹣3或a=2，

故选：A．

9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（ ）

A． B． C．
D．

【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+
∞）

f（﹣x）=
∴f（x）为偶函数，

∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，

令f（x）=0，即=0，解得x=0，

==f（x），

∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，

当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，

综上所述，只有B符合，

故选：B．



10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．20+12+2 B．20+6+2 C．20+6+2 D．20+12+2

【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形 ABCD，
底面与一个侧面PBC垂直，

PB=PC=4，AB=3．
< br>S
ABCD
=3×=12，S
△
PBC
=，S
△PCD
=S
△
PBA
=
，∴AD边上的高为
，

+8+6+6+2=12+20+2，

，

，

△PAD中AP=PD=5，AD=4
∴S
△
PAD
=
则该几何体的 表面积为12
故选：D




11．（5分）设椭圆E： 的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，
1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA| +|PF|=9，则椭圆E的离
心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：记椭圆的左焦点为F
1
（﹣1，0），则|AF
1
|=1，

∵|PF
1
|≤|PA|+|AF
1
|，

∴2a=|PF
1
|+|PF|≤|PA|+|AF
1
|+|PF| ≤1+9=10，

即a≤5；

∵|PF
1
|≥|PA|﹣|AF
1
|，

∴2a =|PF
1
|+|PF|≥|PA|﹣|AF
1
|+|PF|≥9﹣1=8，

即a≥4，

∴4≤a≤5，∴
故选：C．





12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e
2
﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，
若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵函数f（x）=ln x+（2e
2
﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，

∴f′（x）=+（2e
2
﹣a），x＞0，

当a≤2e
2
时，f′（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴f（x）≤0不可能恒成立，

当a＞2e
2
时，

由f′（x）=0，得x=，

∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，

当x∈（0，
当x∈（
）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴当x=
f（
时，f（x）取最大值，

）=﹣ln（a﹣2e
2
）﹣b﹣1≤0，

∴ln（a﹣2e
2
）+b+1≥0，

∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e
2
），

∴•≥
令F（x）=
（a＞2e
2
），

，x＞2e
2
，

F′（x）==，

令H（x） =（x﹣2e
2
）ln（x﹣2e
2
）﹣2e
2
，

H′（x）=ln（x﹣2e
2
）+1，

由H′（x）=0，得x=2e
2
+，

当x∈（2e
2
+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
x∈（2e
2
，2e
2
+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，< br>
∴当x=2e
2
+时，H（x）取最小值H（2e
2
+）= ﹣2e
2
﹣，

∵x→2e
2
时，H（x）→0，x＞3e
2
时，H（x）＞0，H（3e
2
）=0，

∴当x∈（2 e
2
，3e
2
）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，

当x∈（3e
2
，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，

∴x=3e
2
时，F（x）取最小值，F（3e
2
）=
∴•的最小 值为﹣
即有的最小值为﹣
故选：B．



二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•= ﹣4

，

．

=﹣，

【解 答】解：在△ABC中，|
可得|
即有
即为
2
+|=|﹣|，

+
+
|
2
=|
2
﹣
•=
|< br>2
，

2
+2+
2
﹣2•，

•=0，

则△ABC为直角三角形，A为直角，

则
=﹣|
=﹣|
•=﹣
|•|
•

|•cosB

|
2
=﹣4．

故答案为：﹣4．



6
14．（5分）已知（1+x） （a﹣x）=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+ …+a
7
x
7
，a∈R，若a
0
+a
1
+ a
2
+…+a
6
+a
7
=0，
则a
3= ﹣5 ．

【解答】解：（1+x）（a﹣x）
6
=a
0< br>+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
7
x
7
中，

令x=1得，a
0
+a
1
+…+ a
7
=2•（a﹣1）
6
=0，

解得a=1，而a
3
表示x
3
的系数，

所以a< br>3
=C
6
3
•（﹣1）
3
+C
6
2
•（﹣1）
2
=﹣5．

故答案为：﹣5．



15．（5分）已知S
n
为数列{a
n
}的前n项和，a
1
=1，当n≥2时，恒有ka
n
=a
n
S
n﹣
S成立，若S
99
=，则k= 2 ．

成立，
< br>【解答】解：当n≥2时，恒有ka
n
=a
n
S
n
﹣ S
即为（k﹣S
n
）（S
n
﹣S
n
﹣
1< br>）=﹣S
化为
可得
﹣
=1+
=，

，

．

，

可得S
n
=

由S
99
=
可得=
，

，解得k=2．

故答案为：2．



16．（ 5分）设F
1
，F
2
分别是双曲线的左、右焦点，过F
1
的 直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF
2
为等
边三角形，则双曲线的实轴长为 2 ．

【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF
1
|﹣|AF
2
|=2a，

∵△ABF
2
是等边三角形，即|AF
2
|=|AB|，

∴|BF
1
|=2a，

又∵|BF
2
|﹣|BF
1
|=2a，

∴|BF
2
|=|BF
1
|+2a=4a，

∵△ BF
1
F
2
中，|BF
1
|=2a，|BF
2|=4a，∠F
1
BF
2
=120°，

∴|F
1
F
2
|
2
=|BF
1
|
2
+ |BF
2
|
2
﹣2|BF
1
|•|BF
2
|cos120°，

即4c
2
=4a
2
+16a
2
﹣2×2a×4a×（﹣）=28a
2
，

解得c
2=7a
2
，b
2
=6a
2
，

由双曲线的第二定义可得===，

则m=，

﹣=1，

由A在双曲线上，可得
解得a=
则2a=2
，

．

．

故答案为：2

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）

17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，
b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．

（1）求线段AD的长；

（2）求△ADE的面积．


【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC=
又由cosC=解可得a=4，

即BC=4，则CD=2，

在△ACD中，

由余弦定理得：AD
2
=AC
2
+CD
2
﹣2AC •CDcosC=6，

则AD=；

==，

=；

（2）根据题意，AE平分∠BAC，

则==，

变形可得：CE=BC=，

cosC=，则sinC==，

< /p>

S
△
ADE
=S
△
ACD
﹣S
△
ACE
=×2×2×


﹣×2××=．

1 8．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮
游戏中，主持人将标有 数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子
中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字 7到12的卡片的同学留下，其
余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的 盒子中，
每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘
汰；第 三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每
人依次从中取得一张卡片，取 到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；
第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位 同学获得一个奖品．已知同
学甲参加了该游戏．

（1）求甲获得奖品的概率；

（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，

甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，

则．

（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．

，

，

，

．

X的分布列为随机变量X的概率分布列为：

X

P

所以数学期望


19．（12 分）如图，在三棱台ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别 是AB，AC的中点，B
1
E

1


2


3


4


．