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2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理科）
参考公式：
•
如果事件
A
，
B
互斥，那么P

AUB

P

A

P

B

；
•
如果事件
A
，
B
相互独立，那么
P

AB

P

A

P

B

；
•
柱体的体积公式
VS h
，其中
S
表示柱体的底面面积，
h
表示柱体的高；
1
•

锥体体积公式
VSh
，其中
S
表 示锥体的底面面积，
h
表示锥体的高．
3
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2016年天津，理1，5分】已知集合
A

1,2,3,4
，
Byy3x2,xA

，则
AIB
（ ）
（A）

1

（B）

4


（C）

1,3

（D）

1,4


【答案】D
【解析】把
x 1,2,3,4
分别代入
y3x2
得：
y1,4,7,10
， 即
B

1,4,7,10

，∵
A

1,2,3,4

，∴
AIB

1,4

，故选D．
【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题 ，难点系数较小．一要
注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元 素互异性，做到不重
不漏．

xy20

（2）【2016 年天津，理2，5分】设变量
x
，
y
满足约束条件

2x 3y60
，则目标函数

3x2y90

z2x5y
的最小值为（ ）
（A）
4
（B）6 （C）10 （D）17
【答案】B

xy20

【解析】作出不等式组

2x3y60
表示的可行域，如右 图中三角形的区域，作出直线
l
0
:2x5y0
，图中的
< br>3x2y90


虚线，平移直线
l
0
，可得 经过点

3,0

时，
z2x5y
取得最小值6，故选 B．
【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚 线，其次确定目
标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的 距离等等，最
后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
（3）【2016年天津，理3 ，5分】在
ABC
中，若
AB13
，
BC3
，
C120
o
，则
AC
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】在
ABC
中，若
AB13
，得：
C120
o
，
AB
2
BC
2
AC
2
2ACBCcosC
，
139AC
2
3AC< br>，
BC3
，
解得
AC1
或
AC4
（ 舍去），故选A．
【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边 的对角，既可以用正弦定理求
解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用 两个定理实现边角互化，从而
达到知三求三的目的．
（4）（4）【2016年天津，理4， 5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
S
的值为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【答案】B
【解析】第一次判断后：不满足条件，
S248
，
n2
，
i4
；第二次判断不满足条件
n3
； < br>第三次判断满足条件：
S6
，此时计算
S862
，
n 3
，第四次判断
n3
不满足条件，
第五次判断
S6
不满足条件，
S4
．
n4
，第六次判断满足条件
n3
，故输出
S4
，
故选B．

【点评】算法与流程图的考查， 侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结
构、循环结构、伪代码， 其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明
确流程图研究的数学问题， 是求和还是求项．
（5）【2016年天津，理5，5分】设

a
n

是首项为正数的等比数列，公比为
q
则“
q0
”是“对任意的 正整数
n
，
a
2n1
a
2n
0
”的 （ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】

a
n

是首项为正数的等比数列，公比为
q
，若“
q0
”是“对任意 的正整数
n
，
a
2n1
a
2n
0
” 不一定
1

1

1
111
成立，例如：当首项为 2，各项为2，…，此时
2

1

10
，




0
；
q
时，

，
1
，，
2

4

4
224
而“对任意的正整数
n
，
a
2n1
a
2n
0
”，前提是“
q0
”，则“
q0
”是“对任意的正整数
n
，
a
2n1
a
2n
0
”
的必要而不充分条件，故选C．
【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直 接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图
示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充 分条件．（2）等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒
非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关 系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：
若A⊆B，则A是B的充分条件 或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
x
2
y
2
（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线

2
1

b 0

，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
4b
圆与双曲线的两条渐 近线相交于
A
，
B
，四边形
ABCD
的面积为
2b
，则双曲线的方程为（ ）
C
，
D
四点，
22222 222
x3yx4yxyxy
（A）
1
（B）

