初中数学学习方法-乒乓球赛策划

高中数学必修五第一章单元测试题
《 解三角形》
一、选择题(本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，下列等式不成立的是( )
A．c＝a
2
＋b
2
－2abcosC
ab
B.
sinA
＝
sinB

C．asinC＝csinA
a
2
＋c
2
－b
2
D．cosB＝
2abc

2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75°
C．45°
B．60°
D．30°
3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( )
A．76
C．27
B．219
D．27
4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于( )
A．30°
C．60°
B．30°或150°
D．60°或120°
5．已知 三角形的三边长分别为a，b，a
2
＋ab＋b
2
，则三角形的最大内角是( )
A．135°
C．60°
B．120°
D．90° 6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，
c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
π
A.
6

π
C.
2

π
B.
3

2π
D.
3

7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是( )
A．B>C
C．BB．B＝C
D．关系不确定
8．在△ABC中，B＝60°，b
2
＝ac，则这个三角形是( )
A．不等边三角形
C．等腰三角形
B．等边三角形
D．直角三角形
9．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．等边三角形
10．△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形( )
A．无解
C．有两解
B．只有一解
D．解的个数不确定
11．在△ABC中，若AA．8,10
C．8,12
B．10,10
D．12,8
→→→→→→→→→
12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA＋OB＋OC＝0，O A·OB＝OB·OC＝OC·OA＝
－1，则△ABC的周长是( )
A．3
C．36
B．6
D．96
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.
14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.
15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.
16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤)
17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c， 若cosBcosC
1
－sinBsinC＝
2
.
(1)求A；
(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．






π
1
18．(12分)在△ABC中，C－A＝
2，sinB＝
3
.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝6，求△ABC的面积．

19．(12分)

3
如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝.
4
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．










20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．
(1)若c＝5，求sinA的值；
(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．

21．(12分)如图，

A，B，C，D都在同一个与水平面垂直 的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测
量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°， 30°，于水面C处测得B点和D点的仰角
均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距 离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的
距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．







π
22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋
3
)＋si n
2
x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
1C1
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝
3
，f(
2
)＝－
4
，且C为锐角，求sinA.

高中数学必修五第一章单元测试题
《 解三角形》参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题 给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，下列等式不成立的是( )
A．c＝a
2
＋b
2
－2abcosC
B.
ab
＝
sinAsinB
C．asinC＝csinA a
2
＋c
2
－b
2
D．cosB＝
2abc< br>
答案 D
a
2
＋c
2
－b
2
解析 很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cosB＝
2ac
，所以D不成立．
2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75°
C．45°
答案 B
13
解析 由S△
ABC
＝33＝
2
×3×4sinC，得sinC＝
2
，又角C为锐角，故C＝60°.
3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( )
A．76
C．27
答案 B
解析 由余弦定理，得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝76，所以b＝219.
4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于( )
A．30°
C．60°
答案 D
B．30°或150°
D．60°或120°
B．219
D．27
B．60°
D．30°

abb433
解析 由正弦定理，得
sinA
＝
si nB
.所以sinB＝
a
sinA＝
4
sin30°＝
2< br>.又a以B＝60°或120°.
5．已知三角形的三边长分别为 a，b，a
2
＋ab＋b
2
，则三角形的最大内角是( )
A．135°
C．60°
答案 B
解析 a
2
＋ab＋b
2
>a，a
2
＋ab＋b
2
>b，则长为a< br>2
＋ab＋b
2
的边所对的角最大．由余
B．120°
D．90°
a
2
＋b
2
－a
2
＋b< br>2
＋ab
1
弦定理，得cosα＝＝－.
2ab2
，所以 三角形的最大内角是120°
6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝ (a＋c，b)，q＝(b－a，
c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
π
A.
6

π
C.
2

答案 B
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b
2
＋a
2
－c
2
＝ab.由余弦定理，得cosC＝
a
2< br>＋b
2
－c
2
1
π
＝，所以C＝
2ab23
.
7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是( )
A．B>C
C．B答案 B
8．在△ABC中，B＝60°，b
2
＝ac，则这个三角形是( )
A．不等边三角形
C．等腰三角形
答案 B
9．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
B．等边三角形
D．直角三角形
B．B＝C
D．关系不确定
π
B.
3

2π
D.
3

C．钝角三角形
答案 C
D．等边三角形
10．△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形( )
A．无解
C．有两解
答案 D
11．在△ABC中，若AA．8,10
C．8,12
答案 C
解析 ∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA.
100＋c
2
－a
2
由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·， 2×10c
将a＝20－c代入上式整理，得c
2
－22c＋120＝0，解得∴ c＝10(舍去)或c＝12.∴a＝8.
→→→→→→→→→
12．已知平面上有四点O， A，B，C，满足OA＋OB＋OC＝0，OA·OB＝OB·OC＝OC·OA＝
－1，则△ABC的 周长是( )
A．3
C．36
答案 C
解析 由已知得O是△ABC的重心，
→→→→→→→
由OA·OB＝OB·OC，得OB·(OA－OC)＝0.
→→
∴OB·CA＝0.∴OB⊥CA.同理，OA⊥BC，
OC⊥AB.∴△ABC为等边三角形．
→→→
2π
故∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝
3
，|OA|＝|OB|＝|OC|＝2.
在△AOB中，由余弦定理，得
B．6
D．96
B．10,10
D．12,8
B．只有一解
D．解的个数不确定

2π
AB＝OA＋OB－2OA·OBcos
3
＝6.
222
∴AB＝6，故△ABC的周长是36.
讲评 本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定
理可解．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.
答案 42
sinAsin30°
解析 B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理， 得a＝
sinB
b＝
sin45°
×8＝42.
14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.
答案 3
AB
2
＋AC
2
－BC
2
25 ＋AC
2
－49
解析 在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝， 即＝
2×AB×AC2×5×AC
1
－
2
.
解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.
15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△A BC的面积为12，则cos2C＝________.
7
答案
25

113
解析 由题意，得S＝
2
CA×CBsinC，则12＝
2< br>×5×8sinC.所以sinC＝
5
.则cos2C＝1－
7
2si n
2
C＝
25
.
16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼 顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30°，则甲楼高为______m，乙楼高为____ ____m.
答案 203
403
3

解析 如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.

