励志座右铭-春节法定假期

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每 小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．i(2+3i)=( )
A．3-2i
解析：选D
2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )
A．{3}
解析：选C
3．函数f(x)=
e
x
-e
-x
x
2
的图像大致为 ( )
B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i

解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=
4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )

e
2
-e
-2
4
>1,故选B

A．4 B．3 C．2 D．0
解析：选B a·(2a-b)=2a
2
-a·b=2+1=3
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。
6．双曲线
x
2
y2
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3， 则其渐近线方程为( )
A．y=±2x B．y=±3x C．y=±
2
x D．y=±
3
22
x
解析：选A e=3 c
2
=3a
2
b=2a
7．在ΔABC中，c os
C
2
=
5
5
，BC=1，AC=5，则AB= ( )
A．42 B．30 C．29 D．25
解析：选A cosC=2cos
2
C3
2
-1= -
5
AB
2
=AC
2
+BC
2
-2AB·BC·cosC=32 AB=42
8．为计算S=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+……+
1
99
-
1
100
，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入(
开始
N0,T0
i1
是
i100
否
NN
1
i
SNT
TT
1
输出S
i1
结束

A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
解析：选B

)

9．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱CC
1
的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
2
2
3
2
5
2
7
2
A． B． C． D．
解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C
10．若f(x)=cosx- sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( )
π
A．
4

π
B．
2

3π
C．
4
D．π
解析：选C f(x)=
π
2cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)=
4
π3π
2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
44
11 ．已知F
1
，F
2
是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF
1
⊥PF
2
，且∠PF
2
F
1
=60
0，则C的离心率为( )
3
2
3-1
2
A．1- B．2-3 C． D．3-1
解析：选D 依题设| PF
1
|=c,| PF
2
|=3c,由| PF
1
|+| PF
2
|=2a可得
12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A．-50 B．0 C．2 D．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x) 是以4为周期的奇函数，且
f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)= f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．
解析：y=2x-2

x+2y-5≥0
14．若x,y满足约束条件

x-2y+3≥0
,则z=x+y的最大值为__________．

x-5≤0
解析：9

5π1
15．已知tan(α- )=，则tanα=__________．
45
3
解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=
2
16．已 知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30
0
，若ΔSAB的 面积为8，则
该圆锥的体积为__________．
解析：设母线为2a，则圆锥高为a， 底面半径为
11
3a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(2
23
3)×2=8π
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23为选考题。 考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
1
=-7，S
3
=-15．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求S
n
，并求S
n
的最小值．
解：（1）设{a
n
}的公差为d，由题意得3 a
1
+3d=-15,由a
1
=-7得d=2. 所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-9.
（2）由（1）得S
n
=n
2
-8n=(n-4)
2
-16. 所以当n=4时, S
n
取得最小值,最小值为−16.
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
< br>为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据20 00

^
年至2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010 年至
^
2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+1 7.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=99+17.5×9=256.5 (亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
^
（ⅰ）从折线图可 以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点 位于一
条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2 010年至
^
2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从 计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿
元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的 中点，所以OP⊥AC，且OP=2
2
3.
1
连结OB.因为AB=BC= AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.
22
由OP
2
+OB
2
=PB
2
知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
（2）解：作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
1242
由题设可知OC=AC =2，CM=BC=，∠ACB=45°．
233
2
所以OM=
OC·MC·sin∠ACB45
，CH==．
3OM5
5
5
．
5
4
所以点C到平面POM的距离为
※也可用等积法求
20．（12分）
设抛物线C:y
2
=4x的焦点为F，过F且斜率为k( k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).


y=k(x-1)
设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，由

得k
2
x
2
-( 2k
2
+4)x+k
2
=0.


y
2
=4x

2k
2
+4
Δ=16k
2+16>0，故x
1
+x
2
=.
k
2
2k
2
+4
所以|AB|= x
1
+x
2
+2=+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.
k
2
因此l的方程为y=x-1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3 ,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.
y=-x+5


设所求圆的圆心坐标为(x,y)，则

(y-x+1)
(x +1)=+16

2

00
00
0
2
00
2



x
0
=3

x
0
=11
解得

或



y
0
=2


y
0
=-6

因此所求圆的 方程为(x-3)
2
+(y-2)
2
=16或(x-11)
2
+(y+6)
2
=144.
21．（12分）
1
已知函数f(x)= x
3
-a(x
2
+x+1)．
3


（1）若a=3，求f(x)的单调区间；
（2）证明：f(x)只有一个零点．
解：
1
2
（1）当a=3 时，f（x）=x
3
-3x
2
-3x-3)，f ′（x）=x
2
-6x-3
x6x3
．
3
令f ′（ x）=0解得x=3-2
当x∈（–∞，3-2
当x∈（3-2
3或x=3+23．
3）∪（3+23，+∞）时，f ′（x）>0；
3，3+23）时，f ′（x）<0．
3），（3+23，+∞）单调递增，在（3-2
x
3
3，3+23）单调递 减． 故f（x）在（–∞，3-2
（2）由于x
2
+x+1>0，所以f(x)=0 等价于
2
- 3a=0．
x+x+1
x
2
(x
2
+2x+3)
设g(x)=
2
- 3a，则g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–
x+x+1(x
2
+x+1)
2

x
3

∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
1111
2
又f（3a–1）=-6a+2a- =-6(a- )- <0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．
3663
综上，f（x）只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22 、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）


x=2cos θ

x=1+tcosα
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l的参数方程为


y=4sinθ

y= 2+tsinα

（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x
2
y
2
【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．
416
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，
当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

