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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生 务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题 卡相应位置上。将条形码横贴在答题
卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每 小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答 案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；< br>不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合
A．
C．
2．如图，正方形








，则
B．
D．


内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称.在正方
形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B．
C． D．
3．设有下面四个命题
：若复数满足
：若复数
其中的真命题为
A． B． C． D．
满足
，则
，则
； ：若复数满足
； ：若复数
，则
，则
；
.
1 12

4．记为等差数列

在

的前项和．若
B．2 C．4
，

，则
D．8
的公差为
A．1
5．函数单调递减，且为奇函数．若，则满足
的的取值范围是
A．
6．
A．15
B． C． D．
展开式中

的系数为
C．30 D．35 B．20 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形组成，正方形的 边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多
面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10
B．12
C．14
D．16
8．右面程序框图是为 了求出满足
数，那么在
A．
B．
C．
D．
9．已知曲线面结论正确的是
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

的最小偶
和
和
和
和
和
两个空白框中，可以分别填入




，则下
个
单位长度，得到曲线
B ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
单位长度，得到曲线
2 12

D．把上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把得到的曲 线向左平移
个单位长度，得到曲线
10．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线 与交
于
A
、
B
两点，直线与
A．16
11．设
A．
C．

交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为
C．12 D．10 B．14
为正数，且






，则




B．
D．


12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：已 知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项
是，接下来 的两项是，再接下来的三项是
且该数列的前
B．330
，依此类推。求满足如下条
件的最小整数
A．440
项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .
14．设满足约束条件，则的最小值为 .
15．已知双曲线的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，
，则的离心率为圆
A
与双曲线
C
的 一条渐近线交于
M
、
N
两点。若
________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB< br>分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。< br>沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起 △
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时，所 得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为
_______。
3
3 12

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分 。
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
（1）求
（2）若
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且.
;
，求△
ABC
的周长.


（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
19．（1 2分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个
零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的 尺寸服从正态分布．
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
（ 1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数， 求及的数学期望；
之外的零件，就认为这（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92
4 12
9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
其中
，
．
，用样本标准差作为的估计值，利用 估计值
，
为抽取的第个零件的尺寸，
作为的估计值用样本平均数
判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除
估计和（精确到0.01）．
服从正态分布
，
20.（12分）
已知椭圆
C
：
．
，则
之外的数据，用剩下的数据
附：若随机变量，
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（ 0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，
）中恰有 三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线< br>l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为
–1，证明：
l
过定点.
21.（12分）
已知函数
（1）讨论
（2）若
的单调性；
有两个零点，求的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题 中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
θ
为参数），直线
l
的参数方< br>程为.
（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标； （2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
23．[选修4—5： 不等式选讲]（10分）
已知函数
，求
a
.
5 12

（1）当时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
6 12

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四 个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. A
7．B
2．B
8．D
3．B
9．D
4．C 5．D 6．C
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．-5 15． 16．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知△
ABC
的面积为
（1）求sin
B
sin
C
;
（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
由题设得，即

由正弦定理得
故
（2）
由题设及（1）得
所以，故
。

，即
由题设得，即
由余弦定理得
故的周长为
，即，得
18.（12分）解：
7 12

（1）由已 知
由于
又
（2）在平面
平面
内作
平面

，故
，得
， 从而
平面

，
平面



，所以平面
，垂足为
，故由（1）可知，
可得
以
平面
为坐标原点，
，
的方向为轴正方向，

为单
位长，建立如图所示的空间直角坐标系
由（1）及已知可得
所以
设是平面的法向量，则
即
可取
设

是平面的法向量，则
即
可取
则
所以二面角
19．（12分）解：
的余弦值为
（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在
8 12

之外的概率为0.0026，故，因此

的数学期望为
（2 ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在

之外的概率只有0.0026，
之外的零件的概率只有
0.0408，发生的概率很小。因此 一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产 过程进行检查，可见上
述监控生产过程的方法是合理的。
（ii）由，得的估计值为的估计值 为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
的生产过程进行检查。
剔除
之外，因此需对当天
之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

因此的估计值为10.02

剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为

因此的估计值为
20.（12分）解：
（1）由于
又由
两点关于轴对称，故由题设知
知，不经过点
经过
，所以点
两点
在上
因此解得
故的方程为
与直线

的斜率分别为
，由题设知

，且，可得的坐标分别为
（2）设直线
如果与轴垂直，设
9 12

则，得，不符合题设
从而可设，将代入

得
由题设可知
设，则


而


由题设
即
，故


解得
当且仅当
所以过定点
21.（12分）解：
（1）的定义域为
（i）若
（ii）若
当
当
时，

，于是，
，
，所以
的
时，
时，
在

；

单调递减

，则
，则由
10 12 < /p>

所以
（2）（i）若
（ii）若
在
，由（1）知，单调递减，在
至多有一个零点
时，
单调递增。
，由（1）知，当

取得最小值，最小值为
① 当
② 当
点；
③ 当
又
个零点。
设正整数
则
由于
时，由于
时，由于
，故只有一个零点；
，即，故没有零
时，，即
，故
又
在有一
满足，

，因此

在有一个零点
综上，的取值范围为
22．解：
（1）曲线的普通方程为，
当时，直线的普通方程为
由解得或
从而与的交点坐标为
，故上的点到的距离为 （2）直线的普通方程为
11 12

当时，的最大值为，由题设得，所以；
当时，的最大值为，由题设得，所以
综上，或
23．解：
（1）当时，不等式等价于
①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而
所以的解集为
（2）当时，
所以的解集包含，等价于当时
又在的最小值必为与之一，所以且

所以的取值范围为

12 12

，得