1

1
（C）

2
1
（D）

4444412
43
【答案】D
b
【解析】以原 点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为
x
2
y
2
4
，双曲线两条渐近线方程为
yx
，
2

b
 
b

设
A

x,x

，则∵四边形ABCD
的面积为
2b
，∴
2xbx2b
，∴
x 1
，将
A

1,

代入
x
2
 y
2
4
，

2

2

b2
x
2
y
2
2
可得
14
，∴b12
，∴双曲线的方程为
1
，故选D．
4412
【点 评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“ 定
位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定
a
，
b
的值 ，常用待定系数法．（2）利用待定系数法
求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨 论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设
其方程为
Ax
2
＋By
2< br>1

AB0

．②若已知渐近线方程为
mxny0< br>，则双曲线方程可设为
m
2
x
2
n
2
y< br>2




0

．
（7）【2 016年天津，理7，5分】已知
ABC
是边长为1的等边三角形，点
D
，
E
分别是边
AB
，
BC
的中点，
uuuruuur
连接
DE
并延长到点
F
，使得
DE2EF
，则< br>AFBC
的值为（ ）
51
1
11
（A）

（B） （C） （D）
4
888
【答案】B
uuur uuuruuuruuuruuuruuur
【解析】由
DD
、
E
分 别是边
AB
、
BC
的中点，
DE2EF
，
AF BCADDFACAB


r
3
uuur

uuuruuur

1
uuur
3
uuur
uuuruuurr
2
1
uuuruuur
1
uuur
2
3
uuu

1
uuu


ABDE< br>
ACAB

ABAC

ACABACAB ACAB
，
24442

2

2

31111

11
，故选B．
44228
【点评】研究向量数量积，一般 有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基
底表示所有向量，两种实 质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了
新的语言——“坐标语言” ，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来
进行，实现了向量运算 完全代数化，将数与形紧密结合起来．


2

x(4a3)x3a,x0
（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数
f( x)

（
a0
，且
a1
）在R上单调递减，
x0


log
a
(x1)1,
且关于
x< br>的方程
f(x)2x
恰好有两个不相等的实数解，则
a
的取值范围 是（ ）

2


23


12< br>
3

12

3

（A）

0,

（B）

,

（C）

,

U

（D）

,

U



3

33

4

33

4


34

【答案】C
【解析】
ylog
a
x1

1
在

0,

递减，则
0a1
，函数
f

x

在R上单调递减，则

34a

2
0

13
；解得，
a 
；由图象可知，在

0,

上，

0a 1
34

2
04a303alog011
< br>a


f(x)2x
有且仅有一个解，故在

 ,0

上，
f(x)2x
同样有且仅有一个解，

2
2
当
3a2
即
a
时，联立
x
2

4a3

3a2x
，则

< br>4a2

4

3a2

0
， 3
3

12

3

解得
a
或1（舍去），当
13a2
时，由图象可知，符合条件，综上：
a
的取 值范围为

,

U

，
4

33

4

故选C．
【点评】已 知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不
等 式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解
决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求
解．
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2016年天津，理9，5分】已知
a
，
bR
，
i
是虚数单位，若

1i

1bi

a
， 则
【答案】2

1ba

a2
a
【解析】 ∵

1i

1bi

1b

1b

ia
，
a,bR
，∴

，解得：
，∴
2
．
b

1b0

b 1
【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切 实掌握其运
算技巧和常规思路，如
(abi)(cdi)(acbd)(adbc )i,(a,b,c.dR)，
a
的值为 ．
b
abi( acbd)(bcad)i
(a,b,c.dR)，

其次要熟悉复数相关基 本概念，如复数
abi(a,bR)
22
cdicd
的实部为
a
、虚部为
b
、模为
a
2
b
2
、共轭 为
abi
．
1

（10）【2016年天津，理10，5分】

x
2


的展开式中
x
7
的系 数为 ．（用数字作答）
x

【答案】
56
< br>8
【解析】
T
r1
C
r
8

x

2
8r
r

1


2
1

r163r
7
1Cx
，令，解得．∴
16 3r7r3

8


x

的展开式中< br>x
的系数为
x


x


r
8

1

3
C
8
3
56
．
【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公 式，建立方程
来确定指数（求解时要注意二项式系数中
n
和
r
的隐含 条件，即
n
，
r
均为非负整数，且
nr
）；第二
步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项
公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．
（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图
如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m
3
．
【答案】2