则在△AB C中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD中，< br>BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°， 则∠BDC＝180°－30°－30°
sin∠CBD
403
＝120°.由正弦定 理，得＝，所以CD＝BC＝
3
.
sin∠BDCsin∠CBDsin∠BDC< br>BCCD
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosB cosC
1
－sinBsinC＝
2
.
(1)求A；
(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．
思路分析 (1)转化为求cosA；(2)求出bc的值即可．
1
解析 (1)∵cosBcosC－sinBsinC＝
2
，
1
∴cos(B＋C)＝
2
.
11
∵A＋B＋C＝π，∴ cos(π－A)＝
2
.∴cosA＝－
2
.
2π
又∵03
.
(2)由余弦定理，得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cosA.
2π
则 (23)
2
＝(b＋c)
2
－2bc－2bc·cos
3
.
1
∴12＝16－2bc－2bc·(－
2
)．∴bc＝4.

113
∴S
△
ABC
＝
2
bc·sinA＝2
×4×
2
＝3.
π
1
18．(12分)在△ABC 中，C－A＝
2
，sinB＝
3
.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝6，求△ABC的面积．
πππ
解析 (1)由C－A＝
2
和A＋B＋C＝π，得2A＝
2
－B,04
.
13
故cos2A＝sinB，即1－2sin
2
A＝
3
，sinA＝< br>3
.
6
(2)由(1)得cosA＝
3
.
BCA CsinA
又由正弦定理，得
sinA
＝
sinB
，BC＝
sinB
AC＝32.
11
所以S
△
ABC
＝
2
AC·BC·sinC＝
2
AC·BC·cosA＝32.
19．(12分)

3
如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝
4
.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．
解析 (1)由余弦定理，得
AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BCcosC
3
＝4＋1－2×2×1×
4
＝2.

∴AB＝2.
3
(2)由cosC＝
4
且07
1 －cos
2
C＝
4
.
ABBCBCsinC14
由正弦定 理，得
sinC
＝
sinA
，解得sinA＝
AB
＝
8
.
52
所以cosA＝
8
.
57
由倍角公式，得sin2A＝2sinAcosA＝
16
，
9
且cos2A＝1－2sin
2
A＝
16
.
3 7
故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝
8
.
20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．
(1)若c＝5，求sinA的值；
(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．
解析 (1)方法一 ∵A(3,4)、B(0,0)，
4
∴|AB|＝5，sinB＝
5
.
当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝
根据正弦定理，得
|BC||AC||BC |25
＝⇒sinA＝sinB＝
sinAsinB|AC|5
.
方法二 ∵A(3,4)、B(0,0)，∴|AB|＝5.
当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝
根据余弦定理，得
|AB|
2＋|AC|
2
－|BC|
2
5
cosA＝＝
5
.
2|AB||AC|
sinA＝
25
1－cos
2
A＝
5
.
5－3
2
＋0－4
2
＝25.
5－3
2
＋0－4
2
＝25.

(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)，
|AB|
2
＋|AC|
2
－|BC|
2
根据余弦定理，得 cosA＝.
2|AB||AC|
若∠A是钝角，则cosA<0⇒|AB|
2＋|AC|
2
－|BC|
2
<0，即5
2
＋[(c－3 )
2
＋4
2
]－c
2
＝50－6c<0，解
25< br>得c>
3
.
21．(12分)如图，

A，B，C，D都 在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测
量船于水面A处测得B点和D点 的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角
均为60 °，AC＝0.1 km. 试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D的
距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．
解析 在△ABC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
在△ABC中，
AB
sin∠BCA
＝
AC
sin∠ABC
，
ACsin60°32＋6
即AB＝
sin15°
＝
20
，
32＋6
因此，BD＝
20
≈0.33 km.

故B、D的距离约为0.33 km
π
22．(12分)设函数f( x)＝cos(2x＋
3
)＋sin
2
x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
1C1
(2)设A，B，C为△AB C的三个内角，若cosB＝
3
，f(
2
)＝－
4
，且C为 锐角，求sinA.
ππ
1－cos2x
解析 (1)f(x)＝cos2xcos
3
－sin2xsin
3
＋
2
131113
＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.
222222
ππ
所以当2x＝－
2
＋2kπ，即x＝－
4
＋kπ(k∈Z)时，
1＋3
f(x)取得最大值，f(x)
最大值
＝
2
，
2π
f(x)的最小正周期T＝
2
＝π，
1＋3
故函数f(x)的最大值为
2
，最小正周期为π.
C113 13
π
(2)由f(
2
)＝－
4
，即
2
－
2
sinC＝－
4
，解得sinC＝
2
，又C为锐角，所以 C＝
3
.
122
由cosB＝
3
，求得sinB＝
3
.
由此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
22113
22＋3
＝
3
×
2
＋
3
×
2
＝.
6