（2）将l的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos
2
α)t
2
+4(2c osα+sinα)t-8=0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有 两个解，设为t
1
，t
2
，则t
1
+t
2
=0．
又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；
（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

2x+4 x≤-1
【解析】（1）当a=1时，

2 -1 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．

-2x+6 x>2

（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4． 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4． 得a≤-6或aα2，
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案

一、选择题
1．D
7．A




2．C
8．B




3．B
9．C




4．B

5．D

6．A
12．C 10．C 11．D
二、填空题
13．y=2x
–
2
三、解答题
17．解：
（1）设{a
n
}的公差为d，由题意得3a
1
+3d=–15．
由a
1
=–7得d=2．
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n–9．
（2）由（ 1）得S
n
=n
2
–8n=（n–4）
2
–16．
所以当n=4时，S
n
取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$$
y
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
14．9 15．
3

2
16．8
π

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$$
y
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2 000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上

下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型① 不能很好地描述环境基础设施投资额的变
化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明 显增加，2010年至2016年的数据对应的点
位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用
y
=99+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施2010年至2016年的数据建立的线性模型
$$
投资额的变化趋势，因 此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额 220亿元，由模型①得到的预测值226.1
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅 比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可
靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=
23
．
连结OB．因为AB=BC=
1
2
AC
，所以
△
ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
AC
=2．
2
2
由
OP
2
OB
2
PB
2
知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
12
42
由题设可知OC=
AC
=2，CM=
BC
=，∠ACB=45°．
23
3

所以OM=
OCMCsinACB
4525
，CH==．
OM
35
所以点C到平面POM的距离为
20．解：
45
．
5
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（ x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）． < br>
yk(x1)
由

2
得
k
2
x
2
(2k
2
4)xk
2
0
．

y4x
2k
2
4
．
16k160
，故
x
1
x
2

k
2
4k2
4
所以
ABAFBF(x
1
1)(x
2
1)
．
k
2
4k
2
4
由题设知
，k=1．
 8
，解得k=–1（舍去）
2
k
2
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
y2(x3)
，即
yx5
．
设所求圆的圆心坐标为（x
0
，y
0
），则

y
0
x
0
5，

x
0
3，

x
0
11，

2
解得或




(y
0
x
0
1)
2
y2
y6.
16.

0

0

(x
0
1)
2
因此所求圆的方程为
(x3)
2
(y 2)
2
16
或
(x11)
2
(y6)
2< br>144
．
21．解：
1
32
（1）当a=3时，f（x）=
x3x3x3
，f
′
（x）=
x
2
6x3
．
3
令f
′
（x）=0解得x=
323
或x=
323
．
当x∈（
–
∞，
323
）∪（
323
，+∞）时，f
′
（x）>0；
当x∈（
323
，
323
）时，f
′
（x）<0．
故f（x）在（
–
∞，
323
），（
323
，+∞）单调递增，在（
323
，
323
）单调递减．

x
3
3a0
． （2）由于
xx10
，所以f(x)0
等价于
2
xx1
x
2
(x
2
2x3)
x
3
3a
，则g
′
（x）=
≥
0，仅当x=0时g
′
（x）=0，所以g （x）
设
g(x)
=
2
(x
2
x1)
2
xx1
2
在（
–
∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个 零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网
11
2
11
2
又f （3a
–
1）=
6a2a6(a)0
，f（3a+1）=< br>0
，故f（x）有一个零点．
3663
综上，f（x）只有一个零点．
22．解：
x
2
y
2
1
．
（1）曲 线
C
的直角坐标方程为

416
当
cos

0
时，
l
的直角坐标方程为
ytan

x2t an

，
当
cos

0
时，
l
的直角坐标方程为
x1
．
（2）将
l
的参数方程代入
C
的直角坐标方程，整理得关于
t
的方程
(13cos
2

)t
2
4(2cos

sin

)t8 0
．①
因为曲线
C
截直线
l
所得线段的中点
( 1,2)
在
C
内，所以①有两个解，设为
t
1
，
t
2
，则
t
1
t
2
0
．
又由①得
t
1
t
2

23．解：
（1）当
a1
时，

2x4,x1,

f(x)

2,1x2,


2x6,x2.

4(2cos

sin

)
，故
2cos< br>
sin

0
，于是直线
l
的斜率
k tan

2
．
13cos
2

可得
f(x)0
的解集为
{x|2x3}
．
（2）
f(x)1
等价于
|xa||x2|4
．
而
|xa||x2||a2|
，且当
x2
时等号成立．故f(x)1
等价于
|a2|4
．
由
|a2|4可得
a6
或
a2
，所以
a
的取值范围是
(,6]U[2,)
．