【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面 的四棱锥，棱锥的底面是底
1
为2，高为1的平行四边形，故底面面积
S2 12m
2
，棱锥的高
h3m
，
VSh2m
3．
3
【点评】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并 画出其直观
图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图
的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
（12）【 2016年天津，理12，5分】如图，
AB
是圆的直径，弦
CD
与
AB
相交于点
E
，
BE2AE2
，
BDED
，则线段
CE
的长为 ．
23
【答案】
3
【解析】过
D
作
DHAB于
H
，∵
BE2AE2
，
BDED
，∴
BHHE1
，
AH2
，
BH1
，
∴
DH
2
AH•BH2
，则
DH2
，在
RtDHE
中，则
DEDH
2
HE
2
213
，
AEEB1223

由相交弦定理得：
CEDEAEEB
，∴
CE
．
DE3
3
【点评】1、解决与圆有关的成比例线段 问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推
论；（2）当比例式(等积式)中 的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相
似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交
弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关
的相似三角形等．
（13）【2016年天津，理13，5分】已知
f
< br>x

是定义在R上的偶函数，且在区间

,0

上单调递增．若实数
a
满
足
f2

f
2

，则
a
的取值范围是 ．
a1

13

【答案】

,



22

【解析】∵
f

x

是 定义在R上的偶函数，且在区间

,0

上单调递增，∴
f
x

在区间

0,

上单调递减，
1
13
，即
a
．
22
2
【点评】不 等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数
轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助
函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代
数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．

x2pt
2
（1 4）【2016年天津，理14，5分】设抛物线

（
t
为参数，
p 0
）的焦点
F
，准线为
l
．过抛物线上一
y2pt
则
f2

a1
f2
，等价为
f2< br>

a1
f

2

，即
 22
a1
2
，则
a1

7

点
A
作
l
的垂线，垂足为
B
．设
C

p,0

，若
CF2AF
，且
ACE
的面积为
32
，
AF
与
BC
相交于点
E
．
2

则
p
的值为 ．
【答案】
6


x2pt
2

p

【解析】抛物线

（
t
为参数，
p0
）的普 通方程为：
y
2
2px
焦点为
F

,0

，

2


y2pt

7

如图：过抛物线上一点
A
作
l
的垂线，垂足为
B
， 设
C

p,0

，
AF
与
BC
相 交

2

3AEAB1
于点
E
．
CF2 AF
，
CF3p
，
ABAFp
，
Ap,2p
，
ACE
的面积为
32
，

，
2EFCF2< br>111
可得
S
AFC
S
ACE
．即：
3p2p32
，解得
p6
．
332
【点评】（1）凡涉 及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）若
P

x
0
,y
0

为抛物

线
y
2< br>2px

p0

上一点，由定义易得
PFx
0

p
；若过焦点的弦
AB
的端点坐标为
A

x
1
,y
1

，
2
B

x2
,y
2

，则弦长为
ABx
1
x
2
p
，
x
1
x
2
可由根与系数的关系整体求 出；若遇到其他标准方程，

则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
< br>


（15）【2016年天津，理15，13分】已知函数
f

x

4tanxsin

x

co s

x

3
．
3

2
 
（1）求
f

x

的定义域与最小正周期；



（2）讨论
f

x

在区间

,

上的单调性．

44








解：（1）
f

x

的定义域为

xxk

,kZ

．
f

x

4tanxcosxcos

x

34sinxcos

x

3

2
3

3



1

3
2
4sinx

cosxsinx32sinxcosx23si nx3



2

2

sin2x 3

1-cos2x

3sin2x3cos2x=2sin

2x


（2）令
z2x

3
．所以，
f

x

的最小正周期
T
2




．
2




，函数
y2sinz
的单调递增区间是

2k

,2k


,kZ.

2
3

2

 

5

由
2k

2x2k

，得
k

xk

,kZ.
2321212


5








k

,kZ

，易知
A
I
B

,

．
设
A

,

,B

xk

x
1 2

44


124


12











上单调递减． 所以，当
x

,

时，f

x

在区间

,

上单调递增 ，在区间

，

44

124

4 12

【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于 用已知角表示所求角，
即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、 二倍角公式、配角公
式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍 是解题正确的保
证． 对于三角函数来说，常常是先化为
yAsin

< br>x


k
的形式，再利用三角函数的性质求解．三
角恒等 变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是
同化思想 的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
（16）【2016年天津，理16 ，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，
3的人数分别为 3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设
A
为 事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件
A
发生的概率；
（2）设< br>X
为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
X
的分布列和数学 期望．
112
C
3
C
4
C
4
1
1
,
所以，事件
A
发生的概率为． 解：（1）由已知，有
P< br>
A


2
C
10
3
3
2 1111
C
3
2
C
3
2
C
4
C
3
C
3
C
3
C
4
4
PX 1
（2）随机变量
X
的所有可能取值为
0,1,2.
P

X0


，

22
C
10
1 5C
10
11
C
3
C
4
P

X 2


2
C
10

7
，
15
4
．所以，随机变量
X
分布列为：
15
0

1

2

X

474

P

151515
474
随机变量< br>X
的数学期望
E

X

0121．
151515
【点评】求均值、方差的方法（1）已知随机变量的分布列求它的均值、 方差和标准差，可直接按定义(公式)求
解；（2）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝ aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ
的均值、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量是 服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，
可直接利用它们的均值、方差公式求解．
（1 7）【2016年天津，理17，13分】如图，正方形
ABCD
的中心为
O
，四边形
OBEF
为矩形，平
面
OBEF
平面
ABCD< br>，点
G
为
AB
的中点，
ABBE2
．


（1）求证：
EG
平面
ADF
；
（2）求二面角
OEFC
的正弦值；
2
HF
，求直线
BH
和平面
CEF
所成角的正弦值．
3
uuuruuur uuur
解：依题意，
OF平面ABCD
，如图，以
O
为点，分别 以
AD,BA,OF
的方向为
x
轴，
y
轴、
z轴
（3）设
H
为线段
AF
上的点，且
AH< br>的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得
O(0,0,0)
，
A
< br>1,1,0

,B(1,1,0),C(1,1,0),
D(11,0 ),，E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0)
．

uur uuur

uuuruuuruur

n
1
AD0（1）
AD(2,0,0),AF

1,1,2

．设< br>n
1


x,y,z

为平面
ADF
的法向量，则

u
，
uruuur


n1
AF0
uuuruur
uuruuur

2x0
即

．不妨设
z1
，可得
n
1


0,2,1

，又
EG

0,1,2

，可得
EGn
1
0
，
xy2z0

又因为直线
EG平面ADF
，所以
EG平面ADF
．
uuuru uuruuur
OA

1,1,0

为平面
OEF的一个法向量．
EF

1,1,0

,CF
1,1,2

．（2）易证，依题意，设
uuruuur

u ur
nEF0

xy0

2
n
2


x,y,z

为平面
CEF
的法向量，则
< br>uu
，即
．不妨设
x1
，
ruuur

 xy2z0



n
2
CF0
uuur uur
uuuruur
uur
uuuruur
OAn
2
6
3
可得
n
2


1,1,1

．因此有
cosOA,n
2

uuu
，于是
sinO A,n
2

，
ruur

3
3
OA n
2
所以，二面角
OEFC
的正弦值为
（3）由
AH 
3
．
3
uuuur
2
uuur

22 4

uuur
22

334

AF1,1,2
AHAF

,,

，，得．因为，所以进而有
H
,,

，
HFAHAF

5
35< br>
555

555

uuuruur
uuur
284

uuuruur
BHn
2
7
7< br>从而
BH

,,

，因此
cosBH,n
2

uuuru
．直线
BH
和平面
CEF
所成 角的正弦值为
．
ur

21
21

555
BHn
2
【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐
标运算．2、利用数量积可解决有关垂 直、夹角、长度问题．（1）
a0
，
b0
，
aba·b＝0
；
ab
（2）
aa
2
；（3）
cosa,b
．
ab
（18）【2016年天津，理18，13分】已知

a
n
是各项均为正数的等差数列，公差为
d
．对任意的
nN
< br>，
b
n
是
a
n
和
a
n1
的等比中项．
22

（1）设
c
n
b
n1< br>b
n
，
nN
，求证：数列

c
n

是等差数列；

（2）设
a
1
d
，T
n


(1)b
，
nN
，求证

k2
k

2n
k1
11

2
．
2d
k1
T
k
n
2
222
an
a
n1
，有
c
n
b
n
解：（1 ）由题意得
b
n1
b
n
a
n1
a
n2
a
n
a
n1
2da
n1
，因此c
n1
c
n
2d

a
n2
 a
n1

2d
，
所以

c
n

是等差数列．
2
（2）< br>T
n


b
1
2
b
2



b
3
2
b
4
2


b
2
2
n1
b
2
2
n

2d

a
2
a
4
La2n

2d
n

a
2
a
2n< br>
2
2d
2
n

n1

11
所以


2
2d
k1
T
kn
11


2d
2
k1
k

k1

n
1

1

1

1< br>
1
1
．


k1

2d
2

n1

2d
2
k1

k
n
【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若
a
n
＝ b
n
c
n
，且

b
n

，
c
n

为等差或等比数列，可采用分组求和法

< br>b
n
，n为奇数，
求

a
n

的前
n
项和．（2）通项公式为
a
n


的数列，其中 数列

b
n

，

c
n

是等比数列或

c
n
，n为偶数


等差数列，可采用分组求和法求和．
113e
x
2
y
2< br>
（19）【2016年天津，理19，14分】设椭圆
2

右顶点 为
A
．已知，
1
a3
的右焦点为
F
，
OFOAFA
a3


其中
O
为原点，
e< br>为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
A
的直线< br>l
与椭圆交于点
B
（
B
不在
x
轴上），垂直 于
l
的直线与
l
交于点
M
，与
y
轴交于点
H
．若
BFHF
，且
MOAMAO
，求直线
l
的斜率的取值范围．
113c
113c
解：（1）设
F

c,0

，由，即

，可得
a
2
 c
2
3c
2
，又
a
2
c
2
 b
2
3
，所以
c
2
1
，

caa(ac)
OFOAFA
x
2
y
2
因此
a 4
，所以椭圆的方程为
1
．
43
2

x2
y
2
1


（2）设直线
l
的斜 率为
k

k0

，则直线
l
的方程为
y k

x2

．设
B

x
B
, y
B

，由方程组

4
，
3

yk

x2


8k
2
68k
2< br>6
消去
y
，整理得
4k3x16kx16k120
．解得
x2
，或
x
2
，由题意得
x
B

2
，
4k3
4k3
2
uuur

94k
uuur
12k

12k
,
2
从而< br>y
B

2
．由（1）知，
F

1,0

，设
H

0,y
H

，有
FH
1,y
H

，
BF

2
．
4k34k3
4k3

uuuruuur
94k
2
12ky
H
94k
2
由
BFHF
， 得
BFHF0
，所以
2
．因此直线
MH
的方程为
0
，解得
y
H

4k34k
2
312k

194k
2
2
20k
2
9
194 k

yx
．设
M

x
M
,y
M

，由方程组

解得
x
M

．在MAO
yx
k12k
消去
y
，
2
12 (k1)
k12k

yk(x2)


2

222
20k
2
9
1
，解中，
MOAM AO|MA||MO|
，即

x
M
2

y xy
，化简得
x
M
1
，即
12(k
2
1)
2
2
M
2
M
2
M

6

6
66
,
U
,
或
k．所以，直线
l
的斜率的取值范围为



．
44
44

【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个 方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确
定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间
建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基 本
不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
得< br>k
（20）【2016年天津，理20，14分】设函数
f(x)
x1

axb
，
xR
，其中
a
，bR
．
（1）求
f

x

的单调区间；
（2）若
f

x

存在极值点
x
0
，且
f

x
1

f

x
0< br>
，其中
x
1
x
0
，求证：
x
1
2x
0
3
；
3
1
（3）设
a0< br>，函数
g

x

f

x

，求证：
g

x

在区间

0,2
< br>上的最大值不小于
．．．
4
．
解：（1）由
f
< br>x



x1

axb
，可得
f'

x

3

x1

a
．下面分两种情况讨论：
①当
a0
时，有
f'

x< br>
3

x1

a0
恒成立，所以
f

x

的单调递增区间为

,

．
②当
a0
时，令
f'

x

0< br>，解得
x1
3a3a
，或
x1
．
33当
x
变化时，
f'

x

，
f

x

的变化情况如下表：
x


3a

3a

1
3a
,1
3a


3a

1
3a
,


,1




1
3

1
3



3333

2
32
f'

x


f

x


＋
单调递增
0
极大值
－
单调递减
0
极小值
＋
单调递增

3a3a

3a

3a
1,1,11,
所以
f

x

的单调递 减区间为

，单调递增区间为，



< br>．
3333


（2）因为
f
< br>x

存在极值点，所以由（1）知
a0
，且
x
0< br>1
，由题意，得
f'

x
0

3

x
0
1

a0
，
2
a
2aa
3
，进而
f

x
0



x
0
1

ax
0
bx
0b
．
3
33
8a2aa
3
且
32x< br>0
x
0
，
f

32x
0


22x
0

a

22x
0

b

1x
0

2ax
0
3abx
0
bf

x
0

，333
由题意及（1）知，存在唯一实数满足
f

x
1

f

x
0

，且
x
1
x< br>0
，因此
x
1
32x
0
，所以
x
1
2x
0
3
．
即

x
0
1


2
（3）设
g

x

在 区间

0,2

上的最大值为
M
，
max

x,y

表示
x,y
两数的最大值．下面分三种情况同理： ①当
a3
时，
1
3a3a
，由（1）知，
f

x

在区间

0,2

上单调递减，所以f

x

在区间
021
33
0,2

上的取值范围为


f

2

,f

0



，因此
Mmaxf< br>
2

,f

0

max
12ab,1b



max

a1 (ab),a1(ab)




a1(ab),a b0
，所以
Ma1ab2
．
a1(ab),ab 0

②当
3
23a3a3a23a
，由（1）和（2）知，
a3
时，
101121
3333
4
23a

3a

23a

3a

f

0

f

1f1f2f1f1，



，所以
f
< br>x

在区间

0,2

上的
3333

取值范围为

f


< br>3a

1


,f
3



3a



，
Mmax

1 



3






3a

3a




f

1,f1



33



2a2a
2a2a
max

3a ab,3aab

max

3a

ab< br>
,3a

ab



9
9< br>
9


9


2a2331
3a ab3
．
99444
③当
0a
3
3a 3a
时，
0112
，由（1）和（2）知，
f

0


33
4

23a

3a

f

1f1


，
33

23a

3a

f

2

f

1f1


f
0

,f

2



，因此

，所以
f

x

在区间

0, 2

上的取值范围为

33

Mmaxf

0

,f

2

max

 1b,12ab

max

1a

ab
,1a

ab


1a|ab|< br>
1
．
4
1
．
4
【评析】1、求可导 函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数
f

x

的定义域（定义 域优先）；（2）求导函数
f

x

；
综上所述，当< br>a0
时，
g

x

在区间

0, 2

上的最大值不小于
（3）在函数
f

x
的定义域内求不等式
f

x

0
或
f< br>
x

0
的解集．（4）由
f

x
0

f

x

0

的解集
确定函数
f

x

的单调增（减）区间．若遇不等式 中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数
f

x

在< br>
a,b

上的单调性，求参数范围问题，可转化为
f
< br>x

0
（或
f

x

0< br>）恒成立问题，要注意“＝”
是否可以取到．